黃高湧

(龍灣區(qū)教師發(fā)展中心 325024)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的基本理念之一，要求數(shù)學(xué)教學(xué)從數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計促進學(xué)生對知識的理解掌握.另一方面，基于創(chuàng)建高中實驗教學(xué)的目標(biāo)，借助于數(shù)學(xué)實驗這一較為開放的載體，能夠更好地進行課堂教學(xué)設(shè)計以體現(xiàn)促進學(xué)生研究、創(chuàng)新的育人要求.

1 落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)

高中數(shù)學(xué)總是給學(xué)生一種復(fù)雜無用、枯燥乏味的印象，高強度的抽象性和知識量使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到較大阻礙，從而很難對概念本質(zhì)進行理解，將所學(xué)知識進行串聯(lián)和融會貫通，作為數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的首要任務(wù)，即將所學(xué)知識點與現(xiàn)實世界的聯(lián)系進行深入剖析，拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，將其去抽象性，體現(xiàn)“應(yīng)用”二字，因此數(shù)學(xué)實驗教學(xué)以“數(shù)學(xué)實驗”的形式為載體，意在幫助學(xué)生更好地理解課本知識.

高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)可從廣義和狹義兩個角度理解，廣義上的數(shù)學(xué)實驗即在數(shù)學(xué)的背景下，經(jīng)歷設(shè)置情境或提出問題，問題理解和轉(zhuǎn)化，動手實踐驗證再到解決問題的一系列過程達到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和技能，強化知識理解，提升思維訓(xùn)練的目的，實驗教學(xué)過程中學(xué)生經(jīng)歷的過程需被強調(diào)和重視.而狹義上，數(shù)學(xué)實驗需關(guān)注實驗的模式，包括動手制作、數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)，問題的探究、驗證性實驗的設(shè)計和實施等.對高中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)實驗應(yīng)是依附于日常學(xué)習(xí)的，課本知識的拓展與深入也應(yīng)是抽象概念和問題的具體驗證和實現(xiàn).為此數(shù)學(xué)實驗教學(xué)嘗試挖掘數(shù)學(xué)教材、課外輔導(dǎo)和拓展材料、數(shù)學(xué)試題等資源中能夠用于動手操作、小組討論或數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容，進行遞進的、有層次的安排和設(shè)計，在實驗教學(xué)中加入基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課來不及或沒有條件提及的內(nèi)容，是基礎(chǔ)課內(nèi)容的深入、拓展、引申等.這一點也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗教學(xué)落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念.

2 數(shù)學(xué)實驗“包裝彩繩問題”教學(xué)內(nèi)容

“包裝彩繩問題”選自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的附錄2教學(xué)與評價案例，屬于對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價不同水平表現(xiàn)的一個案例.內(nèi)容包括購買禮盒的生活場景，售貨員的捆扎方式，以及他提出這樣的捆扎不僅漂亮而且比一般的十字捆扎包裝更節(jié)省彩繩.(如圖)

這是立體幾何中線段長度問題，往往需要借助直觀才能論證的問題，學(xué)生對售貨員觀點驗證的兩種處理方法反映數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的不同水平；方法一：如果學(xué)生能夠結(jié)合幾個具體的長方體盒子，通過捆扎操作，測量比較的方法，得到針對這幾個盒子的結(jié)論，并且能夠通過歸納提出一般長方體盒子情況下的猜想，即使不能給出證明，可以認為達到數(shù)學(xué)建模水平一的要求；方法二：如果學(xué)生能夠用字母表示各段繩長，將長方體盒子平面展開，把問題轉(zhuǎn)化為平面上折線長度的比較，把“扎緊”的表述轉(zhuǎn)化為兩點間直線段，最后給出一般性的結(jié)論，可以認為達到數(shù)學(xué)建模水平二的要求，最后內(nèi)容就是具體數(shù)學(xué)化的解決問題過程.建模素養(yǎng)水平一基本會達到，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生達到建模素養(yǎng)水平二，甚至突破到建模素養(yǎng)水平三是教學(xué)的重點也是要突破的難點.與傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容相比，數(shù)學(xué)建模的課例研究比較少，學(xué)習(xí)資源相對匱乏，師生都感到生疏，但它在新的高中數(shù)學(xué)課程中的位置，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程中都顯得十分特別和重要.新教材增加了數(shù)學(xué)建模具體內(nèi)容以及課時，不僅讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模一般過程，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的重要途徑.

3 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)提升核心素養(yǎng)解析

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型最終解決實際問題.數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，發(fā)現(xiàn)和解決問題.

通過高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)使學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實驗的經(jīng)驗，認識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.數(shù)學(xué)建模是一種獨立的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又是一種綜合程度很高的素養(yǎng)，因為建模的過程離不開數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.它打破數(shù)學(xué)知識內(nèi)部嚴(yán)密的知識體系和技能體系的界限，強調(diào)以學(xué)生的經(jīng)驗、學(xué)習(xí)實際和社會需要的問題為核心，以問題求解的需要為導(dǎo)向，對學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部和跨學(xué)科的知識工具、方法、資源進行整合應(yīng)用，有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決問題的能力、探究精神和實踐能力.

4 數(shù)學(xué)實驗“包裝彩繩問題”教學(xué)設(shè)計

(1)教學(xué)基本流程

實際問題→數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)模型→求解模型→檢驗?zāi)Ｐ汀Ｐ蛻?yīng)用

(2)留意身邊的數(shù)學(xué)問題

問題1買一份精美的禮物，售貨員用“彩繩”對禮盒做了兩種方式“捆扎”,如圖，請問你熟悉這兩種捆扎方式嗎？測量這兩種捆扎方式的彩繩長度并進行比較.

設(shè)計意圖①讓學(xué)生感知生活中實際問題，數(shù)學(xué)建模的核心是來源于生活，又用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，最終回歸現(xiàn)實生活.②數(shù)學(xué)實驗活動中非常重要的過程就是學(xué)生動手實踐，通過動手捆扎禮盒親身體會并測量兩種捆扎的繩長，讓學(xué)生通過實驗捆扎探究彩繩長度問題更加直觀地感受空間的彩繩，只有直觀上的充分認識才能建立合理的空間想象，從而為建立數(shù)學(xué)模型做好鋪墊.同時獲得數(shù)據(jù)為引出問題、歸納、猜想做好材料準(zhǔn)備.③學(xué)會收集生活中的數(shù)據(jù)信息，并學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去分析數(shù)據(jù)，獲得數(shù)學(xué)問題，通過設(shè)問將特殊長方體的結(jié)論推廣到一般長方體，使得問題更加數(shù)學(xué)化.

(3)將包裝彩繩問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

問題2對任意一個長方體禮盒，同一組對面上的“對角”捆扎和“十字”捆扎哪一種捆扎用繩更短？

設(shè)計意圖數(shù)據(jù)從實驗中來，而且對于任意一個長方體已經(jīng)不是全部實驗?zāi)軌蛲瓿傻?，必須?jīng)過數(shù)學(xué)嚴(yán)格的證明，從而把社會問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這里最核心的就是用數(shù)學(xué)語言表示問題，也就是要建立數(shù)學(xué)模型.

(4)建立立體幾何的數(shù)學(xué)模型

問題3設(shè)長方體長、寬、高分別為x,y,z,且z≤x,z≤y，設(shè)十字捆扎最短繩長為L,求繩長L.

十字捆扎方式的“最短”繩長(扎緊繩子再也抽不動)L=2x+2y+4z.

思考：十字捆扎方式的十字打在另外兩組對面上的捆扎方式，參數(shù)如何變化，最短繩長是多少？在z最小的情況下，哪一組對面上的捆扎方式繩長最短？

設(shè)計意圖(1)最短的直觀感知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)理解，為求解繩長做基礎(chǔ).(2)不同組對面的捆扎方式的繩長，為了引導(dǎo)學(xué)生思考參數(shù)改變對結(jié)果的影響.

問題4設(shè)長方體長、寬、高分別為x,y,z,且z≤x,z≤y，設(shè)對角捆扎的最短繩長M,求繩長M.

問題5如圖，如果固定E,G兩點，那么動點F在A′B′的何處時EF+FG最短.(展平后E,F,G三點共線時，兩點間線段最短(兩邊之和大于第三邊)).

設(shè)計意圖這是教學(xué)的難點也是重點，如何突破難點是關(guān)鍵.利用學(xué)生原有的直觀認知深度分析“相鄰”兩個面的展平后能夠得到“2條”線段，如何使“2條”線段最短，那就是通過直觀經(jīng)驗兩點間線段最短,通過實際的直觀感知彩繩最終是一條的，而常規(guī)六個面的展開是分散的3條折線，那么如何處理？進而引導(dǎo)學(xué)生直觀展開的思維提升，每“相鄰”兩個面的展開能夠得到“2條”相連的線段，最終實現(xiàn)8條線段沿著交線相鄰兩個面的連續(xù)展開，突破難點，從而提升學(xué)生直觀想象能力.

方法1

L=2x+2y+4z，

用換元兩邊平方可得M

設(shè)計意圖方法1中引導(dǎo)學(xué)生將8條線段拼接一起，相鄰兩個平面沿著交線連續(xù)展開可以實現(xiàn)8條拼接一起，實現(xiàn)難點的突破，學(xué)生自然而然想到的是通過勾股定理求得M的長度.也有學(xué)生展開了其中4個面而停滯不前，可能是再展開則上底面用了兩次，與學(xué)生原來的認知(長方體展開圖是六個面，每個面用一次)是矛盾的，首先肯定他的想法是好的，已經(jīng)從2條線段突破到了4條線段，再次總結(jié)引導(dǎo)他的想法通過相鄰的線段在同一平面內(nèi),繼續(xù)把平面按相鄰兩個面沿著交線展開，從而解決問題，也是培養(yǎng)學(xué)生勇于大膽嘗試，不斷進取的數(shù)學(xué)精神.

問題6最短繩子與點E在棱A′D′上的位置有關(guān)嗎？點E在棱A′D′上任意位置都可以嗎？

設(shè)計意圖在求得繩子長后進一步研究E點位置與繩長關(guān)系，從而確定對角扎緊情況下，最短繩長是一樣的.以及E點要控制在一定范圍，否則就無法實現(xiàn)對角在底面的捆扎,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模從實踐中來回到實踐中去.

方法2

兩邊之和大于第三邊：

EF

GH

IJ

KL

所以EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LE<2x+2y+4z,即M

設(shè)計意圖將對角捆扎每一線段都構(gòu)成直角三角形，目的是將直角三角形的邊長與長方形的長寬高聯(lián)系起來，其所有直角邊之和就是L長度.或?qū)⒚恳痪€段看成向量進行正交分解，所有分解后的向量同向之和的模就是2x+2z與2y+2z,從而兩邊之和大于第三邊.在數(shù)學(xué)建模的求解模型中，不斷激發(fā)學(xué)生思考動力，運用各種所學(xué)知識達到建模，促進數(shù)學(xué)知識、能力的靈活運用.

問題7“十字捆扎”的十字分別打在不同的面上有3種捆扎方式，哪一種繩長最短？能給出判斷標(biāo)準(zhǔn)嗎？“對角捆扎”的對角分別打在不同的面上有3種捆扎方式，哪一種繩長最短？能給出判斷標(biāo)準(zhǔn)嗎？

分析(1)“十字捆扎”的十字分別打在不同的面上有3種捆扎方式：

L1=2x+2y+4z，L2=2x+2z+4y，

L3=2y+2z+4x.

(2)“對角捆扎”的對角分別打在不同的面上有3種捆扎方式：

結(jié)論當(dāng)z≤x,z≤y時，即z最小時，“十字捆扎”的十字打在含x,y面上時繩子最短.在z最小時，“對角捆扎”的對角打在含x,y面上時，繩子最短.在z最小時，在含x,y面上的“對角”捆扎方式繩子最短.

設(shè)計意圖該問題的實驗教學(xué)中，在十字捆扎和對角捆扎分別求出繩長時，也可以插入讓學(xué)生思考探究，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的變化對模型的影響，本模型中本質(zhì)是x,y,z互換，為后面模型應(yīng)用做好求解策略的鋪墊，提高解決問題的效率.

(5)深入探究

探究1將10個相同的長方體禮盒，用彩紙按“規(guī)則打包”的形式將10個禮盒打包成一個長方體的大包，問怎樣打包使用彩紙最少？(禮盒長20cm，寬10cm，高5cm，包內(nèi)物體都是全等長方體，且相鄰兩物體必須以全等側(cè)面對接，打包后的結(jié)果仍是一個長方體)

探究2用對角捆扎方式給如圖正四棱臺進行捆扎，點P在線段AB上，且PB=1,當(dāng)彩繩扎緊四棱臺且經(jīng)過P點時，求此時彩繩的長度.

設(shè)計意圖立體幾何模型的深化應(yīng)用，主要是讓學(xué)生再次運用求解模型的數(shù)學(xué)思想方法，解決立體幾何中的線段問題，學(xué)生已經(jīng)有所熟悉，將線段長度問題拓展到面積問題具有挑戰(zhàn)性，同時新的問題需要重新數(shù)學(xué)建模的一般過程，學(xué)生會更加熟悉數(shù)學(xué)建模的一般流程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平.

5 實驗教學(xué)實踐反思

5.1 學(xué)生實驗表現(xiàn)及反饋

數(shù)學(xué)實驗的核心需要學(xué)生主動學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，積極參與數(shù)學(xué)建模中的動手實驗環(huán)節(jié)，在體驗中感知，在體驗中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題、分析問題，并在建立模型與求解模型中自主獨立思考解決問題，給學(xué)生自己運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想解決問題的鍛煉.

數(shù)學(xué)建模要用真實情境，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)來源于生活，認識到知識和技能在未來的學(xué)習(xí)和生活中的價值，從而在數(shù)學(xué)與問題情境的有效互動中激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)建模解決實際問題能力.

學(xué)生主動學(xué)習(xí)并不是漫無目的的，需要教師精心設(shè)置問題進行引導(dǎo)，如由彩繩長度的測量出發(fā)，歸納出結(jié)論，通過建立數(shù)學(xué)模型，求解模型使得實際問題得以解決，其中難點就在于對角捆扎彩繩長度的求法，先設(shè)置問題解決2條線段問題，進而推廣到8條甚至n條線段.

數(shù)學(xué)實驗活動環(huán)節(jié)學(xué)生相對陌生，此時需要教師多多鼓勵，學(xué)生只有參與其中親身感知，才能獲得數(shù)學(xué)“源”與“流”的過程；面對求解模型環(huán)節(jié)，學(xué)生想法會比較多，既要展示教學(xué)設(shè)計方案，也要尊重學(xué)生，讓學(xué)生充分展示其得到求解模型的方法，在其基礎(chǔ)上引導(dǎo)并解決問題；還要關(guān)注其解決不了的問題在哪里，教師為學(xué)生尋找擺脫困境的方法，讓學(xué)生在課堂中有成就感，形成積極活躍的課堂氛圍并讓學(xué)生逐步具備知難而上的探究精神.

5.2 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的思考

通過數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣，引導(dǎo)學(xué)生進行深入探究和動手實驗，學(xué)生的探究實驗過程有較高的自由度，教師僅起到觀察和引導(dǎo)的作用.在探究和實驗過程中對有困難的學(xué)生，建議以小組討論的形式相互指導(dǎo)，實驗教學(xué)希望學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題→實際問題→探究嘗試→形成方案→解決問題”這樣一個現(xiàn)實問題解決的過程，同時也將“現(xiàn)實問題→現(xiàn)實模型建立→數(shù)學(xué)模型建立→數(shù)學(xué)問題解決→結(jié)論返回現(xiàn)實”整個數(shù)學(xué)建模過程融入其中.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)容取材力求從學(xué)生熟悉的內(nèi)容入手進行探究和設(shè)計，進而回饋學(xué)生的數(shù)學(xué)知識認知體系，同時教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計也盡可能將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實相聯(lián)系.