章 繁，柴洪洲，肖國銳，杜禎強，郭云飛

（解放軍信息工程大學，鄭州 450001）

隨著GNSS 技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，多頻多模高精度定位已經(jīng)成為行業(yè)發(fā)展熱點和趨勢。這其中，中國的BDS 衛(wèi)星導航系統(tǒng)是全球第一個能夠發(fā)射三頻信號的導航系統(tǒng)，最新的BDS3 代全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)也已經(jīng)搭建完畢，具備了全球服務(wù)能力[1]。美國的GPS 系統(tǒng)自Block-ⅡF 衛(wèi)星以后，也已能夠為全球用戶提供三頻服務(wù)。歐洲Galileo 系統(tǒng)更是能夠提供五個頻率的觀測值，它們分別是 E1（1575.42 MHz），E5a（ 1176.45 MHz ）， E5b （ 1207.14 MHz ）， E5（1191.795 MHz）和E6（1278.75 MHz）[2,3]。此前大量基于三頻GNSS 觀測值的研究已經(jīng)表明，相較于雙頻GNSS 信號，使用三頻觀測值能夠帶來明顯的定位性能上的提升并增強系統(tǒng)的魯棒性[4,5]。因此，Galileo系統(tǒng)的五頻觀測值具備廣闊的應(yīng)用前景，并已有大量文獻對此展開研究[6,7]。

周跳是由于接收機載波環(huán)路失鎖造成載波相位觀測值的整周跳變，失鎖的原因包括衛(wèi)星信號的阻擋和由于惡劣電離層環(huán)境造成的低信噪比等[8,9]。目前，周跳相關(guān)方面的研究較多較深入。在雙頻周跳的研究方面，TurboEdit 算法應(yīng)用最為廣泛[10]。該算法由一組MW 組合和無幾何組合構(gòu)成，適應(yīng)性和可靠性較強，但是其易受到偽距觀測噪聲的影響。眾多文獻圍繞這一點在多方面對TurboEdit 算法進行了改進[11,12]。不同于雙頻周跳，多頻周跳能夠構(gòu)成眾多性質(zhì)優(yōu)良的周跳探測組合，使得其周跳探測手段和能力大大增加[13,14]。文獻[13]針對電離層活躍期三頻周跳探測方法難以正確探測和修復周跳的問題，提出了能夠削弱電離層延遲影響的三頻TurboEdit 算法，實現(xiàn)了電離層活躍條件下動態(tài)非差周跳的實時探測與修復。文獻[15]研究了電離層擾動和低采樣率下數(shù)據(jù)的實時周跳的探測與修復問題，提出了一種基于GFIF（Geometry-free and Ionospheric-free)組合的BDS 三頻周跳探測與修復方法，該方法首先搜索B3 頻點的周跳，然后通過構(gòu)造的兩個GFIF 組合找到B1 和B2 頻點上的周跳。實驗結(jié)果表明即使在電離層擾動情況下，新方法也能夠有效的探測并修復所有周跳。文獻[16]提出了一種基于多普勒輔助信號的實時BDS 三頻周跳處理方法，該方法引入了一個平衡因子調(diào)整原始碼和多普勒觀測值的貢獻，實驗結(jié)果表明在較低采樣間隔條件下，純多普勒觀測值能夠有效地探測與修復周跳，當采樣間隔增加時，采用所提算法的周跳修復成功率能夠達到99.7%。

近年來也有眾多文獻涉及Galileo 多頻（超三頻）觀測值的研究。文獻[1]研究了Galileo 四頻周跳探測與修復，該文獻通過載波相位平滑偽距輔助四頻周跳探測與修復，達到了較好的實驗效果。文獻[17]研究了北斗和Galileo 四頻周跳的實時探測與修復，結(jié)合周跳修復概率選擇周跳探測組合系數(shù)，通過30 s 和實時0.05 秒數(shù)據(jù)測試，結(jié)果表明該方法能夠有效探測并修復所有周跳。文獻[7]研究了基于Galileo 五頻觀測值的PPP 模糊固定解，結(jié)果表明更多的頻率有助于實現(xiàn)Galileo PPP 快速模糊度固定。

更多頻率觀測值為GNSS 精密定位發(fā)展提供了新的機遇，也對GNSS 數(shù)據(jù)預(yù)處理工作提出了更高的要求。其中，周跳的探測與修復是關(guān)鍵。目前尚未見到Galileo 五頻周跳探測與修復相關(guān)的公開文獻。相較于三頻或者雙頻觀測值，五頻觀測值能夠通過構(gòu)造五個獨立的周跳探測組合探測與修復周跳，但是如何從眾多組合中選出某種意義上最優(yōu)的組合進行周跳處理是個難題。針對此，考慮到周跳修復法方程存在不同程度病態(tài)性的問題，而條件數(shù)可以用來表征病態(tài)程度[18,19]，本文提出一種以條件數(shù)最小為準則，在已經(jīng)過標準差、波長等指標篩選后的組合中挑選最優(yōu)組合系數(shù)的方法。如此挑選的組合兼顧了良好的周跳探測性能和周跳修復能力。接著應(yīng)用優(yōu)選的五組周跳探測組合進行各類周跳探測實驗。最后提出引入LAMBDA算法進行 Galileo 五頻周跳修復，重點研究了LAMBDA 算法中ratio 值設(shè)置問題。本文的研究結(jié)果對GNSS 五頻甚至更多頻觀測值的數(shù)據(jù)預(yù)處理具有一定的參考價值。

1 Galileo 五頻周跳探測原理

Galileo 原始載波相位和偽距觀測值可表示如下：

式中，Pr（t）和φr（t）分別表示t時刻以米和周為單位的偽距及相位觀測值，ρ表示與頻率無關(guān)的集合距離項，rλ表示第r（r=1, 2, 3, 4, 5 分別表示Galileo 系統(tǒng)E1, E5a, E5b, E5 和E6）頻率的波長，1I表示E1 頻點的電離層延遲，rN表示第r頻點上的模糊度，rPε和rφε分別表示偽距和相位的觀測噪聲。

本節(jié)借鑒三頻周跳的處理思想[20]，引入無幾何相位組合和無幾何偽距相位組合進行五頻周跳探測與修復。

1.1 無幾何相位組合

根據(jù)式(1)，Galileo 五頻無幾何相位組合可以表示為

其中，

式中，ηi,j,k,l,m表示電離層延遲放大系數(shù)，為組合模糊度，εφi,j,k,l,m為組合噪聲。為了構(gòu)造無幾何觀測量，則需要i+j+k+l+m= 0。

然后，進行歷元間差分：

可得如下周跳探測量：

歷元間差分后，當電離層延遲系數(shù)較小時忽略電離層延遲影響，得到周跳探測量標準差為：

1.2 無幾何無電離層偽距相位組合

由式(1)可知，Galileo 五頻偽距和載波相位組合可以表示為

其中，

式中，ηi,j,k,l,m，ηa,b,c,d,e表示電離層延遲放大系數(shù)。則偽距相位組合可以表示為：

由上式可知，要想消除幾何距離項，需要使得a+b+c+d+e= 1，電離層延遲影響系數(shù)越小越好，可降低電離層延遲誤差對其影響。然后進行歷元間差分：

于是，得到周跳探測量及其標準差為：

針對Galileo 五頻周跳特點，本文提出通過構(gòu)造四組無幾何相位組合加一組無幾何偽距相位組合進行周跳探測。選擇此種組合方式主要基于以下幾點考慮：1）相較于偽距觀測值，載波相位觀測值精度高，通過利用四組無幾何相位組合能夠大幅提高周跳探測的精度；2）添加一組無幾何偽距相位組合能夠進一步增加探測周跳的能力，并且在周跳估計過程中，使周跳估值法方程系數(shù)陣避免嚴重復共線性，影響周跳估值可靠性。

2 Galileo 五頻周跳修復

Galileo 五頻周跳估計方程如下所示：

式中，系數(shù)矩陣A前四行是由四組無幾何相位組合構(gòu)成，i(p)，j(p)，k(p)，l(p)和m(p)（p=1，2，3，4，5）分別表示的是無幾何相位組合中相位觀測值的組合系數(shù)，矩陣A的第五行的i，j，k，l和m為無幾何偽距相位組合中相位觀測值的組合系數(shù)，ΔN表示Galileo五頻周跳，l表示周跳組合觀測量。由此我們得到觀測量l的協(xié)方差陣為：

3 周跳探測組合選取

然而，當按照上述步驟和方法采用最小二乘法估計五頻周跳時，仍有較大可能會受到法方程病態(tài)性的影響。在這種情況下，觀測量的微小偏差就會對周跳估值產(chǎn)生較大影響，使得周跳估值偏離真實值。因此，周跳探測組合系數(shù)的選取成為了影響Galileo 五頻周跳探測與修復的重要因素。針對此，本文提出將條件數(shù)[18]納入考量，以條件數(shù)最小為原則優(yōu)選周跳探測組合系數(shù)。

基于以上分析，提出優(yōu)選Galileo 五頻周跳探測與修復組合系數(shù)策略，具體為：首先基于前文所述的兩種五頻周跳探測組合，在某一系數(shù)區(qū)間內(nèi)，構(gòu)造N組由四組無幾何相位組合和一組無幾何偽距相位組合構(gòu)成的Galileo 五頻周跳探測組合，然后依據(jù)組合波長較長，電離層延遲放大系數(shù)和周跳探測量標準差較小的標準在N組組合中選出N1 組較優(yōu)的周跳探測組合，為提高周跳探測的精度和發(fā)現(xiàn)小周跳的能力，設(shè)置嚴格的選擇標準如表1 所示。以上N1 組周跳探測組合均有較好的周跳探測性能，且受電離層殘差影響較小，能夠有效探測小周跳。接著依據(jù)條件數(shù)最小原則從上述N1 組組合中遍歷選出最優(yōu)組合。優(yōu)選五頻周跳探測的組合系數(shù)方法如圖1 所示。實驗選取系數(shù)區(qū)間設(shè)為[-4 4]。

表1 選擇周跳探測組合的標準Tab.1 selection principle of selecting cycle slip detection combination

圖1 優(yōu)選Galileo 五頻周跳探測組合系數(shù)流程Fig.1 Optimization of combination coefficient flow for five frequency cycle slip detection

表2 直接給出了以上搜索選取過程得到的最優(yōu)組合及其標準差等。從表中可以看出所選的周跳探測組合的探測精度較高，具備較強的小周跳探測能力。五組組合系數(shù)組成的方程系數(shù)陣的條件數(shù)為732.21，相較于其他組合系數(shù)構(gòu)成的周跳探測組合數(shù)千甚至數(shù)萬的條件數(shù)的量級，本次優(yōu)選的五組組合系數(shù)構(gòu)成的Galileo 五頻周跳探測組合大幅降低了周跳估計受周跳修復法方程病態(tài)性影響的可能，提高了周跳估計和修復的成功率與可靠性。

表2 周跳探測組合系數(shù)選取結(jié)果Tab.2 The final selection results of cycle-slip detection combination coefficient

圖2 周跳探測與修復流程圖Fig.2 Cycle slip detection and repair flow chart

4 實驗分析

采用前文所述算法和流程，基于實測數(shù)據(jù)開展周跳探測與修復的實驗。

4.1 實驗數(shù)據(jù)選取與方案設(shè)置

實驗選擇測站為2018 年年積日第32 天位于南非的HARB 站3 顆衛(wèi)星連續(xù)弧段觀測數(shù)據(jù)，具體如表3 所示。采用上一節(jié)中所優(yōu)選的Galileo 五頻周跳探測的組合系數(shù)進行試驗。

表3 實驗數(shù)據(jù)選取Tab.3 selection of experimental data

4.2 周跳探測

為驗證算法對于不同周跳的探測能力，在E30 衛(wèi)星選取弧段的第200，400，600 和800 歷元處分別添加[1 0 1 0 1]小周跳，[1 2 1 1 2]小周跳，[1 5 3 7 4]一般周跳和[10 13 24 15 21]大周跳。算法探測結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，無幾何相位組合[0 0 -1 0 1]和[1 1 -2 -1 1]在第200 歷元處未能有效探測出添加周跳，其他各個歷元添加周跳均被各個周跳探測組合有效探測。而當聯(lián)合五組周跳探測組合探測時，可以看出第200 歷元添加的小周跳被無幾何相位組合[0 2 0 -1 -1]和[1 1 -2 0 0]，以及偽距相位組合[1 2 -3 -1 1]有效探測，最后，該歷元添加的模擬小周跳被成功探測。

圖3 模擬單個周跳探測Fig.3 simulated single cycle slip detection

本文研究了算法對于連續(xù)周跳的探測能力，在所選衛(wèi)星弧段第500，501 和502 歷元各個頻率分別添加[1 2 1 2 1]，[2 1 2 0 2]和[2 1 2 0 2]周跳組合，在第800，801 和802 歷元添加[0 1 0 2 2]，[12 4 6 8 16]和[2 1 2 1 2]周跳組合。圖4 給出了兩組連續(xù)周跳探測實驗的周跳探測情況。從圖中可以看出，無幾何相位組合[0 0 -1 0 1]和[1 1 -2 -1 1]并未探測出在第500 歷元添加的模擬周跳組合，而其他三組周跳探測組合均成功探測出該處添加的周跳。無幾何相位組合[0 2 0 -1 -1]和偽距相位組合[1 2 -3 -1 1]未成功探測出第501 歷元處添加的周跳組合，而其他三組周跳探測組合均成功探測。

圖4 第500, 501, 502 歷元和第800, 801, 802 歷元連續(xù)周跳探測實驗Fig.4 Simulated continuous epoch cycle slip detection at epoch 500, 501,502 and 800, 801, 802

五組周跳探測組合均成功探測出第502 歷元處添加的模擬周跳組合。在第800，801 和802 歷元添加的連續(xù)周跳組合均被各組周跳探測組合有效探測。兩組連續(xù)周跳探測實驗結(jié)果統(tǒng)計如表4 所示。

表4 連續(xù)歷元模擬隨機周跳探測結(jié)果統(tǒng)計Tab.4 Statistics of detection success rate of continuous-epoch simulated random cycle slips

上述實驗結(jié)果表明，相較于GNSS 三頻周跳探測，五頻周跳探測過程可以優(yōu)選五組周跳探測組合，只需其中任一組合探測出周跳即可達到目的，能夠有效提高周跳探測成功概率。

為進一步驗證算法對周跳的探測能力，對所選E30，E31 和E36 號衛(wèi)星弧段觀測值各頻率自首歷元開始間隔2 個歷元添加一個0 至9 周的隨機周跳，共計500 組周跳。然后統(tǒng)計單個周跳探測組合及總體周跳探測組合的周跳探測的成功率。其中E30 號衛(wèi)星探測結(jié)果統(tǒng)計如表5 所示。從表中可以看出，單一周跳探測組合并不能100%探測出所有周跳組合，其中偽距相位組合的周跳探測組合探測成功率為95.66%，低于其余四組無幾何相位組合探測成功率，這主要是由于受到偽距的噪聲的影響。但是聯(lián)合五組周跳探測組合來看，各個頻率各個歷元添加的模擬周跳均被有效探測，探測成功率達到100%，顯示出算法的有效性。E31 和E36 號衛(wèi)星實驗結(jié)果與E30 號衛(wèi)星類似，所有歷元添加的模擬周跳均被有效探測。

表5 多歷元模擬隨機周跳探測成功率統(tǒng)計Tab.5 Statistics of detection success rate of multi-epoch simulated random cycle slips

以上結(jié)果表明偽距觀測噪聲確實對周跳探測效果有較大影響，文獻[1]中采用載波相位平滑偽距進行了四頻周跳探測研究，取得了較好的效果，可以作為下一步研究方向。總的來看，聯(lián)合五組周跳探測組合可以探測出所有模擬隨機周跳，具有較高的周跳探測成功率和可靠性。

4.3 周跳估計與修復

對各個歷元探測出的Galileo 五頻周跳，依然采用前文所優(yōu)選的組合系數(shù)進行估計和修復。并設(shè)置以下4 組實驗方案：

方案一，結(jié)合取整概率公式對最小二乘結(jié)果進行四舍五入取整，然后結(jié)合取整成功概率公式進行周跳修復；

方案二，將利用周跳實數(shù)解的方差協(xié)方差信息采用 LAMBDA 算法進行搜索獲取整數(shù)周跳值，LAMBDA 算法的ratio 值設(shè)置為1；

方案三，LAMBDA 算法的ratio 值設(shè)置為2，其他同方案二；

方案四，LAMBDA 算法的ratio 值設(shè)置為3，其他同方案二。

其中方案一為傳統(tǒng)的周跳修復方法，得到各個頻率的周跳實數(shù)估值后直接取整，然后配合取整成功概率公式得到整數(shù)周跳。

表6 直接給出了上一節(jié)中兩組連續(xù)周跳模擬實驗的修復結(jié)果。從表中可以看出，采用LAMBDA 算法的方案（對應(yīng)方案二至方案四）成功修復了各歷元添加的所有周跳，各輪實驗中得到的ratio 值均大于30，表明周跳修復結(jié)果具有極高的可靠性和可信度。

針對方案一，若對周跳實數(shù)解進行四舍五入取整并統(tǒng)計其結(jié)果，則由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知六組周跳組合均被成功估計并修復。但是要使修復的周跳具有高可信度和高可靠性，就需要結(jié)合周跳修復成功概率公式結(jié)果進行判斷。由表6 可知通過四舍五入取整得到的整數(shù)周跳對應(yīng)的取整成功概率最高僅為98.33%（在表中由黑體標出），最低僅為41.95%，均無法達到閾值（99.99%）要求，因此方案一未能成功修復添加的周跳組合。事實上，在后續(xù)實驗對方案一修復結(jié)果的統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)其在絕大多數(shù)情況下均無法達到周跳修復成功概率閾值。因此，為方便比較，后續(xù)實驗僅統(tǒng)計四舍五入取整得到的整數(shù)周跳的正確率作為方案一的周跳修復成功率，將取整成功概率公式判斷結(jié)果記為輔助判斷條件。

為進一步研究算法的周跳修復能力，設(shè)置多星多歷元隨機周跳修復實驗。實驗針對表3 所示的三顆衛(wèi)星的三個觀測弧段，自首歷元始間隔兩個歷元在各個頻率觀測值上添加1 至9 周小周跳，進行三輪實驗，統(tǒng)計各方案平均周跳修復成功率如表7 所示，其中周跳修復漏判率表示事實上LAMBDA 算法成功固定了添加的周跳，但是由于ratio 值設(shè)置過大使得檢驗未通過造成的漏判概率，周跳修復誤判率表示事實上LAMBDA 算法未成功固定添加的周跳，但是由于ratio值設(shè)置過低造成檢驗通過引起的誤判概率。從表中可以看出：

1）三輪實驗中，方案一對E30，E31 和E36 號衛(wèi)星添加周跳的修復成功率在沒有結(jié)合取整成功率公式判斷的前提下，分別為93%，87.67%和84.50%。圖5 和圖6 給出了E30 號衛(wèi)星實驗中方案一的L1 頻點周跳估計的實數(shù)解與整數(shù)周跳的差值序列和取整成功率公式得到的取整成功率?？芍艚Y(jié)合取整成功率公式判斷，顯然，方案一修復的成功率極低。因此，結(jié)合圖5 和表6 可知，采用方案一進行周跳的修復成功率較低且可靠性極差；

表6 連續(xù)歷元模擬隨機周跳修復結(jié)果統(tǒng)計Tab.6 Statistics of repair success rate of continuous-epoch simulated random cycle slips

2）方案二的修復成功率最高，三輪實驗中其周跳修復率分別達到了100%，99.67%和99.75%，漏判率均為0，誤判率則分別為0，0.33%和0.25%。由此可知，當ratio 值設(shè)置為1 時，雖然周跳修復成功率較高，但是存在著誤判的風險。

3）方案三和方案四的周跳修復成功率分別為99.8%，99.00%，98.75 和98.20%，96.67%，95.75%，漏判率分別為0.20%，0.67%，1.00%和1.80%，3.00%，4.00%，而誤判率均為0。方案三和方案四在各顆衛(wèi)星實驗中的周跳修復成功率均低于方案二，方案四則低于方案三，表明隨著ratio 值閾值的減小，周跳修復成功率能夠獲得有效提高，周跳修復漏判率同時隨著ratio 值閾值的增大而升高。

從以上實驗結(jié)果可知ratio 值閾值的設(shè)置對于周跳修復成功率有著較大影響。圖7 給出了E30 號衛(wèi)星實驗中LAMBDA 算法的ratio 值序列，從圖中可以看出，在本文研究背景下，絕大多數(shù)歷元的ratio 值分布較好，甚至達到104的量級，顯示周跳修復具有較好的可靠性。

以上分析表明，如果ratio 值閾值設(shè)置過大，則會造成較高的漏判率和較低的修復成功率；如果ratio 值閾值設(shè)置過低，則存在著誤判的風險。因此，合理的ratio 值設(shè)置對于LAMBDA 算法的成功應(yīng)用具有重要意義。在實際應(yīng)用中，誤判顯然會比漏判帶來更大的風險。原因在于前者極大地降低了周跳修復的可信度，降低了算法可靠性。因此，結(jié)合實驗結(jié)果建議將ratio值閾值設(shè)置為2。值得一提的是，上述閾值設(shè)置與整周模糊度固定中ratio 值閾值設(shè)置的經(jīng)驗值類似，顯示出LAMBDA 算法的有效性和適用性。

表7 各方案周跳修復成功率統(tǒng)計Tab.7 Statistics of cycle slip repair success rate of each scheme

圖5 方案一L1 頻點實數(shù)解與整數(shù)解之差Fig.5 The difference between the real solution and the integer solution on L1 frequency

圖6 L1 頻點各歷元取整函數(shù)成功率Fig.6 The success rate of rounding function on L1 frequency

圖7 LAMBDA 算法ratio 值Fig.7 Ratio values from LAMBDA algorithm

5 結(jié) 論

研究了Galileo 五頻周跳探測與修復的理論與方法，提出聯(lián)合四組無幾何相位組合和一組無幾何偽距相位組合探測Galileo 五頻周跳。針對上述組合修復五頻周跳過程中遇到的法方程病態(tài)性問題，提出基于條件數(shù)最小原則優(yōu)選組合系數(shù)的策略，大幅降低了法方程病態(tài)性對周跳估計的影響。然后引入LAMBDA 算法用于Galileo 五頻周跳修復，重點研究了LAMBDA算法中ratio 值設(shè)置問題，得到以下幾點結(jié)論：

1) 采用本文所提方法選取的周跳組合系數(shù)具有較低的周跳探測標準差，較長的波長，較小的電離層延遲系數(shù)和較小的條件數(shù)，有利于提高Galileo五頻周跳探測靈敏度的同時能夠有效降低周跳修復法方程病態(tài)性對周跳估計的影響；

2) 所選擇的周跳探測組合能夠有效探測小周跳，一般周跳和大周跳，實驗結(jié)果表明所有添加的模擬隨機小周跳均被有效探測，探測成功率達到100%；

3) 周跳修復實驗結(jié)果表明，直接取整法的周跳修復成功率較低，結(jié)合取整成功率公式結(jié)果來看，該方法的取整可靠性較差；LAMBDA 算法周跳修復成功率和可靠性較高，算法關(guān)鍵在于ratio 值閾值的選取，實驗結(jié)果顯示，如果ratio 值閾值設(shè)置過大，則會造成較高的漏判率和較低的修復成功率；如果ratio 值閾值設(shè)置過低，則可能帶來誤判的風險，根據(jù)實驗結(jié)果，可將ratio 值閾值設(shè)為2，以上分析與LAMBDA 算法在模糊度固定中應(yīng)用類似；

4) 周跳探測實驗中可以看出偽距觀測噪聲確實對周跳探測效果有較大影響，而文獻[1]中采用載波相位平滑偽距進行了四頻周跳探測研究，取得了較好的效果，值得下一步研究借鑒。