李海虹,孫紅,2,陳志恢,劉志奇

(1.太原科技大學機械工程學院,030024,太原;2.山西平陽重工機械有限責任公司,043000,山西侯馬; 3.太原重工股份有限公司起重機分公司,030024,太原)

機械制造中,合理制定公差分配方案有利于降低機械裝配體的直接制造成本,確定有效的公差值可實現(xiàn)裝配體質量與成本之間的平衡,然而制定合理的公差分配方案是一項艱巨的任務[1-2]。隨著云制造(CMfg)技術的不斷成熟,制造資源的動態(tài)多樣性使得云制造生產(chǎn)模式下的公差分配問題變得復雜。

近年來,研究工作多集中在基于多目標評價函數(shù)的公差分配模型的建立方面,并采用全局優(yōu)化算法如人工群蜂算法(ABC)[3-4]、帶精英策略的非支配遺傳算法(NSGA-Ⅱ)[5]、粒子群算法(PSO)[6-7]等得到公差最優(yōu)解。針對復雜裝配問題,采用混合算法。Kumar等通過遺傳算法(GA)、NSGA-Ⅱ算法和差分進化(DE)算法來確定最佳公差[8]。曲興田等結合GA算法、PSO算法、退火模擬算法(SA)實現(xiàn)了復雜裝配體序列的智能規(guī)劃[9]。Haghighi等提出了基于規(guī)格與置信度的AM工藝裝配體尺寸公差分配方法,并采用循環(huán)優(yōu)化方法進行求解[10]。劉鵬等引入種群多樣性指標構建自適應遺傳算法(AGA),優(yōu)化機床公差分配[11]。以上智能算法可應用于復雜裝配模型,但存在構造評價函數(shù)困難等問題。

鄭丞等通過研究產(chǎn)品各指標間沖突關系,發(fā)現(xiàn)公差分配問題可視為多目標沖突下的博弈問題[1]。針對多目標優(yōu)化問題,博弈論能夠更好地調(diào)和不同指標間的矛盾與沖突[12-13],因而被引入公差分配模型研究中。鄭丞等結合非合作博弈理論、聯(lián)盟博弈理論解決了裝配成本與質量之間的多目標決策問題,使得裝配綜合得益最大[1]。Lu等建立了兼顧實際制造和裝配過程的非合作博弈并行公差設計模型,采用遺傳算法得出博弈納什均衡[14]。然而,針對云制造環(huán)境下的公差分配問題,上述博弈方法忽略了動態(tài)資源對公差分配的影響。

在云制造環(huán)境下,制造資源具有實時性、動態(tài)性,制造資源能力作為約束條件之一,使得公差優(yōu)化模型變得復雜[15]。而上述多目標優(yōu)化方法基于中央決策機制,不利于公差單元在制造資源選擇方面維持其自主決策權。Wu等針對多資源供應商,建立雙層博弈公差設計模型[16],但未考慮多用戶同時請求服務下的資源定價問題。

對此,本文提出了一種基于演化博弈(EG)理論的公差分配方法。首先將同屬一個尺寸鏈中的各公差單元作為博弈方,建立具有分散決策機制的演化博弈公差分配模型,然后通過Lyapunov第二方法證明模型的穩(wěn)定性,并采用分布式迭代算法求出模型均衡點。通過實例分析證明了本文模型及方法的正確性,且與非合作博弈方法、線性加權方法相比,本文演化博弈方法有效降低了公差分配方案的質量損失及總支付。

1 公差分配演化博弈模型

1.1 裝配尺寸鏈公差分配模型

一個產(chǎn)品的裝配需求可通過調(diào)整其裝配尺寸鏈的各公差單元進行優(yōu)化,因裝配尺寸鏈的封閉性和相關性,同屬一個尺寸鏈的公差單元相互連接,相互影響,相互制約,公差分配過程可視為博弈過程,如圖1所示。在這一博弈過程中,各公差單元作為個體博弈的同時,又組成了一個尺寸鏈整體,因云制造資源的動態(tài)性,且制造資源的基準價格會隨云制造系統(tǒng)運營情況實時調(diào)整,造成選擇信息不完全,只能利用演化博弈論進行建模,考慮公差單元同時向云平臺發(fā)出服務請求情況,采用線性定價模型確定資源價格,資源價格與質量損失的和構成博弈模型的支付函數(shù)。

圖1 云制造資源約束下的尺寸鏈公差分配模型Fig.1 The tolerance allocation model of dimension chain under cloud manufacturing resource constraints

演化博弈面向整個系統(tǒng)總體利益,當一個博弈者偏離系統(tǒng)平衡點,該博弈者收益會降低[17]。將演化博弈理論引入到公差分配問題的描述如下。

(1)博弈方:對于特定類別的制造資源服務,可以在制造服務中選擇的同屬一個裝配尺寸鏈的公差單元i∈I。

(2)群體:同屬一個裝配尺寸鏈下的公差單元集合。

(3)策略:公差單元對制造資源的選擇策略sj(j=1,2,…,J)。

(4)支付:公差單元選擇制造資源的總支付,考慮了需支付給制造資源的使用價格Pj及質量損失Qloss(Ti)兩個部分。

Qloss(Ti)=k(Ti)2

(1)

式中:k為質量損失系數(shù);Ti為公差單元。

當公差單元Ti選擇資源sj時,制造資源sj基準價格為Cj。Cj定義為

Cj=a0Ti-a1

(2)

式中:a0、a1為模型系數(shù)。

假設云制造平臺使用基于制造資源提供商基準價格的線性定價模型,當有多個用戶同時請求服務時,會產(chǎn)生服務競爭,此時請求的任務須按某種順序排隊,云制造平臺會收取更高的服務價格以更好地獲利。因此,將制造服務的價格建模設定為請求服務的用戶比例的線性函數(shù)。制造資源服務sj的定價模型為

Pj=Cj(1+εx(sj))

(3)

式中:Pj為制造資源使用價格;Cj為制造資源j的基準價格;ε表示當多個公差單元選擇制造資源的價格因子。

博弈模型中整個群體選擇制造資源j的總支付πj為各個公差單元選擇資源j的支付之和,即

(4)

式中:πj為整個尺寸鏈公差單元選擇資源j的總支付;πj(Ti)為Ti選擇資源j的總支付。

公差優(yōu)化模型中加入質量損失可以更全面地評價產(chǎn)品質量,所以公差-成本模型中的成本可以表示為制造成本與質量損失之和,πj(Ti)的表達式為

πj(Ti)=Qloss(Ti)+Pj(Ti)

(5)

本文公差分配模型綜合考慮質量、成本兩方面,與文獻[1]基于非合作博弈的優(yōu)化目標一致。本文優(yōu)化目標函數(shù)如下

(6)

式中:Timin和Timax分別是公差設計單元i的公差上下限;ξi為公差對最終裝配需求影響的系數(shù);T0表示封閉環(huán)裝配需求或者稱精度需求。根據(jù)式(2),當公差單元Ti選擇資源j時,公差上下限Timax、Timin受制造資源基準價格約束。

1.2 種群行為和復制動態(tài)

云制造系統(tǒng)中,允許公差單元在可用的制造資源中進行選擇,每個單元都可以觀察到其他單元的選擇策略,如果其支付效用大于整體平均效用,它將選擇另一種策略,引起整個群體策略的改變,即博弈的演變。策略的適應過程和種群狀態(tài)演化可通過復制動力學方程建模分析,如下所示

(7)

(8)

1.3 演化均衡分析

(9)

式(9)也可表示為

(10)

穩(wěn)定點處達到演化均衡,博弈者不會改變其策略。因此,當用戶的支付效益等于平均效益時,系統(tǒng)達到了均衡。演化均衡狀態(tài)為

x*=[x*(s1),…,x*(sj),…,x*(sJ)]

(11)

式中:x*(sj)為演化均衡狀態(tài)下公差單元選擇制造資源sj的概率,或是演化均衡狀態(tài)下選擇制造資源sj的公差單元數(shù)量所占總體數(shù)量的比率。

定義跟蹤誤差

ej=x*(sj)-x(sj)

(12)

則Lyapunov函數(shù)為

(13)

Vj(x)對時間t的一階導數(shù)為

(14)

將式(12)、式(9)依次代入式(14),可得

(15)

定義制造資源sn為總支付最小的制造資源,當x*(sn)>x(sn)時,有

2 演化均衡策略求解

裝配尺寸鏈公差分配的演化均衡可以通過公差單元對制造資源的選擇策略調(diào)整來實現(xiàn),所有公差單元最初都會隨機選擇一個策略,計算初始支付值,后與群體平均支付值進行比較,若該選擇策略支付值大于群體平均支付值,則公差單元需改變其策略,在此模型中,在符合質量要求的情況下,選擇支付值最小的策略,即成本優(yōu)化優(yōu)先于質量優(yōu)化。在演化過程中,復制動態(tài)方程式(7)可表示為式(16),即復制動態(tài)更新策略如下

(16)

式中:n為迭代次數(shù);σ1為迭代步長;為了便于表達,將前文中x(sj)用xsj表示。迭代終止條件為

(17)

式中:ζ1為足夠小的正常量。

云制造環(huán)境下面向制造資源分配的演化博弈分布式迭代算法步驟如下:

步驟1在式(6)約束下,列出所有公差設計方案;

步驟2為其中一組公差設計單元選擇一個制造資源j作為服務方;

步驟3隨機初始化種群狀態(tài)并使迭代次數(shù)n=1;

步驟4獲得制造資源j的基準價格Cj;

步驟5分配不同任務的優(yōu)先級,根據(jù)式(3)計算每個制造資源的價格Pj;

步驟6由式(2)計算相應公差策略質量損失Qloss;

步驟8根據(jù)式(16)改變選擇資源概率xsj(n);

步驟9令迭代次數(shù)n=n+1;

步驟10重復步驟4～步驟9,直到式(17)所示的迭代終止條件滿足。

分布式迭代算法流程如圖2所示。利用復制動力學方程動態(tài)迭代模擬公差單元對制造資源選擇策略優(yōu)化過程,將每次迭代過程視為一場博弈,各博弈方不斷調(diào)整自身策略以尋求自身利益最大化或支出最小化,經(jīng)博弈方之間競爭與協(xié)同,當算法收斂時,系統(tǒng)全局漸進穩(wěn)定,得到演化均衡策略解。

圖2 分布式迭代算法流程Fig.2 Flow of the distributed iterative algorithm

3 實例驗證及結果分析

3.1 問題描述及參數(shù)設置

某車身前端裝配結構及其尺寸鏈示意圖如圖3[1]所示,部件1～4在同一個工位上裝配,左、右前大燈外板1、2與上、下橫梁3、4安裝孔間的基本尺寸為L1=L2=370 mm,上橫梁3對應安裝孔間的基本尺寸L3=850 mm,各部件尺寸公差均在0.05～0.20 mm內(nèi)。先裝配部件1、2和3,需滿足的約束條件為裝配后部件1、2與4的安裝孔橫向跨距L0的公差在0.10～0.30 mm內(nèi),以保證下橫梁4順利安裝。L1、L2與L3的夾角均為60°,公差為±5′。考慮云制造系統(tǒng)制造資源基準價格,結合裝配體質量與成本要求,確定有關尺寸公差。

3.2 演化博弈求解

如圖3b所示,裝配尺寸鏈中組成環(huán)與封閉環(huán)基本尺寸為L0、Li(i=1,2,3),對應公差分別為T0、Ti,由尺寸鏈封閉環(huán)與組成環(huán)裝配關系得

(18)

需滿足公差約束關系為

(19)

式中:ξi為傳遞函數(shù);ξ1=ξ2=cos60°,ξ3=1。

1—前大燈外板(左);2—前大燈外板(右);3—上橫梁;4—下橫梁。(a)裝配示意圖

(b)尺寸鏈示意圖圖3 某車身前端裝配結構及尺寸鏈示意圖Fig.3 A schematic diagram of the front-end assembly structure and dimensional chain of a car body

假設云平臺篩選后產(chǎn)生兩個候選制造資源,為區(qū)分不同類別的制造資源實際加工情況,取兩個資源公差-價格函數(shù)分別為C1=0.5T-1.1,C2=0.19T-1.5,資源的基準價格-公差函數(shù)曲線如圖4所示,由圖可知公差為0.05 mm～0.09 mm時,資源1成本較低,0.09 mm～0.2 mm區(qū)間內(nèi),資源2成本較低。通常情況下,公差單元質量效益越好,則制造資源加工后零件質量損失越小。質量損失函數(shù)Qloss(Ti)如式(1)所示。取價格因子ε=I/2,如圖3b所示,尺寸鏈組成環(huán)個數(shù)為3,因此ε=1.5。設置步長為0.05 mm,則每個組成環(huán)Li在其公差允許范圍內(nèi)可分為4個質量等級。

圖4 制造資源公差-價格曲線Fig.4 A curve of manufacturing resource tolerances vs. price

設置不同的初始公差分配值,公差分配方案共64種,運用分布式迭代算法模擬系統(tǒng)演化均衡過程,各種策略組合下均衡點處對應的支付變化曲線如圖5所示。由圖5可見,隨著T1、T2取值增大,總支付值呈下降趨勢;T1、T2保持不變,T3減小時,則增大,也符合圖4中基準價格與公差負相關的規(guī)律。T3為0.05 mm時,策略16(T1、T2均選取0.2 mm)的支付值最小,與實際生產(chǎn)中產(chǎn)品質量要求越高(即較小公差),則支付較大的原則相符,進而說明了本文模型的有效性。

圖5 不同策略下的支付變化曲線Fig.5 Payment curve of different strategies

由式(19)裝配尺寸鏈幾何約束可知,并非所有策略均滿足條件,且因L1,L2對封閉環(huán)L0及整個裝配體裝配影響程度一致,因此將L1及L2設置為同一公差等級。

表1列出了符合約束條件的公差策略下的均衡點,xs1、xs2為均衡點處選擇資源1與資源2的概率。考慮到云制造環(huán)境下不同狀態(tài)下的質量損失情況,為不失一般性,取質量損失系數(shù)k為100、1 000和2 000時,分析其演化博弈均衡狀態(tài)。

表1 不同公差策略下演化均衡點參數(shù)對比

從表1得,k取100時,公差策略T=[0.15 0.15 0.15] mm對應資源1與資源2的總支付值最小,均為25.705 8。k取1 000、2 000時,支付值最小時對應的公差策略均為T=[0.1 0.1 0.1] mm。k值大小反映公差對質量損失的影響程度,調(diào)整質量損失與資源服務價格對總支付值的影響比重,由表1知k對資源選擇結果沒有影響,但會影響群體總支付值。這就反映出實際生產(chǎn)中要根據(jù)不同產(chǎn)品的重要程度來決定其質量要求,選擇恰當?shù)馁|量損失系數(shù),以找到合適的公差成本平衡點。

以公差策略T=[0.15 0.15 0.15] mm為例,模擬了3組不同種群初始狀態(tài)下公差單元對資源選擇的演化博弈均衡過程,如圖6所示,系統(tǒng)達到內(nèi)部均衡狀態(tài)時,不同的選擇資源概率初始值xsj(0)達到均衡點的迭代次數(shù)不一樣,但不影響均衡狀態(tài),3種初始狀態(tài)下的均衡狀態(tài)均為xs1=0.378 7,xs2=0.621 3,即公差單元選擇資源2的概率為0.621 3,也可理解為整個公差單元群體中選擇制造資源2的個體數(shù)量占比為0.621 3,表明該策略下制造資源2比資源1更有優(yōu)勢。

圖6 不同初始狀態(tài)下的演化均衡圖(xs1=0.378 7)Fig.6 Evolutionary equilibrium diagram under different initial states (xs1=0.378 7)

3.3 公差優(yōu)化方法結果分析

當質量損失系數(shù)k為100時,策略11的支付值最小,為25.705 8,公差策略為T=[0.15 0.15 0.15] mm,且選擇資源1的概率為0.378 7,選擇資源2的概率為0.621 3,此時資源2優(yōu)于資源1;k為1 000、2 000時,策略6的支付值最小,分別為62.277 8、92.277 8,公差策略為T=[0.1 0.1 0.1] mm,公差單元選擇資源1的概率為0.472 9,選擇資源2的概率為0.527 1,可知此時兩個資源選擇概率相差不大。

將本文提出的演化博弈方法(EGM)與非合作博弈方法(NCGM)、線性加權方法(LWM)進行對比,NCGM策略為T=[0.20 0.20 0.05],LWM策略為T=[0.15 0.15 0.05],為不失一般性,取k為100、1 000、2 000,分析裝配體不同狀態(tài)下的公差分配情況,如表2、表3、表4所示,可知k為100時,EGM得出的公差策略的總支付值最小,但LWM質量損失最小,此時需針對不同需求選擇合理策略。k為1 000、2 000時,EGM得出的公差策略的總支付值及質量損失較NCGM和LWM平均降低了28.3%～54.0%和18.2%～63.6%。

表2 k=100時不同優(yōu)化方法結果對比

表3 k=1 000時不同優(yōu)化方法結果對比

表4 k=2 000時不同優(yōu)化方法結果對比

4 結 論

本文進行了云制造系統(tǒng)中公差分配方法與制造資源選擇規(guī)律的研究,結論如下。

(1)結合云制造環(huán)境下制造資源動態(tài)性特點,考慮到制造資源對公差分配優(yōu)化的約束,建立了裝配尺寸鏈演化博弈公差分配模型。

(2)建立復制動態(tài)方程,模擬公差單元對制造資源選擇的動態(tài)演化過程,證明系統(tǒng)收斂于均衡點,用分布式迭代算法可得到演化均衡點。

(3)通過某車身裝配實例證明了模型及算法的可行性。實驗結果表明:質量損失系數(shù)對資源選擇策略無影響,但會影響總支付;本文公差分配方法優(yōu)于線性加權方法與非合作博弈方法,為公差設計提供了一種新方法。