王 威

（中國(guó)國(guó)際航空股份有限公司，北京101318）

1 最優(yōu)控制理論

簡(jiǎn)單來(lái)講，這一理論屬于現(xiàn)代控制理論的某個(gè)分支，主要用來(lái)研究如何讓控制系統(tǒng)的性能標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最優(yōu)化的基礎(chǔ)條件和綜合方法。例如，提出一個(gè)最優(yōu)的控制方法，讓空間飛行器從某個(gè)軌道轉(zhuǎn)移到另一軌道中，且消耗燃燒最少；選擇某種規(guī)律下的溫度調(diào)節(jié)方式和所需原料配比情況，讓化工反應(yīng)期間獲取最多的產(chǎn)量；提出最科學(xué)的人口政策，促使人口發(fā)展期間的勞動(dòng)力、中老化及撫養(yǎng)等指數(shù)都可以達(dá)到最優(yōu)化。這些都屬于基于最優(yōu)控制理論研究的經(jīng)典問題。要想解決上述問題，需要為受控運(yùn)動(dòng)工程構(gòu)建相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，并為控制變量設(shè)定明確的取值范圍，了解運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)，而后為這一運(yùn)動(dòng)提出一個(gè)可以評(píng)價(jià)品質(zhì)性能的標(biāo)準(zhǔn)。

2 性能數(shù)據(jù)及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

通過研究飛機(jī)所受外力作用下飛機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，就能明確飛機(jī)的飛行性能。因此，要想了解影響飛機(jī)性能的各項(xiàng)問題，首先要掌握飛機(jī)所受外力和相應(yīng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程。其中，大氣環(huán)境、氣動(dòng)力及其力矩、發(fā)動(dòng)機(jī)等都是常見的外力作用。

第一，大氣環(huán)境。由于地球的大氣環(huán)境非常復(fù)雜，如果按照溫度隨高度變化的形式來(lái)劃分，那么其包含對(duì)流層、平流層、中間層、電離層、散逸層五個(gè)層次，而對(duì)流層和平流層是最適宜飛機(jī)飛行的環(huán)境，但所處層次的溫度、密度和壓強(qiáng)等存在較大差異。以國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)大氣為例，研究飛機(jī)飛行性能時(shí)，可以利用ICAO標(biāo)準(zhǔn)來(lái)仿真設(shè)計(jì)真實(shí)大氣層環(huán)境，此時(shí)需要根據(jù)飛行高度來(lái)計(jì)算大氣層的壓力、密度及溫度等。此時(shí)，環(huán)境的靜溫比TAR和靜壓比PAR與高度會(huì)滿足以下關(guān)系式：

第二，氣動(dòng)力及其力矩。對(duì)飛機(jī)運(yùn)行而言，其擁有的氣動(dòng)特性直接影響著飛機(jī)的整體性能，因此研究其氣動(dòng)力也是工作的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通過利用氣動(dòng)曲線和插值算法得到其中包含的升力、阻力和側(cè)力三項(xiàng)系數(shù)，實(shí)際計(jì)算方法如下：

第三，發(fā)動(dòng)機(jī)。以渦輪風(fēng)扇發(fā)動(dòng)機(jī)為例，其是由壓氣機(jī)、風(fēng)扇及渦輪等部件構(gòu)成的。由于其具備兩條氣流通道，因此最終進(jìn)入氣道的氣流將會(huì)分為兩股，其一將從外殼和內(nèi)殼進(jìn)入外函道，并由風(fēng)扇實(shí)施增壓，其二將進(jìn)入內(nèi)涵道，與普通渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)類似。在這一過程中，發(fā)動(dòng)機(jī)形成的推力就是內(nèi)外構(gòu)成的推力之和，具體公式為：

第四，運(yùn)動(dòng)方程。通過描述飛機(jī)內(nèi)外距力和運(yùn)動(dòng)參數(shù)間的關(guān)聯(lián)，并利用相關(guān)坐標(biāo)系進(jìn)行公式推導(dǎo)，最終能為研究航空飛行性能提供有效的數(shù)據(jù)依據(jù)。一方面，動(dòng)力學(xué)方程。假設(shè)將飛機(jī)看作是剛體，那么按照理論力學(xué)分析可知，飛機(jī)在空氣當(dāng)中進(jìn)行的一般運(yùn)動(dòng)包含了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與繞質(zhì)心進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)，結(jié)合牛頓第二定律可以得到如下方程；另一方面，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。要想掌控飛機(jī)的運(yùn)行軌跡，不僅要了解外力和運(yùn)動(dòng)參數(shù)間的關(guān)聯(lián)，而且要研究質(zhì)心位置隨著時(shí)間改變的規(guī)律。通過對(duì)飛行速度V進(jìn)行分解，最終可以得到如下所示的方程關(guān)系式：

3 飛機(jī)性能計(jì)算及航跡優(yōu)化分析

飛機(jī)每次運(yùn)行前后都需要按照規(guī)定要求執(zhí)行各項(xiàng)任務(wù)，如滑行、離地、巡航、著陸等，而要想研究它的性能，需要對(duì)飛機(jī)運(yùn)行所有相關(guān)任務(wù)的速度、高度及特性等進(jìn)行全面分析。本文主要重點(diǎn)研究以下問題：

第一，起飛。從松開剎車開始飛機(jī)離開地面，一直到上升到1500ft高度后，這一期間叫做飛機(jī)起飛的全過程。一般來(lái)講，起飛場(chǎng)道時(shí)期是指飛機(jī)從地面開始加速滑行一直到離地面超過35ft后。同時(shí)，速度將會(huì)≥安全速度V2，且飛機(jī)從35ft的高度繼續(xù)上升的過程叫做起飛航道階段。

第二，爬升與下降。本文研究的爬升是指從飛行航跡的終點(diǎn)開始，也就是離開機(jī)場(chǎng)地面1500ft的高度開始。而在飛機(jī)達(dá)到終點(diǎn)以前，它要從巡航高度降低到與機(jī)場(chǎng)地面相距1500ft的區(qū)域，并準(zhǔn)備開始著陸，這就是飛機(jī)的下降。這兩個(gè)過程都屬于飛機(jī)運(yùn)行期間的過渡階段，計(jì)算公式分別為：

第三，巡航。這一性能是指飛機(jī)可以長(zhǎng)久運(yùn)行的能力，其主要涉及到航程與航時(shí)兩點(diǎn)內(nèi)容。一般來(lái)講，民航飛機(jī)需要按照巡航期間經(jīng)過的水平距離、所需時(shí)間及消耗燃油等指標(biāo)進(jìn)行性能計(jì)算。由于在這一過程中，飛機(jī)需要保持直線飛行，高度和速度是不會(huì)發(fā)生變化的，所以可以用以下公式計(jì)算巡航期間的航程與航時(shí)。

4 利用粒子群優(yōu)化算法分析飛行成本最優(yōu)軌跡

4.1 提出問題

在民航事業(yè)飛速發(fā)展中，隨著空中飛行數(shù)量的增加，航空公司要想在獲取效益的同時(shí)控制成本支出，必須要研究飛行所需燃油和時(shí)間。

4.2 構(gòu)建模型

本文研究主要從爬升、巡航和下降三方面入手進(jìn)行最優(yōu)軌跡的分析。為了優(yōu)化飛機(jī)整體運(yùn)行成本，可以基于實(shí)際應(yīng)用成本來(lái)評(píng)估飛機(jī)的經(jīng)濟(jì)性能。換句話說，可以結(jié)合燃油成本和時(shí)間成本構(gòu)建完善的綜合性指標(biāo)，為現(xiàn)階段最常見的性能分析方法有：第一，推力法；第二，功率法；第三，能量高度法；第四，解析法。

結(jié)合上文得到的運(yùn)動(dòng)方程優(yōu)化飛機(jī)的爬升、巡航和下降這三點(diǎn)性能，最終可以得到如下所示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：

而按照最優(yōu)控制理論分析，明確哈密頓函數(shù)，也可以得到這三者的最優(yōu)化飛行條件：

4.3 算法

現(xiàn)階段，處理最優(yōu)化問題的算法很多，如遺傳算法、蟻群算法等，但本文主要利用粒子群算法進(jìn)行求解。假設(shè)選取總?cè)捍笮=40，進(jìn)化代數(shù)=100，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，搜索空間維數(shù)W=1，慣性權(quán)重（w）為0.7298，精度（eps）為0.00001，那么具體計(jì)算步驟如下所示：第一，隨機(jī)初始狀態(tài)下的種群個(gè)數(shù)，就能得到粒子群算法當(dāng)中粒子所在的位置和運(yùn)行速度；第二，研究種群當(dāng)中每個(gè)粒子群的適應(yīng)度。通過計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小值，就能得到粒子適應(yīng)度的相應(yīng)函數(shù)為fitness（V，W）=-λx；第三，結(jié)合適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算它所在位置為pbesti（t）=（xi1，xi2，...，xin），

第四，明確全局最優(yōu)位置為

第五，優(yōu)化種群個(gè)數(shù)的公式為

第六，分析結(jié)束條件，假設(shè)符合條件就可以停止計(jì)算，不然需要再次轉(zhuǎn)移到第二步進(jìn)行計(jì)算。

4.4 仿真結(jié)果

利用MATLAB實(shí)施仿真設(shè)計(jì)，對(duì)比分析最終結(jié)果與省油飛行軌跡，具體如表1所示。由此可知，成本最優(yōu)的飛行軌跡當(dāng)中的速度會(huì)不斷提升，雖然減少了消耗的時(shí)間，但增加了消耗的油量。假設(shè)可以選擇更加適宜的成本指數(shù)，將能有效控制成本支出。

表1 成本最優(yōu)與省油性能的指數(shù)對(duì)比分析表

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，面對(duì)民航領(lǐng)域飛速發(fā)展為航空公司帶來(lái)的全新挑戰(zhàn)，如何在保障發(fā)展效益的同時(shí)控制飛行成本支出，并保障空中交通安全，已經(jīng)成為全社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)。因此，本文在了解最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上，通過全面研究與飛行計(jì)算有關(guān)的性能數(shù)據(jù)，分析飛機(jī)運(yùn)行的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程，并由此入手開發(fā)相應(yīng)的計(jì)算系統(tǒng)軟件，能保障實(shí)踐研究可以得到準(zhǔn)確的飛機(jī)性能數(shù)據(jù)。同時(shí)，在分析最優(yōu)軌跡時(shí)，還考慮了時(shí)間和耗油的成本支出，并由此構(gòu)建了目標(biāo)函數(shù)，得到了飛機(jī)飛行狀態(tài)下的優(yōu)化方程，而后依據(jù)MATLAB軟件和粒子群算法實(shí)施計(jì)算，得到了明確的優(yōu)化方式。需要注意的是，與航空飛行的安全和經(jīng)濟(jì)有關(guān)的研究較為復(fù)雜，上文研究并不全面，其中遺漏或存在缺陷的地方也是未來(lái)繼續(xù)探討的重難點(diǎn)。