馮曉東，戴冠鷗，楊偉家，撒劍波

(1.紹興文理學院 土木工程學院，浙江 紹興 312000；2.浙江大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310000)

張拉整體結(jié)構(Tensegrity)是一種由一系列連續(xù)的受拉構件和一系列離散的受壓構件組成的穩(wěn)定的自平衡結(jié)構體系[1-2]．但在張拉整體概念提出之初，由于未出現(xiàn)有效的分析設計理論與方法，該結(jié)構在工程領域的應用較少，而在建筑和藝術領域的應用較多．直到20世紀80年代初，工程界學者們才被這種具有獨特魅力的結(jié)構體系所吸引，并在航空航天[3]、智能機器人[4]和土木工程[5]等不同學科領域取得了多樣化的發(fā)展與應用．隨著張拉整體結(jié)構理論的推廣，可展結(jié)構領域中也出現(xiàn)了張拉整體結(jié)構的身影．蔡建國[6]提出因為張拉整體結(jié)構體系擁有大變形、小應變的特點，所以該結(jié)構體系在張拉成型的過程中將產(chǎn)生索桿機構運動，并通過預應力獲得剛度，非常適合應用于可展結(jié)構．Sultan[7]構造了與無窮小機構運動方向相切的路徑，并利用魯棒非線性反饋控制對這些路徑進行了精確跟蹤，證實了利用無窮小機構原理和非線性運動方程可運用于確定張拉整體結(jié)構的展開方式，揭示了通過阻尼、無窮小機構、運動速度和部署時間所耗散的能量和功率之間的聯(lián)系．彭海軍[8]和張亮[9]在張拉整體結(jié)構的節(jié)點處設置一個輪滑，并推導了壓桿和滑輪索的相關公式，建立了研究張拉整體動態(tài)特性的綜合動力學模型，為研究張拉整體結(jié)構的可展性能提供了一種可行的動力學計算方式．

相比于其它傳統(tǒng)的可展結(jié)構，張拉整體結(jié)構這種具有獨特魅力的新體系依然年輕，其可展性能依然是近幾年來學者們研究的熱點．隨著學者們的深入研究，針對張拉整體結(jié)構可展性能的計算理論日趨成熟與完善，其變形時的驅(qū)動原理和展開路徑是研究的重要內(nèi)容之一．肖特[10]構建了一個新穎的圓柱形張拉整體結(jié)構，并利用外力對模型進行軸向拉伸和壓縮，根據(jù)變形過程中索長度的變化趨勢從而找到驅(qū)動索以實現(xiàn)結(jié)構的折疊和展開，論證了該結(jié)構在環(huán)形天線與空間伸展臂領域的適用性．李冰巖[11]構建了可展開環(huán)形張拉整體天線，通過拉索之間長度的協(xié)調(diào)對結(jié)構進行展開和折疊，并對結(jié)構進行展開功能試驗，驗證了可展開環(huán)形張拉整體天線展開方案的可行性，通過剛度試驗得到了樣機在自由模態(tài)下的固有頻率．羅阿妮[12]在三桿張拉整體結(jié)構的基礎上提出一種星形張拉整體可展結(jié)構，并在結(jié)構內(nèi)部設置一個伸縮桿，通過伸縮桿的驅(qū)動實現(xiàn)結(jié)構的變形，對其工作過程和結(jié)構的折展可行性進行仿真研究和理論認證．劉賀平[13]運用實體模型試驗和數(shù)值模擬的方法對四桿張拉整體機器人的運動過程進行研究，提出在中部索長度不變的情況下，改變頂部索和底部索的長度就能驅(qū)動機器人的變形和移動．

上述工作在研究結(jié)構展開的過程中，都采用了索協(xié)調(diào)變形的方式驅(qū)動結(jié)構的展開．即結(jié)構在進行展開運動的過程中，結(jié)構的每一根索都始終參與了計算．受此啟發(fā)，本文以quadruplex張拉整體結(jié)構單胞為基本單元，提出一種新的展開方式：在固定底部節(jié)點的情況下，改變頂部索的長度并施加預應力，驅(qū)動結(jié)構變形．在結(jié)構變形的過程中，中部索將從松弛狀態(tài)轉(zhuǎn)化為拉緊狀態(tài)，即中部索除拉緊狀態(tài)以外，其他狀態(tài)下將不參與結(jié)構展開過程中的計算．最后結(jié)合商業(yè)軟件MATLAB和ANSYS研究張拉整體結(jié)構基本單元的展開方法，分析結(jié)構中構件的運動路徑和力學性能，促進張拉整體結(jié)構體系在實際工程中進行應用．

1 理論公式

1.1 基本假定

基于向量式結(jié)構力學的基本理論和張拉整體結(jié)構的特點，在建立計算模型時采用以下假定：

①結(jié)構構件間的采用鉸接的連接方式；

②結(jié)構中的構件均為二力桿件，但拉索單元只能承受軸向拉力；

③結(jié)構的外力、內(nèi)力和質(zhì)量均集中在節(jié)點上；

④不考慮自重效應．

1.2 向量式結(jié)構力學的基本理論

1.2.1 空間點的運動理論

根據(jù)向量式結(jié)構力學理論，每一個結(jié)構將被離散為一系列的空間點，并用這一系列有限數(shù)目點的位置來描述復雜的結(jié)構形式和幾何狀態(tài)，將結(jié)構運動變形問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g點的運動問題[14]．此時，結(jié)構桿件受到的荷載、內(nèi)力、約束、質(zhì)量和運動的條件等都集中在同一個點上，并用力和點的位移來描述，而點的運動則用牛頓第二定律計算．由于張拉整體結(jié)構中空間點的自由度只有XYZ三個方向的平移自由度，所以空間點的運動所滿足的控制方程如式(1)所示[14].

(1)

(2)

式中：mQ為空間點的自身質(zhì)量；λ是與空間點Q連接的構件的個數(shù)；mμ是每個連接在空間點Q的單元的質(zhì)量，分配到空間點時通常為兩個空間點之間單元質(zhì)量的一半．[fdxfdyfdzT]是作用于空間點Q的阻尼力向量，該阻尼力在本例中是一個虛擬的阻尼力，目的是為了在該結(jié)構展開的過程中避免由荷載產(chǎn)生的振動效應的影響，Q點的阻尼力向量滿足式(3)[14].

(3)

式中，ξ是虛擬的阻尼比．

1.2.2 運動方程的求解

(4)

式中：Sn+1、Sn和Sn-1分別時空間點Q在n+1、n和n-1時刻的位置向量；t為計算時間．

將公式(4)和(3)代入式(1)，得位移得迭代式(5).

(5)

S0=Q0

(6)

(7)

(8)

將式(6)代入(8)，并聯(lián)立式(7)和(8)，解得S1和S-1：

(9)

(10)

所以，將式(9)和(3)代入方程式(5)得：

當n>0時：

(11)

(12)

當n>1時，方程式為式(5)．

1.2.3 空間點的外力和內(nèi)力

基于向量式結(jié)構力學的基本理論[14]，當任意方向的力Fr作用于空間點Q時沿著坐標軸方向的等效力分量為

Fx=Fr·ex

(13)

Fy=Fr·ey

(14)

Fz=Fr·ez

(15)

式中，ex、ey和ez為空間點Q域坐標(x,y,z)下的基底向量．

假設桿系構件G的內(nèi)力由構件長度的變化產(chǎn)生，即只有拉力和壓力．假設空間點Q與空間點W之間由桿系構件G連接，則桿系構件G的內(nèi)力集中在空間點Q為[14]:

fx=fr·ix

(16)

fy=fr·iy

(17)

fz=fr·iz

(18)

式中:ix，iy和iz為桿系構件G的方向向量．假設空間點Q與空間點W的位置向量分別為[QxQyQz]T和[WxWyWz]T，則方向向量公式為[14]：

(19)

(20)

(21)

上式中，L為桿系構件G的長度，由公式(22)表示.

(22)

假設空間點Q與空間點W的初始位置向量為[Qx0Qy0Qz0]T和[Wx0Wy0Wz0]T，則桿系構件G的原長L0為：

(23)

由材料力學的理論[15]可知，桿系構件G的拉力或壓力為

(24)

式中，E為彈性模量，A為構件截面面積．當fr為正，則為拉力；若fr為負，則為壓力．

1.2.4 中央差分步長的估算

精確的增量時間步長是中央差分計算得以穩(wěn)定收斂的前提．換而言之，當計算時間步長t小于臨界步長t0時，持續(xù)計算所得的累積誤差才可以維持在容許的范圍內(nèi)，即收斂為一個較為精確的結(jié)果．當計算時間步長t小于臨界步長t0時，計算結(jié)果將不收斂．

然而，構件的運動行為和參數(shù)值對臨界步長的確定有直接的影響．不同的結(jié)構對應不同的臨界步長，同一種結(jié)構不同的變量方程所要求的臨界步長也不同．因此文獻[14]中以一個剛性桿件結(jié)構為例，推導出了臨界步長的估算公式，并應用到該文獻柔性結(jié)構的算例中．所以，本文的算例參考公式(25)估算臨界步長為

(25)

式中：LP為連接空間點Q的所有構件的平均長度，φ為構件的質(zhì)量密度．

1.2.5 被動索限值的確定

對于本文的驅(qū)動方式，在張拉整體結(jié)構運動的過程中，被動索往往會受壓并退出計算，其限值FB由公式(26)求出．

FB=fr

(26)

(27)

式(26)和(27)中，F(xiàn)B為被動索受到的壓力；fr由式(26)計算可得；FPD是被動索是否參與下一時刻計算的判定條件；FZ是主動索連接的兩個空間點所受到的力；qZ和qB分別是主動索和被動索力密度的比值；LZ和LB分別是幾何穩(wěn)定下，張拉整體結(jié)構中主動索和被動索的長度．在確定結(jié)構折疊形態(tài)的過程中，當FB

令

FB=FPD

(28)

聯(lián)立方程(26)、(27)和(24)可得當被動索受到的壓力FB等于FPD時，被動索的長度LPD由下式表示：

(29)

式中：E為楊氏模量；A為截面面積；FB由第一個程序輸出．在結(jié)構進行展開運動的過程中，當被動所連接的兩個空間點上的距離LBDLPD時，被動索進入下一個時刻的計算．

1.3 張拉整體結(jié)構的幾何穩(wěn)定性

假設一個空間網(wǎng)格體系有w根桿件和v個自由度，其自應力模態(tài)數(shù)為ZS和獨立機構位移模態(tài)數(shù)Dm可分別由以下公式確定[16]：

ZS=w-rA

(30)

Dm=dKv-rA

(31)

式中：rA是平衡矩陣的秩，dK是結(jié)構的空間維數(shù)．當ZS=0和Dm>0時，結(jié)構將轉(zhuǎn)化為可發(fā)生有限位移的機構；當ZS>0和Dm>0時，結(jié)構將變成同時擁有機構位移和自應力模態(tài)的張拉整體結(jié)構．在分析張拉整體結(jié)構時，首先需要考察其自應力模態(tài)能否剛化其無窮小機構位移模態(tài)，同時最終的自應力模態(tài)必須滿足壓桿受壓、拉索受拉的條件，因為拉索只具有單向的受拉剛度，無法承受壓力[17]．

切線剛度矩陣KT的正定性可判斷張拉整體結(jié)構的穩(wěn)定性，其表達式(32)所示[18]：

(32)

式中：KE是結(jié)構的切線剛度；KG是與自應力模態(tài)有關的幾何剛度矩陣；E為彈性模量；A為構件截面面積；LT為桿件的原長；I∈R3×3為單位矩陣；?為張量積．平衡矩陣B和矩陣β由式(33)和(34)表示[19]：

(33)

β=CTHC

(34)

其中：H=diag(q)

式中，H是力密度矩陣；矩陣q由式(35)和(36)表示：

q={q1,q2,q3,…,qw}T

(35)

(36)

式中：LTδ為單元長度；Fδ為單元的力．假設φ和ψ(φ<ψ)為連接構件兩端的節(jié)點，則關聯(lián)矩陣C第γ行的元素公式(37)表示

(37)

在忽略剛體位移的情況下，若切線剛度矩陣是正定的，即滿足式(38)時該張拉整體結(jié)構體系是穩(wěn)定的：

eig(KT)=λ1≤λ2≤…≤λσ

(38)

式中，σ為最后一項．

2 算例分析

2.1 結(jié)構折疊形態(tài)的確定

如圖1所示，Quadruplex張拉整體結(jié)構單胞由4根壓桿和12根拉索組成，沿著坐標軸X軸和Y軸方向的跨度均為10 m，高5 m．圖中黑色的粗線為壓桿，紫色的細線為拉索，其中拉索bd、dg、gv和vb為頂部索，拉索da、gc、ve和bu為中部索，拉索ac、ce、eu和ua為底部索．表1是該單胞的節(jié)點坐標位置．表2是 Quadruplex 單胞結(jié)構的幾何、材料和力學參數(shù)．

表2 Quadruplex張拉整體結(jié)構單胞的結(jié)構參數(shù)Tab.2 Structure parameter of quadruplex tensegrity cell

圖1 Quadruplex張拉整體結(jié)構單胞Fig.1 Quadruplex tensegrity cell

表1 Quadruplex張拉整體結(jié)構單胞的空間點坐標Tab.1 The node coordinates of a single cell in a quadruplex tensegrity structure

在折疊過程中假設空間點a、c、e和u的位置不變，四根頂部索為主動索，四根中部索為被動索．為確定空間點在展開運動以前的初始位置，假設構件的預應力為零的情況下，對空間點d、g、v和b施加100 kN的節(jié)點外力，方向沿頂部拉索的軸線方向向外，并且當中部索的壓力大于由公式(29)所求出的值時將不參與下一個時間步的計算，并且在計算的全過程中忽略頂部索長度的變化對結(jié)構的影響(如圖2所示)．

續(xù)表2

圖2 確定空間點初始位置時的計算模型Fig.2 The computational model for determining the initial position of the points

由圖2可知，Quadruplex張拉整體結(jié)構單胞是一個中心對稱的結(jié)構并受到了中心對稱的力和約束條件，所以在結(jié)構展開過程中構件的運動軌跡也是中心對稱．因此本文以桿件ab為例進行分析．由第1節(jié)的計算理論可知，空間點b在展開過程中的時間步數(shù)—位移大小關系(圖3)和結(jié)構折疊狀態(tài)下空間點的坐標(表3)．

表3 折疊狀態(tài)下空間點的坐標Tab.3 The initial coordinate of the points

圖3 折疊時空間點b的時間步數(shù)——位移大小關系圖Fig.3 Time steps-Displacement graph of point b in folding process

2.2 展開過程的運動分析

確定了空間點的在結(jié)構折疊狀態(tài)下的坐標位置，即確定了結(jié)構在結(jié)構折疊狀態(tài)下的形態(tài)(圖4)．在展開過程中，通過收縮頂部索的長度對結(jié)構進行驅(qū)動，并在中部索的長度大于其原長時開始考慮中部索的拉力對空間點的影響．在matlab中只需將100 kN的力施加到節(jié)點處，并與被動索的方向向量相乘的方式實現(xiàn)．

圖4 結(jié)構在折疊狀態(tài)下的形態(tài)Fig.4 The shape of the structure in the folded state

由圖4可知，該結(jié)構的形態(tài)、驅(qū)動方式和約束方式沿著結(jié)構的中心對稱．所以，在結(jié)構展開過程中構件的運動軌跡也是中心對稱．由第一節(jié)中的計算理論可知空間點b在的折疊過程中的時間步數(shù)與位移大小的關系并與其展開時的數(shù)據(jù)作對比(如圖5所示)，并求出結(jié)構的展開過程(如圖6所示)以及展開過程中構件預應力的變化過程(如圖7所示)．

圖7 結(jié)構的展開時構件預應力的變化過程Fig.7 The change process of prestress of the components during the expansion of the structure

由圖5可知，在確定該結(jié)構初始形態(tài)時，空間點b的位移與該點在結(jié)構展開過程中產(chǎn)生的位移相等、路徑相似．所以通過2.1小節(jié)的方法計算空間點的初始位置和結(jié)構的初始形態(tài)是可行的．

圖5 展開時空間點b的時間步數(shù)——位移大小關系圖Fig.5 Time steps-Displacement graph of point b in deploying process

圖6(a)～(d)展示了該結(jié)構展開的過程，這個過程證實Quadruplex張拉整體結(jié)構可以轉(zhuǎn)化為可展結(jié)構，通過收縮頂部索的長度實現(xiàn)結(jié)構展開．這個過程的逆過程就是確定空間點初始位置和結(jié)構初始形態(tài)的過程．

圖6 結(jié)構的展開過程Fig.6 Deploying process of structures

表4 Quadruplex張拉整體結(jié)構單胞的空間點坐標Tab.4 The node coordinates of a single cell in a quadruplex tensegrity structure

在結(jié)構展開的過程中，當中部索的長度小于或等于式(29)所求出的長度時，結(jié)構的ZS=0和D=12>0，此時結(jié)構變?yōu)榭砂l(fā)生有限位移的機構；當結(jié)構運動到最終形態(tài)時，結(jié)構的ZS=1>0和D=9>0．在忽略剛體位移的情況下，切線剛度矩陣KT的特征值如圖8所示．

由圖8可知，切線剛度矩陣KT的特征值大于等于零且滿足式(38)．所以當結(jié)構運動到最終形態(tài)時，該張拉整體結(jié)構是穩(wěn)定的．

圖8 切線剛度矩陣的特征值Fig.8 Eigenvalues of the tangent stiffness matrix

2.3 ANSYS軟件的校核

采用通用有限元軟件ANSYS對結(jié)構的展開過程進行動力學幾何非線性分析．前處理中采用Link180單元模擬結(jié)構的壓桿和拉索，并利用溫度荷載改變頂部索的長度從而驅(qū)動結(jié)構展開．根據(jù)zhang[20]的建議引用虛擬單元的概念釋放固定節(jié)點,將有支撐預應力張拉整體結(jié)構轉(zhuǎn)化為無外界支撐的自平衡結(jié)構．計算結(jié)果如圖9所示并與MATLAB的計算結(jié)果作對比(表5)．

圖9 空間點b的位移大小Fig.9 Displacement of point b

由圖9和表5可知，該結(jié)構經(jīng)過ANSYS有限元軟件的計算后，空間點b的位移大小和各個構件的預應力與MATLAB中的計算結(jié)果一致．所以通過對主動索施加預應力的方式，可以驅(qū)動各個構件產(chǎn)生運動并獲得預應力，使結(jié)構剛化成型．

表5 構件的預應力(kN)Tab.5 Prestress of member /kN

3 結(jié)論

本文采用固定底部節(jié)點和縮短頂部索長度的方式驅(qū)動Quadruplex張拉整體結(jié)構進行展開運動，并得出以下結(jié)論：

(1)由圖5可知，該結(jié)構在折疊與展開過程中，空間點b的位移大小相似．所以確定結(jié)構折疊形態(tài)的過程就是結(jié)構展開的逆過程．

(2)將底部節(jié)點設置為鉸支座的情況下，通過調(diào)節(jié)頂部索長度的方式可驅(qū)動結(jié)構進行展開運動．在運動的過程中，由于結(jié)構的ZS=0和D=12>0，所以結(jié)構將不存在用于剛化機構位移模態(tài)的自應力模態(tài)，因此這個運動屬于機構運動．但當結(jié)構展開至最終形態(tài)時，結(jié)構的ZS=1>0和D=9>0，即結(jié)構同時存在自應力模態(tài)和機構位移模態(tài)，并且其切線剛度矩陣是正定的，所以該結(jié)構的展開過程是一個可發(fā)生有限位移的機構轉(zhuǎn)化為張拉整體結(jié)構的過程．

(3)由圖7和表5可知所示，在運動結(jié)束時，結(jié)構的各個構件均獲得了預應力，并經(jīng)過ANSYS軟件的計算中到了驗證．并由結(jié)構的自應力模態(tài)數(shù)、機構位移模態(tài)數(shù)和切線剛度矩陣的正定性可知，各個構件所獲得的預應力可使結(jié)構剛化．說明在驅(qū)動過程中頂部索發(fā)揮了主動索的作用，為結(jié)構中的其他構件施加了預應力．