王 帥，李 婷

（陸軍工程大學石家莊校區(qū)裝備模擬訓練中心，石家莊 050003）

0 引言

現(xiàn)實世界中，許多復雜的系統(tǒng)均可用網(wǎng)絡系統(tǒng)來描述，如實際的互聯(lián)網(wǎng)、電力網(wǎng)絡、交通網(wǎng)絡和抽象的人際社會關系網(wǎng)、生態(tài)鏈網(wǎng)絡等。這些網(wǎng)絡系統(tǒng)，由于其網(wǎng)絡節(jié)點眾多，網(wǎng)絡拓撲結構復雜、鏈路多變，因此，常將這類網(wǎng)絡稱之為復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)。隨著復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)研究的深入，復雜網(wǎng)絡結構可控性成為眾多學者研究的熱點。2011 年，Liu［1］率先運用自動控制理論，在Lin［2］基礎上研究了網(wǎng)絡的結構控制問題，提出了復雜網(wǎng)絡可控性理論，基于Kalman 秩判據(jù)開展復雜網(wǎng)絡的結構可控性分析。文獻［3］針對擁有自環(huán)節(jié)點的狀態(tài)可調(diào)解網(wǎng)絡研究了其可控性，并得出該網(wǎng)絡可控僅需一個驅動節(jié)點的結論；文獻［4］采用代數(shù)研究的方法，基于圖的連通性開展控制節(jié)點選取研究，并對方法作了仿真驗證；文獻［5］研究網(wǎng)絡控制過程的能量代價，證明了網(wǎng)絡控制的復雜程度與網(wǎng)絡結構緊密相關；文獻［6］區(qū)分了網(wǎng)絡控制節(jié)點作用，通過將網(wǎng)絡節(jié)點劃分為關鍵點、間歇點和冗余點，描述了網(wǎng)絡控制的不同方式；文獻［7］引入了節(jié)點控制能力概念，利用添加輸入或者連邊的方法，給出了網(wǎng)絡精確可控的最小驅動點集合和極小被控點集合算法，但是算法仍然較為復雜且所得不是解析解；文獻［8］針對有向圖，引入“支配中心性”這一新的指標，評估有向圖中頂點對其他節(jié)點的控制和觀測能力；文獻［9］基于PBH 可控性判定提出了嚴格可控性理論，實現(xiàn)了復雜網(wǎng)絡即最小控制輸入節(jié)點的數(shù)學求解。

戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡節(jié)點眾多，屬于典型的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)，具有復雜和動態(tài)兩種特征。要保證戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡的每個節(jié)點、每條鏈路都正常運行，需要消耗有限的管理控制資源，增大了網(wǎng)絡的管理控制難度，使其安全性、穩(wěn)定性、可靠性等方面問題凸顯。目前的應對措施沒有從戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡的動態(tài)結構這一根本原因出發(fā)，缺乏有效的解決方案，特別是未來戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡結構更加復雜，若無有效應對方案，將會制約戰(zhàn)場信息網(wǎng)絡建設。因此，需要研究戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡進行合理有效的結構控制方法，解決戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡結構可控性。

1 基于“0 特征值”的網(wǎng)絡結構可控求解

開展復雜網(wǎng)絡可控性研究，是基于結構控制理論將復雜網(wǎng)絡視為一個系統(tǒng)，對于有n 個節(jié)點、m 個控制輸入（m≤n）的網(wǎng)絡系統(tǒng)，其運行狀態(tài)方程可表述為［10-11］。

其中，A 為n 階復雜網(wǎng)絡鄰接矩陣，x=（x1，x2，…，xn）T為n 維網(wǎng)絡的運行狀態(tài)變量，u=（u1，u2，…uM）T為m維輸入變量，輸入矩陣B 為控制輸入矩陣。此時，在系統(tǒng)可控性判據(jù)約束下，系統(tǒng)的可控性由系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣決定，與系統(tǒng)外部具體輸入無關。常用的網(wǎng)絡結構可控性判定方法有兩種：基本秩判據(jù)［1］和PBH 秩判據(jù)［10］。

1）基本秩判據(jù)是構造判定矩陣Q=［B AB A2B，… ，An-1B］=［I A A2，…，An-1］·B，通過矩陣Q 的秩來判定復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)是否結構可控，若rank（Q）=n，即判定矩陣滿秩則網(wǎng)絡是結構可控的，若rank（Q）＜n 則網(wǎng)絡是結構不可控。

2）PBH 秩判據(jù)是構造判定矩陣Pk=［λkI-A|B］（λk為鄰接矩陣A 所對應的所有特征值，k=1，2，…，n）。若所有k 對應的Pk都滿足rank（Pk）=n，則復雜網(wǎng)絡結構可控，如果有任一k 對應的Pk滿足rank（Pk）＜n，則復雜結構不可控。

網(wǎng)絡結構可控的秩判定說明了復雜網(wǎng)絡的結構可控性判斷，取決于復雜網(wǎng)絡的鄰接矩陣A 和控制輸入矩陣B。網(wǎng)絡結構可控最少控制輸入點求解的思想是：基于鄰接矩陣A 和輸入矩陣B 構造判斷矩陣，通過變換B 使判斷矩陣滿秩，B 變換對應的行及行數(shù)量即是復雜網(wǎng)絡結構可控的最少輸入控制節(jié)點數(shù)。

這里，將進一步對PHB 秩判據(jù)進行深入討論。對于n 個節(jié)點的無向網(wǎng)絡結構，則其鄰接矩陣A 為n 階對稱矩陣，且元素僅為0 或1。因此，A 為較為特殊的一種矩陣，除了具備一般n 階矩陣常見性質(zhì)外，還有些特殊性質(zhì)。

定理1：鄰接矩陣A 為n 階實對稱矩陣，不考慮特征值的重復次數(shù)，則A 一定有n 個特征值。

證明：由矩陣理論［12-13］定理可知，對于n 階實對稱矩陣A 必能相似對角化，且相似對角化對角線上的元素即為A 的特征值，則A 有n 個特征值。

定理2：對于n 階實對稱鄰接矩陣A，當矩陣秩rank（A）=k（k 為正整數(shù)且0＜k＜n），則λ=0 為A 的特征值，且為（n-k）重。

證明：A 為實對稱矩陣，由于A 不滿秩，則A必然存在值為0 的特征值。又由于A 必然能夠相似對角化，則說明A 必然有n 個線性無關的特征向量，特征根重根對應線性無關的特征向量的個數(shù)等于其重數(shù)。由于A 的秩為k，則特征根λ=0 為重根，其對應（n-k）個線性無關特征向量，即λ=0 為（n-k）重。

推論1：對于n 階實對稱鄰接矩陣A，不存在非0 特征之外的多重特征值。

證明：假設A 存在除0 以外的多重特征根λ'≠0，其重數(shù)為m（m 為正整數(shù)，0＜m＜n），則

由于是對稱矩陣，則rank（A）=n-rank（λ'I-A）=n-m。

而根據(jù)定理2，當rank（A）=n-m 時，特征值為0且其重數(shù)為n-（n-m）=m，這與λ'≠0 矛盾，因此，不成立。

推論2：對于n 階實對稱鄰接矩陣A，當rank（A）=n 時，其有n 個特征值，這些特征值互不相同且均不為0。

證明：由于A 為實對稱矩陣，當rank（A）=n 時，對于任意特征值λi都有

即所有特征值λi的重數(shù)都為1。下面證明任意λi≠0。

反證法。如果有一特征值為0，則滿足

然而，rank（0I-A）=rank（A）=n，相互矛盾，故λ'≠0，證畢。

需要說明的是，當rank（A）=n，A 中行（列）向量均線性無關，此時網(wǎng)絡可控結構是最少輸入控制點數(shù)量為1。

綜上所述，關于具有n 個節(jié)點的無向復雜網(wǎng)絡結構可控，其最少輸入控制點個數(shù)的求解轉化為其鄰接矩陣的“0 特征值”階數(shù)?？傻媒Y論：對于具有n個節(jié)點的無向復雜網(wǎng)絡，其最少控制輸入點個數(shù)等于A 的0 特征值個數(shù)，即Nd為：

通常，將網(wǎng)絡可控最少控制輸入節(jié)點數(shù)與網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)的比值定義為網(wǎng)絡可控度nd，其表達式為：

網(wǎng)絡可控度與Nd成正比，反映了網(wǎng)絡結構可控的復雜程度，其值越大，說明網(wǎng)絡最少輸入控制節(jié)點數(shù)多，網(wǎng)絡結構可控性差；反之，其值越小說明網(wǎng)絡結構可控性較好。

2 基于“0”特征值的復雜網(wǎng)絡結構優(yōu)化策略

“0 特征值”對應的特征矩陣存在著零向量、重復向量和線性相關向量。這是向量包含若干節(jié)點（行），對這些節(jié)點通過調(diào)整邊連接關系（增加或減少），最大限度消除零向量、重復向量和線性相關向量，則網(wǎng)絡可控最小控制輸入點就會減少，網(wǎng)絡可控性就會提高?；诖?，可以采用消除多重特征根的特征向量來優(yōu)化復雜網(wǎng)絡。在優(yōu)化過程中，設定每個運行步長只允許對一條邊進行一次增邊或減邊操作，具體優(yōu)化策略如下：

2.2 鎮(zhèn)咳平喘作用 天冬的鎮(zhèn)咳、平喘、祛痰作用較強，最早在《本草綱目》中有記載，天冬酰胺是其鎮(zhèn)咳的有效成分之一。天冬醇提物對濃氨水引起的小鼠咳嗽和由組胺引起的豚鼠咳嗽有顯著抑制作用，其中對小鼠有較為明顯的祛痰作用，對組胺引起的豚鼠哮喘模型起平喘作用[16]。天冬總皂苷可以抑制哮喘模型小鼠的氣道炎性因子，顯著降低白細胞介素(interleukin，IL)4、IL-13和COX-2的水平，抑制誘導型一氧化氮合酶的表達，還可增加巨噬細胞數(shù)量，減小支氣管周圍血管增生及膠原蛋白層厚度，抑制血管內(nèi)皮生長因子表達[17]。

1）特征根向量集中是否存在零向量。如果存在，則逐個找到各零向量的對應行，對其進行增邊操作。

2）特征根向量集中是否存在重復向量。如果存在，則逐個找到每個重復向量的對應行，隨機選取其中節(jié)點進行增邊或減邊操作。重復上述步驟直至重復向量消除。

3）特征根向量集中是否存在線性相關向量。如果存在，則在線性相關向量的對應節(jié)點集中，任選一個節(jié)點進行連接改變，即進行邊連接變換操作（一般為增邊）。重復上述步驟直至線性相關向量最少。

在消除重復向量和線性相關向量過程中，減邊操作可能會導致網(wǎng)絡結構出現(xiàn)孤立節(jié)點（零向量），因此，在重復向量和線性相關向量優(yōu)化后，均需進一步判斷網(wǎng)絡中是否存在零向量。當優(yōu)化后的特征矩陣不存在零向量和重復向量，線性相關向量將至最少時（不一定為0），優(yōu)化完成。此時，特征矩陣（-A）的行相關性最小，網(wǎng)絡結構可控性得到提高?；凇? 特征值”的網(wǎng)絡結構優(yōu)化流程如圖1 所示。

圖1 網(wǎng)絡結構優(yōu)化流程

3 實際網(wǎng)絡應用分析

以某指揮通信網(wǎng)為例研究，該指揮網(wǎng)包括1 個中心指揮子網(wǎng)、1 個后方保障子網(wǎng)、1 個機動指揮子網(wǎng)，7 個運行子網(wǎng)，每個子網(wǎng)包含若干通信節(jié)點；同時陣地間5 個通信節(jié)點的干線通信網(wǎng)，另有衛(wèi)星中繼通信節(jié)點、3 個衛(wèi)星地面站節(jié)點和2 個衛(wèi)星背負站接入節(jié)點，共51 個通信節(jié)點，涉及的通信方式有電臺、微波、光纖、衛(wèi)星等。該指揮網(wǎng)結構為層級結構，其中，干線通信子網(wǎng)和微波中繼子網(wǎng)采用的網(wǎng)狀拓撲，構成點對點的網(wǎng)狀連接；衛(wèi)星中繼通信子網(wǎng)采用星型拓撲結構，由地面站和背負式接入站構成中繼通信鏈路；其余通信子網(wǎng)采用星型拓撲結構，各個子網(wǎng)以中心節(jié)點核心，各個子網(wǎng)核心節(jié)點通過干線通信子網(wǎng)及中繼子網(wǎng)能夠連接。由于戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡為雙向傳遞，而有向網(wǎng)絡通常用于描述單向信息傳遞，且由于研究指揮通信網(wǎng)絡的結構可控性，僅考慮網(wǎng)絡中節(jié)點的連接情況而不考慮節(jié)點間的距離和介質(zhì)，即不考慮網(wǎng)絡中邊的權值，因此，可將戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡限定為無向、無權網(wǎng)絡。此外，指揮通信網(wǎng)節(jié)點的實際應用決定了網(wǎng)絡為無自環(huán)網(wǎng)絡。同時研究過程中，為了保證節(jié)點控制輸入的有效性，將每一個控制輸入視為單控制輸入，即每個控制僅能對某一節(jié)點進行輸入。此時，將51 個通信節(jié)點分別進行編號，根據(jù)網(wǎng)絡節(jié)點的連接關系，繪制出其拓撲結構圖，共包括69 條邊，如圖2 所示。

圖2 某指揮通信網(wǎng)絡結構圖

由網(wǎng)絡的拓撲結構，得出該網(wǎng)絡對應的鄰接矩陣A 為51×51 對稱仿真，其簡略表示如下：陣A，對其求秩，得

其次，根據(jù)“0 特征值”特性可知，鄰接矩陣A 存在重數(shù)為19 的“0”特征值，則可得該網(wǎng)絡結構可控的最少控制輸入點個數(shù)Nd為

再次，求解0 特征值對應的特征矩陣（-A）進行初等變換，求解出其存在8 組重復向量和5 組線性相關向量，具體如表1 所示。

表1 “0 特征值”對應特征矩陣初等變換結果數(shù)據(jù)

網(wǎng)絡可控最少輸入節(jié)點是要從這8 組重復向量和5 組線性相關向量組包含的節(jié)點中選取19 個節(jié)點為控制最少輸入點。從計算結果可知，重復向量組和線性相關向量組之間有交叉節(jié)點，分別為2、12、15、22、33、36；線性相關向量組之間也有交叉點，分別為：19、20、47 共9 個節(jié)點，具體實施時，這些節(jié)點可以視為必選點，剩余10 個節(jié)點可以從剩余節(jié)點中按照PHB 置換原則進行選擇，這樣可以進一步縮小最少輸入控制點集合。

依據(jù)“0 特征值”對應特征向量的優(yōu)化策略，對該網(wǎng)絡進行優(yōu)化，經(jīng)過32 步優(yōu)化操作，得到優(yōu)化后的網(wǎng)絡結構，如圖3 所示。

圖3 結構優(yōu)化后的旅級戰(zhàn)場信息網(wǎng)絡結構圖

對優(yōu)化前后網(wǎng)絡結構特征參數(shù)進行統(tǒng)計，得到優(yōu)化前后網(wǎng)絡結構部分指標數(shù)據(jù)對比如表2 所示。

表2 網(wǎng)絡優(yōu)化前后網(wǎng)結構特性對比表

從表1 可以看出優(yōu)化后的網(wǎng)絡增加了部分邊數(shù)，結構更加復雜，但是網(wǎng)絡結構指標數(shù)據(jù)相比先前網(wǎng)絡結構有了明顯優(yōu)化，可控性大大提到。當然這個優(yōu)化過程可以進一步結合網(wǎng)絡節(jié)點的使命任務和通信方式，則優(yōu)化后的網(wǎng)絡更具價值。

進一步地，從網(wǎng)絡結構抗毀性對優(yōu)化前后網(wǎng)絡性能進行對比。分別采用隨機攻擊和蓄意攻擊［14-15］兩種方式進行。隨機攻擊時考察網(wǎng)絡的連通狀態(tài)隨機攻擊網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)量增加的變化情況，為消除隨機性，建立200 次攻擊樣本進行統(tǒng)計。則網(wǎng)絡優(yōu)化前后網(wǎng)絡達到不連通狀態(tài)所需要的攻擊節(jié)點數(shù)量，如圖4 所示。

圖4 隨機攻擊條件下網(wǎng)絡失效隨攻擊節(jié)點數(shù)量變化圖

由圖4 可見，隨機攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡平均遭受6 個節(jié)點的攻擊網(wǎng)絡便處于不連通狀態(tài)，優(yōu)化后網(wǎng)絡平均遭受14 個節(jié)點的攻擊網(wǎng)絡，才能失效為不連通，網(wǎng)絡抗隨機攻擊性能大幅提高，證明了在隨機攻擊條件下網(wǎng)絡結構優(yōu)化策略的有效性。

蓄意攻擊分別采用按節(jié)點度和節(jié)點介數(shù)進行攻擊，考察網(wǎng)絡最大連通子圖數(shù)量變化和網(wǎng)絡效率［16］變化情況，如圖5 所示。

圖5 不同攻擊條件下網(wǎng)絡性能變化隨攻擊節(jié)點數(shù)量變化圖

由圖5 可見，隨意攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡的最大連通子網(wǎng)節(jié)點數(shù)量和網(wǎng)絡效率下降相對較慢；按節(jié)點度攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡的最大連通子網(wǎng)節(jié)點數(shù)量和網(wǎng)絡效率均劇烈下降，網(wǎng)絡很快失效；按節(jié)點介數(shù)攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡的最大連通子網(wǎng)節(jié)點數(shù)量和網(wǎng)絡效率呈現(xiàn)快速下降。然而，同樣攻擊條件下，最大連通子圖節(jié)點數(shù)量和網(wǎng)絡效率較優(yōu)化前下降過程更為緩慢，表現(xiàn)了更好的抗毀性能，也證明了蓄意攻擊條件下網(wǎng)絡結構優(yōu)化策略的有效性。

4 結論

基于“0 特征值”的網(wǎng)絡結構可控最少輸入點數(shù)量求解和結構優(yōu)化策略，本質(zhì)上是將復雜網(wǎng)絡結構可控分析轉化為網(wǎng)絡鄰接矩陣特性研究上，由鄰接矩陣便能迅速確定網(wǎng)絡結構可控最少輸入點數(shù)量以及控制節(jié)點范圍，對鄰接矩陣初等行列變換能夠有效優(yōu)化網(wǎng)絡結構。這一結果在對比網(wǎng)絡結構特性統(tǒng)計數(shù)據(jù)和抗毀性測試方面得到印證，可將其用于戰(zhàn)場指揮通信網(wǎng)絡的規(guī)劃設計、結構分析等，對于維護指揮通信網(wǎng)絡的安全性、穩(wěn)定性、可靠性等具有很強的現(xiàn)實意義。但是，該方法目前僅適用于無向無權無自環(huán)網(wǎng)絡，關于有向、有權和有自環(huán)網(wǎng)絡的結構可控與優(yōu)化，還需要進一步研究。