何新 江濤 高城? 張振福 楊俊波

1) (國(guó)防科技大學(xué)文理學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410073)

2) (中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所, 綿陽(yáng) 621000)

獲得粒子能級(jí)布居是研究非平衡等離子體輻射性質(zhì)的一個(gè)重要方面. 對(duì)于復(fù)雜三維等離子體, 采用細(xì)致碰撞輻射模型雖然精確, 但計(jì)算耗費(fèi)大. 本文提出了一種束縛態(tài)特征溫度法, 能夠快速計(jì)算得到非平衡等離子體中的粒子能級(jí)布居. 對(duì)非平衡氖等離子體算例的研究表明, 本文方法是有效的, 在等離子體非平衡程度不太高時(shí)與碰撞輻射模型符合較好. 在計(jì)算效率上, 本文方法比碰撞輻射模型至少提高了3000倍, 可極大節(jié)約計(jì)算資源和成本, 在工程計(jì)算中有重要實(shí)際意義.

1 引 言

在天體物理、X射線激光物理和約束聚變等領(lǐng)域中[1], 常常需要掌握等離子體的輻射特性, 進(jìn)而研究其中輻射的輸運(yùn)與分配[2]. 為了獲得輻射參數(shù),必須知道等離子體中粒子的能級(jí)布居.

對(duì)局域熱動(dòng)平衡(local thermodynamic equilibrium, LTE)等離子體, 通過求解Saha方程可方便地得到粒子能級(jí)布居[3]. 然而, 很多情況下的等離子體處在非局域熱動(dòng)平衡狀態(tài)(non-LTE, NLTE)[4].計(jì)算NLTE等離子體中的粒子能級(jí)布居是輻射特性研究必須面對(duì)的問題.

碰撞輻射(collisional-radiative, CR)模型是常用的NLTE等離子體的計(jì)算模型, 該模型考慮等離子體中所有碰撞和輻射等微觀原子過程, 建立能級(jí)布居速率方程組并進(jìn)行求解[5]. 根據(jù)原子參數(shù)的精密程度, 研究者發(fā)展了基于不同層次的CR模型, 如平均原子模型[6-9]、超組態(tài)模型[10-14]、細(xì)致組態(tài)模型[15-21]和細(xì)致能級(jí)模型[22,23]等. 一般說(shuō)來(lái),細(xì)致能級(jí)模型因?yàn)榭紤]了不同電荷態(tài)離子的能級(jí)結(jié)構(gòu), 計(jì)算精度最高, 但是計(jì)算耗費(fèi)大; 而超組態(tài)模型把大量能量相近的精細(xì)能級(jí)近似處理成一個(gè)“能級(jí)”, 雖節(jié)省了計(jì)算時(shí)間, 但降低了計(jì)算精度[24-26]. 因此研究者們提出了一些兼顧計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間的CR模型和方法[27-29]. 例如Hansen等[27]使用混合了細(xì)致能級(jí)模型和超組態(tài)模型的方法獲得原子參數(shù)和能級(jí)布居; Bauche等[29]在超組態(tài)模型中引入“有效溫度”的概念, 能夠方便獲得相應(yīng)能級(jí)上的粒子占據(jù)數(shù). 雖然CR模型的種類很多[26], 但很多時(shí)候?yàn)榱藴?zhǔn)確模擬NLTE等離子體輻射性質(zhì), 需要選取足夠多數(shù)量的量子態(tài), 使得速率方程組規(guī)模很大. 大規(guī)模的速率方程組求解復(fù)雜, 計(jì)算量大, 通常要借助高性能計(jì)算平臺(tái). 在三維尺度、參數(shù)梯度大的等離子體工程計(jì)算中, CR模型雖然精度高, 但難于實(shí)際應(yīng)用. 因此, 研究能夠保證一定精度同時(shí)低成本、高效率的計(jì)算方法,一直是研究者不斷追求的目標(biāo), 也具有重要且實(shí)際的意義.

本文提出了一種束縛態(tài)特征溫度簡(jiǎn)化方法, 用于NLTE等離子體中粒子能級(jí)布居的快速、簡(jiǎn)便計(jì)算. 以5種條件下的NLTE氖等離子體為例, 與CR模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比, 分析討論該方法的準(zhǔn)確度和效率.

2 束縛態(tài)特征溫度法

本文不考慮處于完全熱非平衡態(tài)的等離子體.在一般情況下的NLTE等離子體中, 可認(rèn)為自由電子服從某一自由電子溫度Te的麥克斯韋速度分布[2]. 考察NLTE等離子體中原子序號(hào)為A的z價(jià)粒子Az+( 0 ≤z≤A,z=0 表示原子), 設(shè)其電離能為Iz, 如圖1所示.

圖1 A z+ 的束縛態(tài)及連續(xù)態(tài)Fig. 1. Bound and continuum states of A z+.

一方面,Iz能級(jí)可看作Az+的束縛態(tài). 引入Az+的束縛態(tài)特征溫度, 即假設(shè)Az+各束縛態(tài)上的占據(jù)數(shù)服從溫度為的Boltzmann分布, 則Iz能級(jí)上的“粒子數(shù)”滿足:

其中Nz為Az+粒子數(shù),為Iz能級(jí)的簡(jiǎn)并度,k為Boltzmann常數(shù),為Az+在特征溫度下的配分函數(shù)(和分別為Az+第j束縛態(tài)的能量和簡(jiǎn)并度).

另一方面,Iz能級(jí)上的粒子可看作由處于基態(tài)的A(z+1)+與速度為零的自由電子構(gòu)成. 由于自由電子服從Te下的麥克斯韋速度分布, 則還滿足[30]:

其中分別為A(z+1)+基態(tài)的占據(jù)數(shù)和簡(jiǎn)并度,Ne為自由電子數(shù),me為自由電子質(zhì)量,h為Planck常數(shù). 類似地, 引入A(z+1)+的束縛態(tài)特征溫度, (2)式可轉(zhuǎn)化為

其中Nz+1為A(z+1)+粒子數(shù),為A(z+1)+

聯(lián)立(1)式和(3)式, 有

由此可計(jì)算出. 進(jìn)而, 根據(jù)Boltzmann公式可得到Az+粒子的各能級(jí)占據(jù)數(shù).

在應(yīng)用上述方法時(shí), 除需要粒子的能級(jí)參數(shù)外, 還需要各價(jià)粒子數(shù)密度、自由電子數(shù)密度和自由電子溫度作為輸入?yún)?shù)(來(lái)自于實(shí)驗(yàn)或計(jì)算). 具體計(jì)算過程中, 可直接令(因?yàn)閦=A對(duì)應(yīng)于粒子完全電離), 然后按照“倒序”依次求解出詳細(xì)計(jì)算流程如圖2所示.實(shí)際上, 總存在某個(gè)電離度范圍p≤z≤q, 不在該電離度范圍的粒子豐度相對(duì)很小. 此時(shí), 可近似認(rèn)為然后依次求解出進(jìn)而計(jì)算主要粒子的能級(jí)布居.

圖2 計(jì)算流程圖Fig. 2. Calculation flowchart.

值得一提的是, 對(duì)于LTE等離子體, 必然有那么(4)式自然過渡為L(zhǎng)TE條件下的Saha方程[30].

3 算例與討論

表1列出了5種條件的NLTE氖(Ne)等離子體, 其中e—代表自由電子. 為了便于將本文計(jì)算的能級(jí)布居與CR模型結(jié)果進(jìn)行直接對(duì)比, 表中Ne粒子百分?jǐn)?shù)、自由電子(e—)數(shù)密度均采用了與CR模型相同的數(shù)據(jù)[22]. 另外, 表中未列出豐度小于10—6的粒子. 算例1—算例3主要研究Ne核總數(shù)密度相同、Te不同的情況; 算例4和算例5分別與算例2和算例3對(duì)應(yīng), 主要研究Te相同、Ne核總數(shù)密度不同的情況.

表1 算例參數(shù)Table 1. Cell parameters.

根據(jù)(4)式, 計(jì)算能級(jí)布居還用到各價(jià)Ne粒子的電離能(見表2). 等離子體環(huán)境中, 由于屏蔽效應(yīng), 原子(或離子)的電離能相比于孤立原子會(huì)下降. 表2中的數(shù)據(jù)由計(jì)算而得(等離子體條件:kTe為40 eV, Ne核數(shù)密度為1020cm—63). 在本文所研究的等離子體條件下, 電離能下降值變化不大, 因此忽略不同條件(自由電子溫度、核總數(shù)密度)對(duì)Ne粒子電離能的影響.

表2 Ne原子及離子電離能Table 2. Ionization energy of neon atom and ions.

在下文各圖中, 能級(jí)布居均是非簡(jiǎn)并的, 標(biāo)有“Boltzmann”和“Saha”的數(shù)據(jù)分別由Te下的Boltzmann公式和Saha方程計(jì)算而得:

為反映等離子體的非平衡程度, 引入(5)式和(6)式的比值α(對(duì)同種粒子的任意能級(jí)均相等).顯然, 對(duì)平衡等離子體,α=1 ; 反之,α偏離1. 為評(píng)估本文計(jì)算結(jié)果與CR模型的符合程度, 對(duì)各能級(jí)計(jì)算出二者的比值δ(δ=1 表示完全符合).

圖3為算例1條件下本文計(jì)算的能級(jí)布居與CR模型結(jié)果的對(duì)比. 圖中, 1.00＜α≤2.13 , 可知等離子體是弱非平衡的. 如圖3(a), (b), (d), (e),對(duì)于Ne, Ne+, Ne3+和Ne4+,δ與1的平均偏差不大于10%, 說(shuō)明本文計(jì)算的能級(jí)布居與CR模型符合很好. 如圖3(c)所示, 對(duì)于Ne2+,δ與1的平均偏差稍大(—31%), 這可能主要是由于Ne2+的電離能數(shù)據(jù)存在誤差.

圖3 算例1的非簡(jiǎn)并能級(jí)布居Fig. 3. Non-degenerate electronic level populations for Case 1.

圖4為算例2條件下能級(jí)布居結(jié)果對(duì)比. 圖中, 1.71≤α≤30.08 , 較算例1有所增大, 可知此條件下等離子體的非平衡程度提高. 對(duì)于各價(jià)Ne離子(除圖4(d)中的Ne5+),δ與1的平均偏差都在17%以內(nèi), 說(shuō)明此條件下計(jì)算出的能級(jí)布居與CR模型符合較好.

圖4 算例2的非簡(jiǎn)并能級(jí)布居Fig. 4. Non-degenerate electronic level populations for Case 2.

圖5 為算例3條件下能級(jí)布居結(jié)果對(duì)比. 此條件下, 7.63≤α≤40484 , 說(shuō)明非平衡程度進(jìn)一步增大.如圖5(a)所示, 對(duì)于Ne5+,δ與1的平均偏差為38%. 如圖5(b)—圖5(d), 對(duì)于Ne6+, Ne7+和Ne8+,δ與1的平均偏差不大于20%. 結(jié)果表明, 此條件下本文計(jì)算得到的能級(jí)布居與CR模型偏離不大.

對(duì)比圖3—圖5可知, 在Ne核總數(shù)密度為1018cm—3條件下, 對(duì)于弱非平衡態(tài), 本文計(jì)算的能級(jí)布居與CR模型符合很好; 隨著非平衡程度增大, 本文計(jì)算結(jié)果與CR模型之間逐漸產(chǎn)生偏離.

圖6為算例4條件下能級(jí)布居計(jì)算結(jié)果. 對(duì)于各價(jià)Ne離子,α均接近1, 說(shuō)明等離子體處于近平衡態(tài). 此條件較算例2的非平衡程度降低, 主要?dú)w因于Ne核總數(shù)密度增大. 圖6中,δ與1的平均偏差不超過10%, 說(shuō)明計(jì)算結(jié)果與CR模型符合很好. 對(duì)比圖6與圖4可知, 在kTe= 15 eV條件下,若非平衡程度提高, 則本文得到的能級(jí)布居與CR模型的偏離增大, 這與圖3—圖5反映的現(xiàn)象類似.

圖5 算例3的非簡(jiǎn)并能級(jí)布居Fig. 5. Non-degenerate electronic level populations for Case 3.

圖6 算例4的非簡(jiǎn)并能級(jí)布居Fig. 6. Non-degenerate electronic level populations for Case 4.

圖7 為算例5條件下能級(jí)布居計(jì)算結(jié)果. 相比于算例3, 由于Ne核總數(shù)密度增加, 等離子體非平衡程度降低( 1.03≤α≤218 ). 對(duì)于圖7(e)中的Ne7+,δ與1的平均偏差稍大(—13.5%); 對(duì)于圖7中其他各價(jià)Ne離子,δ與1的平均偏差都不大于7.8%. 因此, 此條件下得到的能級(jí)布居與CR模型符合較好. 對(duì)比圖7與圖5發(fā)現(xiàn), 現(xiàn)象與kTe=15 eV時(shí)類似.

圖7 算例5的非簡(jiǎn)并能級(jí)布居Fig. 7. Non-degenerate electronic level populations for Case 5.

綜上, 若以CR模型作為參照, 本文提出的束縛態(tài)特征溫度法的計(jì)算準(zhǔn)確度與等離子體非平衡程度有關(guān). 當(dāng)?shù)入x子體非平衡程度較弱(1.00＜α≤2.13)時(shí), 本文方法與CR模型非常符合(平均偏差基本在10%以內(nèi)); 隨著非平衡程度的增大( 2.13＜α≤218 ), 與CR模型逐漸產(chǎn)生偏差(平均偏差基本在30%以內(nèi)); 若非平衡程度不太高(α≤40484), 與CR模型符合較好(平均偏差不超過38%).

本文方法也適用于其他等離子體中的原子及離子. 如果原子及離子來(lái)源于不同種核, 可分別對(duì)每種核應(yīng)用上述方法. 由于不需求解能級(jí)布居速率方程組, 可極大節(jié)約計(jì)算資源. 表3給出了5個(gè)算例總耗時(shí)對(duì)比, 忽略程序語(yǔ)言效率及計(jì)算平臺(tái)性能的差別, 本文方法比CR模型至少提高了3000倍.在誤差允許范圍內(nèi), 這將在參數(shù)梯度大、復(fù)雜三維非平衡等離子體的工程計(jì)算中產(chǎn)生巨大效益.

表3 計(jì)算耗費(fèi)對(duì)比Table 3. A comparison of calculation cost.

4 結(jié) 論

提出了一種用于計(jì)算非平衡等離子體中原子及離子能級(jí)布居的簡(jiǎn)化方法. 以幾種條件(5 eV ≤kTe≤ 40 eV, 1018cm—3≤ 核數(shù)密度 ≤ 1020cm—3)的非平衡Ne等離子體為例, 計(jì)算研究了粒子的能級(jí)布居, 并與CR模型進(jìn)行了對(duì)比. 結(jié)果表明:1)該方法是有效的, 當(dāng)?shù)入x子體非平衡程度不太高時(shí)與CR模型符合較好; 2)計(jì)算速度比CR模型至少提高了3000倍, 可大大節(jié)約計(jì)算成本, 對(duì)于復(fù)雜三維等離子體計(jì)算非常有用.