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        上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)

        2021-08-05 06:07:12樊玉環(huán)袁海燕
        關(guān)鍵詞:定義

        樊玉環(huán),袁海燕,魏 喆

        (黑龍江工程學(xué)院 理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150000)

        目前研究保持問(wèn)題的基本思想是削弱已有結(jié)果的條件,例如文獻(xiàn)[1]~[7];或是改變已有結(jié)果的映射形式或映射所作用的集合,例如文獻(xiàn)[8];或是尋求新的不變量,例如文獻(xiàn)[9]~[12]。關(guān)于函數(shù)保持的結(jié)果目前不是很多,本文是在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,改變已有結(jié)果所作用的集合,刻畫了特殊矩陣空間,即上三角矩陣空間保持逆矩陣函數(shù)的形式。

        1 符號(hào)及基本概念

        設(shè)F是特征不為2的域,F*表示F/{0},Tn(F)為F上所有n階上三角矩陣的全體,E為單位矩陣,A=(aij),Af=(f(aij))。

        定義1.1[15]若f:F→F滿足f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)。則稱f:F→F是同態(tài)。

        定義1.2[16]設(shè)n階矩陣A=(aij)n×n,若存在n階矩陣B,滿足AB=BA=E,稱B為A的逆矩陣。

        定義1.3[8]若f:F→F滿足AB=E,?A、B∈Tn(F),則AfBf=E。則稱函數(shù)f:F→F是n階上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)。

        2 基本結(jié)論

        定理2.1f是n(n≥4)階上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)的充要條件是f=δ,δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

        證明首先證明充分性

        設(shè)A,B∈Tn(F),記A=(aij),B=(bij),當(dāng)j

        由Af的定義,可知AfBf的(i,j)元為f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)。

        若f=δ,由δ是域F上滿足δ(1)=1單的自同態(tài),知

        f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)

        =δ(ai1)δ(b1j)+δ(ai2)δ(b2j)+…+δ(ain)δ(bnj)

        =δ(ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)

        下面再證明必要性

        由Af的定義,可知

        從而

        f2(1)+f(a)f(0)+(n-2)f2(0)=1

        (1)

        f2(1)+(n-1)f2(0)=1

        (2)

        f(1)f(a)+f(1)f(-a)+(n-2)f2(0)=0

        (3)

        2f(1)f(0)+(n-2)f2(0)=0

        (4)

        由(1)、(2)可知

        f(a)f(0)=f2(0)

        (5)

        由(3)、(4)可知

        f(1)f(a)+f(1)f(-a)=2f(1)f(0)

        (6)

        f(0)=0

        (7)

        將(7)式代入(3)式,有

        f(-a)=-f(a)

        (8)

        由Af的定義及(7)式,可知

        可得

        (9)

        由Af的定義、(7)式及(8)式,可知

        可得

        f2(1)-f(1)f(a+1)+f(a)f(1)=0

        (10)

        利用(9)式可得f(1)≠0,從而

        f(1)+f(a)=f(a+1)

        (11)

        由Af的定義及(8)式,可知

        可得

        f(a)f(b)=f(ab)

        (12)

        令δ=f,下面證明δ是域F上的單的自同態(tài)。

        應(yīng)用(12)式得δ(ab)=f(ab)=f(a)f(b)=δ(a)δ(b)

        即得

        δ(ab)=δ(a)δ(b)

        (13)

        應(yīng)用(11)、(12)式及(13)式得

        即得

        δ(a+b)=δ(a)+δ(b)

        (14)

        由(9)式可得

        f(a)≠0,?a∈F*

        (15)

        若δ(a)=δ(b), 則f(a)=f(b),f(a)-f(b)=0, 應(yīng)用(8)式f(a)+f(-b)=0,即δ(a)+δ(-b)=0, 應(yīng)用(14)式δ(a-b)=0, 即f(a-b)=0, 應(yīng)用(15)式得a=b。

        從而δ是域F上的單的自同態(tài)。

        在(12)式中,令a=b=1, 可得f2(1)=f(1),再由(2)式及(7)式可得f(1)=1, 即δ(1)=1,從而f是n階上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)一定能得到f=δ,δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

        定理2.2f是T2(F)保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f是非零乘法奇函數(shù)。

        證明首先證明充分性

        由于f是非零的乘法奇函數(shù),故

        f(xy)=f(x)f(y)

        (16)

        f(-x)=-f(x)

        (17)

        在(16)中,令y=1,則f(x)=f(x)f(1),由于f是的非零映射, 故f(x)≠0, 從而

        f(1)=1

        (18)

        下面證明必要性

        通過(guò)矩陣的運(yùn)算及f的定義可得

        f(0)=0

        (19)

        (20)

        (21)

        由(20)、(21)式可得

        f(-ac)=-f(a)f(c)

        (22)

        在(21)式中令a=c=1, 可得

        f(-b)=-f(b)

        (23)

        利用(22)、(23)式及換元可得

        f(xy)=f(x)f(y)

        (24)

        由(20)、(23)、(24)式可得f是非零乘法奇函數(shù)。

        定理2.3f是T3(F)保持逆矩陣的函數(shù)的充要條件是f=f-1(1)δ, 其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

        證明首先證明充分性

        ∵δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)

        =0

        下面證明必要性。

        再由Af及f的定義可知

        通過(guò)矩陣的運(yùn)算及f的定義可得

        f(0)=0

        (25)

        (26)

        (27)

        (28)

        利用(26)、(27)式及換元可以得到

        f(1)f(xy)=f(x)f(y)

        (29)

        利用(26)、(28)、(29)式及換元可以得到

        f(a+b)=f(a)+f(b)

        (30)

        利用類似定理2.1的證明可得f=f-1(1)δ, 其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

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