曹艷

2015年7月筆者接到了一個全國數(shù)學(xué)教師的基本功大賽，講解中考數(shù)學(xué)壓軸題.剛開始覺得不是難事，畢竟工作這么多年，講個題目還是不在話下的.比賽規(guī)定：每個人分別講解2015年不同省市的數(shù)學(xué)中考壓軸題，筆者講解上海市的中考壓軸題，做好準(zhǔn)備后便欣然前往.

到了比賽城市，還有兩天的準(zhǔn)備時間，便又細(xì)細(xì)琢磨.題目是研究得滾瓜爛熟了，不過聽講的不是學(xué)生，而是幾百位來自全國各地的數(shù)學(xué)老師，心里不免有點(diǎn)慌，到底思路怎么順才能比較接地氣呢？講壓軸題最重要的就是切忌“滿堂灌”，使聽者聽得云里霧里，我該怎么講才能讓老師們聽得興趣盎然呢？和著名的幾何畫板專家馬學(xué)斌老師作了溝通后，題目變得更透徹了.下面我們一起看看這道題目.

2015年上海中考25題：如圖1，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上且DQ=OP，AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E，與弦CD相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），AB=20，cos∠AOC=.設(shè)OP=x，△CPF的面積為y.

（1）求證：AP=OQ；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)△OPE是直角三角形時，求線段OP的長.

圖1

題意分析：本題是兩動點(diǎn)問題，我們先分析題目的基本條件.

①AB=20，cos∠AOC=.

由于CD∥AB，可知∠AOC=∠OCD=∠ODC=∠DOB.

如圖2，過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H，則在Rt△OCH中，容易得到CH=HD=8，OH=6.

圖2

②根據(jù)題目條件，我們來看題目中的四個點(diǎn).首先，在OC上有一主動點(diǎn)P，在CD上有一從動點(diǎn)Q，滿足DQ=OP.AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E，與弦CD相交于點(diǎn)F，如圖3所示.

圖3

當(dāng)然，如果讓點(diǎn)P再向上移動一部分，如圖4，就會發(fā)現(xiàn)圖形有所不同：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動靠近C點(diǎn)時，點(diǎn)E就在弦CD的上方了，即隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，點(diǎn)E的位置可能在弦CD的下方，也可能在弦CD的上方.

圖4

③反過來，在運(yùn)動過程中，如果我們以F作為主動點(diǎn)，連接AF，則AF和OC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，由DQ=OP可確定點(diǎn)Q，再連接OQ并延長交AF的延長線于點(diǎn)E.隨著F在弦CD上運(yùn)動（不與點(diǎn)C、D點(diǎn)重合），點(diǎn)P、點(diǎn)Q和點(diǎn)E也隨之確定.這樣我們就將題目的條件完整地呈現(xiàn)在圖形中了.那么E的不同位置影響我們做題嗎？下面我們一起看看題目所求.

（1）證明線段相等，無非可以利用三角形全等、等角對等邊、角平分線性質(zhì)、中垂線性質(zhì)，等等.在本題中，除了有顯性條件DQ=OP外，還有隱性條件∠AOP=∠ODQ和OA=DO，可得△AOP≌△ODQ（SAS），如圖5所示，故可得AP=OQ.該問較簡單，大多數(shù)考生容易解決.

圖5

（2）本問求y（△CPF的面積）關(guān)于x（OP的長度）的函數(shù)解析式及其定義域，解決關(guān)鍵即為尋找恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系.三角形面積分為直接求解和間接求解兩種.直接求解只要找出三角形的底和高即可，而間接求法即可通過求解其同（等）底等（同）高的三角形或者其相似三角形來解決.我們看看“主角”△CPF.由CD∥AB容易看出△CPF∽△OPA，因此我們可以利用相似三角形的面積比例關(guān)系求解.由cos∠AOC=，OP=x可知△OPA中OA邊上的高為x，S=3x，再由=（）=（）可得y=.

那么x的范圍如何界定呢？點(diǎn)F在弦CD上運(yùn)動，那么F的極限位置就是點(diǎn)C、點(diǎn)D兩個位置（且不與C、D重合）.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，x=；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，x=10.因此x的范圍為

（3）當(dāng)△OPE是直角三角形時，需要分類討論直角頂點(diǎn).

①當(dāng)∠OPE=90°時，如圖6所示，此時，在Rt△AOP中，OP=OA·cos∠AOC=8.

圖6

②當(dāng)∠POE=90°時，如圖7所示，此時，我們從圖形看到點(diǎn)F跑到了弦CD的延長線上，因此這種情況是不成立的.但是僅僅看圖還不行，還需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠嬎阕C明才可以.在Rt△COQ中，OC=10，且cos∠OCQ==，則CQ=，DQ=CD-CQ=.因此OP=DQ=.由（2）知

圖7

③當(dāng)∠OEP=90°時，如圖8所示.我們來看此時OP是多少.

圖8

∵∠QOB=∠QOD+∠DOB

∠QOB=∠PAO+∠OEP

∠QOD=∠PAO

∴∠DOB=∠OEP.

∵cos∠DOB=cos∠AOC=，∴∠OEP=90°不成立，此情況舍去.

另外，我們還可以這樣理解：在△OAP和△QEF中，∠OAP=∠QFE（由CD∥AB可得），∠APO=∠EQF，因此∠AOP=∠QEF=∠OEP.而cos∠AOC=，可見cos∠OEP=，∠OEP不可能是直角，該情況不成立，舍去.

通過對這道題目的分析與解答，我們能深刻體會到“數(shù)因形而生動，形因數(shù)而具體”這句名言.不是說板書寫得越多、越詳細(xì)、越整齊效果就越好.要想講好壓軸題，第一要務(wù)就是把題目中的各種幾何關(guān)系在圖形中清晰地表現(xiàn)出來，如各個角、線段、三角形、拋物線等之間的關(guān)系，讓聽者看到圖形就仿佛看到了題目思路，這樣聽起來就既清晰又舒服，同時印象深刻，此時的圖形勝過文字千千萬.另外，在做壓軸題的時候，也應(yīng)該恰當(dāng)合理地利用圖形關(guān)系，準(zhǔn)確尋找目標(biāo)，再進(jìn)行代數(shù)求解，這樣不但能將題目難度逐一化解，還能使得做題脈絡(luò)更清晰明了.