金逐流，萬華平

（浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310058）

按幾何組成性質(zhì)劃分，體系可分為幾何不變體系與幾何可變體系。幾何可變體系在外力作用下通常會(huì)產(chǎn)生較大的內(nèi)力或變形，一般不能用作結(jié)構(gòu)[1]。體系幾何組成分析主要是為了判定體系是否為幾何不變，從而判斷其能否作為結(jié)構(gòu)使用。

體系幾何組成分析采用兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則、二元體規(guī)則三個(gè)基本規(guī)則[2]，以及衍生的擴(kuò)大剛片法、撤除剛片法、替代剛片法等[3]。

圖1（a）所示的體系可以利用三剛片規(guī)則進(jìn)行判定。如圖1（b）所示，三剛片間的三個(gè)鉸不共線，因此體系為幾何不變、且無多余約束。

圖1 三剛片規(guī)則的運(yùn)用

將圖1（a）的體系增加一些桿件，得到圖2（a）所示的體系，常規(guī)的基本規(guī)則無法用于該體系的幾何組成分析。該體系的計(jì)算自由度W=0，可以用零載法[3]進(jìn)行分析，但涉及內(nèi)力分析。

圖2 復(fù)雜體系與分析

陳水福等[4]對(duì)該體系給出過如下分析思路：左側(cè)的鉸接三角形與基礎(chǔ)之間通過兩根支座鏈桿相連，這兩根鏈桿所形成的虛鉸O1位于基礎(chǔ)上，可將三角形簡(jiǎn)化為通過虛鉸O1、實(shí)鉸A的鏈桿；右側(cè)的三角形同理可簡(jiǎn)化為鏈桿O2B，如圖2（b）（c）所示。

該思路簡(jiǎn)化了體系，但未對(duì)其等價(jià)性、可行性作深入解釋。此外，樊友景[5]、崔恩第[6]等也用過類似的替代思路，同樣沒有更詳細(xì)、系統(tǒng)的闡述。

本文基于上述思路，介紹一種幾何組成分析方法，詳細(xì)闡述該方法的基本思想，并多重舉例說明該方法在幾何組成分析中的應(yīng)用。

1 以實(shí)代虛法

對(duì)于幾何不變體系，由于桿件之間不會(huì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，體系內(nèi)的虛鉸位置是不變的，相當(dāng)于實(shí)鉸，用實(shí)鉸替代虛鉸時(shí)不改變其幾何組成性質(zhì)，因此可以進(jìn)行等效替代。

對(duì)于幾何可變體系，虛鉸位置會(huì)隨兩剛片的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而改變。但是其幾何組成分析首先假定體系是不動(dòng)的，此時(shí)虛鉸位置不變，仍相當(dāng)于實(shí)鉸，可以進(jìn)行等效替代。

綜合上述，給出“以實(shí)代虛法”的基本表述：

如果體系中的兩個(gè)幾何不變部分（剛片）之間存在兩根鏈桿構(gòu)成的虛鉸，則可用實(shí)鉸替代該虛鉸。

替代后，新的實(shí)鉸與原來的虛鉸位置相同，并代替了原來的兩根鏈桿，與兩剛片相連。以實(shí)代虛法可與擴(kuò)大剛片法、替代剛片法一起使用。圖3為該方法的示意圖，其右側(cè)的體系正是擴(kuò)大剛片的結(jié)果。

圖3 方法

以實(shí)代虛法可以用于簡(jiǎn)化體系，尤其是鏈桿多、虛鉸多的體系，為體系的幾何組成分析提供了新思路，能用于分析一些常規(guī)方法難以處理的體系。

2 算例分析

【例1】判別圖4（a）所示體系的幾何組成。

圖4 算例1

【解】ΔABE、基礎(chǔ)為兩個(gè)剛片，之間有兩根鏈桿，因此這兩根鏈桿構(gòu)成虛鉸，可以用實(shí)鉸替代。替代后，ΔABE與大地之間通過實(shí)鉸A連接，B點(diǎn)處則形成二元體，可以將其拆除。

ΔCDF與ΔABE同理，可以進(jìn)行相同的替代與二元體拆除。替代后如圖4（b）所示。

可知ΔEFG與基礎(chǔ)之間通過三根鏈桿連接，由于這三根鏈桿交于同一點(diǎn)，故體系為幾何可變。通過微小位移法可以進(jìn)一步判定原體系為瞬變。

【例2】判別圖5（a）所示體系的幾何組成。

圖5 算例2

【解】ΔABE與基礎(chǔ)之間的兩根鏈桿互相平行，構(gòu)成的虛鉸為無窮遠(yuǎn)。將虛鉸用實(shí)鉸替代，替代后的實(shí)鉸位于無窮遠(yuǎn)處。同樣地，對(duì)ΔCDF作類似處理與分析。

替代后，ΔABE與其余部分通過兩個(gè)實(shí)鉸相連，故可用鏈桿替代。由于一個(gè)實(shí)鉸為無限遠(yuǎn)，因此鏈桿也應(yīng)當(dāng)為無限長。ΔCDF同理，簡(jiǎn)化結(jié)果如圖5（b）所示。

由于兩根無限長的鏈桿與G點(diǎn)的支座鏈桿不全平行，故體系為幾何不變，且無多余約束。

【例3】判別圖6（a）所示體系的幾何組成。

圖6 算例3

【解】桿EK與基礎(chǔ)大剛片之間通過兩根支座鏈桿相連，這兩根鏈桿構(gòu)成虛鉸，因此用實(shí)鉸進(jìn)行替代。替代后如圖6（b）所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，替代之后的體系出現(xiàn)了二元體。從K點(diǎn)開始，將二元體依次撤除，最后只剩下基礎(chǔ)大剛片，故體系為幾何不變，無多余約束。

【例4】判別圖7（a）所示體系的幾何組成。

圖7 算例4

【解】首先把剛架CFGD看成剛片。剛架CFGD與基礎(chǔ)之間通過D、G兩處的支座鏈桿相連，這兩根鏈桿在FG中點(diǎn)處構(gòu)成虛鉸，因此用實(shí)鉸替代，記為點(diǎn)H。

替代后，剛架CFGD與基礎(chǔ)通過實(shí)鉸H連接，與其余部分通過鉸C連接，故可用鏈桿替代，替代后如圖7（b）所示。

將剛架AE、EBC與基礎(chǔ)分別看成剛片，如圖7（c）所示。A處的平行鏈桿與實(shí)鉸E、虛鉸K的連線不平行，由三剛片規(guī)則，三鉸不共線，體系為幾何不變，無多余約束。

3 討論

3.1 能否進(jìn)行多次“以實(shí)代虛”

以實(shí)代虛法的前提是體系不動(dòng)，在體系不發(fā)生位移時(shí)，虛鉸與實(shí)鉸是等效的，因此這個(gè)替代可以迭代進(jìn)行，其過程也完全可逆。當(dāng)虛鉸被實(shí)鉸替代后，如果新的“實(shí)鉸”又構(gòu)成了新的虛鉸，則該虛鉸可以繼續(xù)被替代。

3.2 虛鉸無窮遠(yuǎn)如何處理

當(dāng)體系存在虛鉸無窮遠(yuǎn)時(shí)，兩根平行鏈桿相當(dāng)于位于無窮遠(yuǎn)的實(shí)鉸，而替代后剛片也會(huì)變得無限長、無限遠(yuǎn)。這給實(shí)際應(yīng)用帶來了困難，尤其是體系存在多組平行鏈桿的情況。

算例2是體系存在虛鉸無窮遠(yuǎn)的一個(gè)例子，由于鉸接三角形恰好可以用鏈桿替代，體系才得以簡(jiǎn)化。但是，對(duì)于多組平行鏈桿的復(fù)雜情形，虛鉸無窮遠(yuǎn)的處理已相當(dāng)復(fù)雜，該方法很難再適用。

3.3 能否區(qū)分常變與瞬變

對(duì)于常變、瞬變的初步區(qū)分，以實(shí)代虛法的分析結(jié)果與常規(guī)方法通常是一致的。例如，圖8（a）（b）為瞬變體系簡(jiǎn)化后的兩種常見結(jié)果，將圖8（a）體系的實(shí)鉸用虛鉸代回，得到圖8（c）的體系。

代回后，兩根鏈桿的布置方法有很多種，但由于在原實(shí)鉸處（有限遠(yuǎn)處）形成虛鉸，所以兩根鏈桿不會(huì)平行。因此，體系仍為瞬變，而不會(huì)因鏈桿平行等長而變成常變。可以驗(yàn)證，將圖8（b）體系中的實(shí)鉸用虛鉸替代，體系也保持瞬變。

圖8 常變與瞬變的區(qū)分

以上討論僅限于靜態(tài)體系的初步分析，常變、瞬變應(yīng)根據(jù)體系的微小運(yùn)動(dòng)進(jìn)行嚴(yán)格區(qū)分。

4 結(jié)語

以實(shí)代虛法通過用實(shí)鉸代替虛鉸，可以處理一些常規(guī)方法難以分析的體系。仍然有很多體系無法運(yùn)用現(xiàn)有的幾何組成分析方法進(jìn)行分析與判定，需要不斷探索新的幾何組成分析方法。