王東雄 王念先 陳奎生

1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動化學(xué)院，武漢，4300812.湖北汽車工業(yè)學(xué)院汽車工程學(xué)院，十堰，442002

0 引言

主動磁懸浮軸承(active magnetic bearing, AMB)是一種通過可控電磁力實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的新型軸承，具有無接觸、高轉(zhuǎn)速、高可靠性和支承特性主動可控等優(yōu)點(diǎn)[1]，近年來在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的應(yīng)用受到高度關(guān)注。為獲取高效率和高推重比，燃?xì)廨啓C(jī)、渦輪機(jī)和航空發(fā)動機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械普遍將雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)作為其核心轉(zhuǎn)子部件。將雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的機(jī)械軸承替換為AMB將形成一個磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，可顯著降低系統(tǒng)復(fù)雜度、減小質(zhì)量、優(yōu)化結(jié)構(gòu)，獲得更高的可靠性和可維護(hù)性，大幅提高雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體性能[2]。

隨著現(xiàn)代旋轉(zhuǎn)機(jī)械對高推重比和高功率密度的持續(xù)追求，轉(zhuǎn)靜部件之間的預(yù)留間隙更小、碰摩故障更易發(fā)生。碰摩是由不平衡、不對中、支座松動、油膜渦動和裂紋等故障引發(fā)的二次故障，輕者造成結(jié)構(gòu)振動加劇、密封磨損、噪聲增大，影響機(jī)械使用壽命，重者將釀成慘烈事故[3]。為保證旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，需要研究磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩特性。此外，為更合理地設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)以發(fā)揮AMB支承特性主動可控的優(yōu)勢，深入了解磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障下的振動特性至關(guān)重要。

根據(jù)接觸區(qū)域，碰摩可分為定點(diǎn)碰摩[4]、偏摩[5]和全周碰摩[6]。國內(nèi)外學(xué)者從理論[7-8]、仿真[9-10]和試驗(yàn)[11-12]等方面對單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同碰摩形式下的動態(tài)特性進(jìn)行了深入研究。不同于單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，中介軸承的引入成為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的交叉激勵源，使得內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間的振動耦合加劇，導(dǎo)致雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性更為復(fù)雜?？紤]到接觸過程中圓盤和固定限位器端部表面敷涂層的軟化特性，YANG等[13-14]基于描述法向沖擊力的Lankarani-Nikravesh模型和表征摩擦特性的庫侖模型，建立了定點(diǎn)碰摩故障下的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速比、初始間隙和限位器曲率半徑等參數(shù)對定點(diǎn)碰摩響應(yīng)的影響，并在系統(tǒng)響應(yīng)中觀察到內(nèi)外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻的組合頻率分量?？梢钥闯?，機(jī)械軸承支承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)非常復(fù)雜，且明顯受軸承支承特性的影響，而磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中AMB的支承特性不僅與軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，還與反饋控制系統(tǒng)及轉(zhuǎn)子的振動狀態(tài)等有關(guān)。轉(zhuǎn)子的動態(tài)響應(yīng)通過機(jī)械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)影響軸承的支承特性，使系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)發(fā)生變化，這種耦合效應(yīng)將導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)更加復(fù)雜?？紤]到AMB的保護(hù)軸承與內(nèi)轉(zhuǎn)子之間的接觸效應(yīng)，EBRAHIMI等[15-16]基于拉格朗日方程建立了PD控制下磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的十自由度動力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速比、重力、內(nèi)轉(zhuǎn)子剛度和中介軸承剛度等參數(shù)對系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響。該動力學(xué)模型較為簡單，主要聚焦于系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為，未考慮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與機(jī)匣之間可能發(fā)生的碰摩故障。關(guān)于磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障下振動特性的詳細(xì)研究報道很少，而這對旋轉(zhuǎn)機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)行和故障診斷具有實(shí)際意義。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械部件表面通常敷有各種涂層以延長使用壽命[17]。對于具有較軟涂層的轉(zhuǎn)靜碰摩，沖擊剛度并非由轉(zhuǎn)靜件的結(jié)構(gòu)剛度決定，而是取決于涂層的局部接觸剛度(與涂層的材料性能和接觸區(qū)域的半徑有關(guān))[18]。在這種情況下，Lankarani-Nikravesh模型[19]比分段線性模型[20]更適合描述涂層較軟的轉(zhuǎn)靜碰摩作用，已有學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究[13-14,21]?？紤]到轉(zhuǎn)靜件表面涂層的軟化特性，筆者應(yīng)用Lankarani-Nikravesh模型和庫侖模型分別對接觸過程中的法向沖擊力和摩擦特性進(jìn)行描述，將PID控制下AMB支承特性等效為剛度阻尼模型，結(jié)合有限元法建立磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)定點(diǎn)碰摩故障下的動力學(xué)模型，并采用Newmark-β法求解，與文獻(xiàn)中試驗(yàn)結(jié)果的對比驗(yàn)證了動力學(xué)模型的有效性。最后，對定點(diǎn)碰摩故障下磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性及接觸過程進(jìn)行分析。

1 動力學(xué)模型

如圖1所示，磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的內(nèi)外轉(zhuǎn)子通過2個中介軸承連接，外轉(zhuǎn)子通過2個AMB實(shí)現(xiàn)懸浮支承。加載圓盤模擬實(shí)際雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)中的壓氣機(jī)盤或渦輪盤。外轉(zhuǎn)子左端和內(nèi)轉(zhuǎn)子右端分別通過彈性膜片聯(lián)軸器連接2臺高速電機(jī)。根據(jù)實(shí)際需要，可調(diào)節(jié)2臺高速電機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向，實(shí)現(xiàn)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的同向旋轉(zhuǎn)和反向旋轉(zhuǎn)。本文研究同向旋轉(zhuǎn)磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的定點(diǎn)碰摩特性，為便于分析，對系統(tǒng)動力學(xué)建模過程做如下假設(shè)：①僅考慮徑向振動，忽略扭振及軸向振動的影響；②中介軸承簡化為線彈性支承；③AMB轉(zhuǎn)子熱套在外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸上，將其與轉(zhuǎn)軸視為一個整體進(jìn)行建模；④碰摩發(fā)生在圓盤3與固定限位器之間，且圓盤3和限位器敷有涂層，涂層的局部接觸剛度遠(yuǎn)小于圓盤3和限位器的結(jié)構(gòu)剛度；⑤碰摩時，忽略熱效應(yīng)和摩擦力矩的影響；⑥系統(tǒng)不平衡量位于圓盤1和圓盤3上。

1.中介軸承 2.AMB轉(zhuǎn)子 3.圓盤2 4.外轉(zhuǎn)子 5.內(nèi)轉(zhuǎn)子 6.圓盤3 7.AMB轉(zhuǎn)子 8.中介軸承 9.圓盤1圖1 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of magnetic suspended dual-rotor system

1.1 AMB支承模型

支承特性是AMB或機(jī)械軸承進(jìn)行轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析的基礎(chǔ)。相比于機(jī)械軸承，AMB系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，須采用反饋控制實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子懸浮。差動驅(qū)動模式的八磁極AMB豎直方向的基本控制回路和控制框圖見圖2。

(a)基本控制回路 (b)控制框圖圖2 AMB的基本控制回路和控制框圖Fig.2 Basic control loop and control blockdiagram of AMB

PID控制下，AMB的等效剛度ke和等效阻尼ce可表示為[22-24]

ke=kiAaAsKP-ks

(1)

ce=kiAaAs(KD-KI/ω2)

(2)

式中，KP、KI和KD分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；Aa、As分別為功率放大器和位移傳感器的增益；ω為系統(tǒng)渦動頻率；ks、ki分別為AMB的位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)；μ0為真空磁導(dǎo)率；α為磁極對夾角的一半；Ap為磁極橫截面積；N為線圈匝數(shù)；Ib為偏置電流；g0為名義氣隙長度。

由式(1)可看出，AMB的等效剛度和等效阻尼同時取決于結(jié)構(gòu)尺寸和控制系統(tǒng)，這表明在結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的情況下，AMB的支承特性可通過控制系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整?？紤]到AMB在X軸和Y軸的弱耦合效應(yīng)，忽略等效交叉剛度和等效交叉阻尼。這樣，每個AMB可等效為2個相互正交且獨(dú)立的彈簧阻尼結(jié)構(gòu)，從而可采用分散PID控制策略。

1.2 定點(diǎn)碰摩模型

考慮到轉(zhuǎn)靜部件表面所敷涂層的軟化特性，采用刻畫界面間局部變形的Lankarani-Nikravesh模型描述接觸過程中的法向沖擊力，采用庫侖模型描述摩擦力。如圖3所示，法向沖擊力Fn和切向摩擦力Ft分別為

(3)

Ft=frFn

(4)

式中，ce為恢復(fù)系數(shù)；fr為摩擦因數(shù)；kr為接觸剛度；μd、Ed、Rd分別為圓盤的泊松比、彈性模量和半徑；μp、Rp分別為固定限位器端部的泊松比和半徑；r為圓盤與限位器端部在碰撞方向上的距離；v為圓盤在碰撞方向上的沖擊速度；v0為初始沖擊速度。

圖3 圓盤-固定限位器的碰摩力模型Fig.3 Rub-impact force model for disc-fixed limiter

若圓盤與限位器之間的初始間隙為δ0，圓盤中心Oc(x,y)和限位器端部中心OF(0,Rd+Rp+δ0)的連線與豎直方向之間的夾角為θ，則圓盤與限位器的中心距OcOF和r分別為

(5)

(6)

r>0表示發(fā)生碰撞。碰摩時的接觸角度為

(7)

圓盤中心的速度(vx,vy)與豎直方向的夾角為

α=arctan(vx/vy)

(8)

式中，vx、vy分別為圓盤中心的速度在水平方向和豎直方向的分量。

則由圖3可知圓盤在碰撞方向上的沖擊速度

(9)

在獲取r、v和v0的基礎(chǔ)上，由式(3)可得碰撞過程中的法向沖擊力Fn和摩擦力Ft，因此作用在圓盤上的碰摩力在水平方向和豎直方向的分量可分別表示為

(10)

由式(3)可知，初始沖擊速度v0直接影響法向沖擊力Fn的大小，因此準(zhǔn)確確定碰摩發(fā)生的初始時刻、精確計(jì)算初始沖擊速度至關(guān)重要。本文采用線性插值法修正積分步長[25]，以提高計(jì)算精度。

1.3 系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)圖1所示磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用Euler-Bernoulli梁單元模擬轉(zhuǎn)軸，將內(nèi)轉(zhuǎn)子離散為11個軸段單元和12個節(jié)點(diǎn)，將外轉(zhuǎn)子離散為22個軸段單元和13個節(jié)點(diǎn)。為方便建模，將內(nèi)外轉(zhuǎn)子上的3個圓盤視為剛性圓盤。系統(tǒng)有限元模型由圓盤單元、軸段單元和軸承單元組成，如圖4所示，圖中的坐標(biāo)系為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模過程中廣義位移(xk、yk、φyk、φxk)的參考坐標(biāo)系。

圖4 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型Fig.4 Finite element model of magnetic suspendeddual-rotor system

各剛性圓盤單元、彈性軸段單元和軸承單元的運(yùn)動方程可參考文獻(xiàn)[26]。由圖4設(shè)內(nèi)轉(zhuǎn)子的廣義位移矢量為

(11)

式中，xk、yk(k=1, 2, …, 12)為內(nèi)轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)k分別沿X軸和Y軸的平動位移；φxk、φyk為節(jié)點(diǎn)k分別繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動位移。

通過組裝內(nèi)轉(zhuǎn)子各軸段和圓盤的運(yùn)動方程，可得內(nèi)轉(zhuǎn)子在OXZ平面和OYZ平面的運(yùn)動方程：

(12)

式中，Mi、Ji、Ki分別為內(nèi)轉(zhuǎn)子子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；ωi為內(nèi)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角速度；Q1i、Q2i分別為作用在內(nèi)轉(zhuǎn)子子系統(tǒng)OXZ平面和OYZ平面的24×1階廣義力。

同理，設(shè)外轉(zhuǎn)子的廣義位移矢量為

(13)

式中，xk、yk(k=13, 14, …, 35)為節(jié)點(diǎn)k分別沿X軸和Y軸的平動位移；φxk、φyk為節(jié)點(diǎn)k分別繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動位移。

外轉(zhuǎn)子在OXZ平面和OYZ平面的運(yùn)動方程為

(14)

式中，Mo、Jo、Ko分別為外轉(zhuǎn)子子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；ωo為外轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角速度；Q1o、Q2o為46×1階廣義力。

磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示為

(15)

式中，0為零矩陣。

式(17)未考慮AMB和中介軸承的支承剛度與阻尼的影響。根據(jù)圖4所示AMB和中介軸承的節(jié)點(diǎn)編號，對系統(tǒng)剛度矩陣和陀螺矩陣進(jìn)行修正[14]。在此基礎(chǔ)上，采用Newmark-β法獲取定點(diǎn)碰摩故障下的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。

2 動力學(xué)模型的驗(yàn)證

采用上述動力學(xué)建模方法，建立圖5所示的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)(參數(shù)見表1)的動力學(xué)方程，并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證建模方法的有效性。

圖5 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型[13]Fig.5 Finite element model of Yang’s dual-rotor system

未碰摩情況下，內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度ωi=252.6 rad/s、外轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度ωo=301.2 rad/s時，圓盤1在豎直方向的位移響應(yīng)如圖6所示，從轉(zhuǎn)子的時域響應(yīng)中可觀察到拍振現(xiàn)象，因?yàn)榇藭r內(nèi)外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速比較接近[27]。本文仿真結(jié)果顯然與文獻(xiàn)[13]中的試驗(yàn)結(jié)果一致。

表1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)[13]

(a)試驗(yàn)結(jié)果[13]

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度ωi=184.1 rad/s、外轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度ωo=276.1 rad/s時，圓盤1在未碰摩情況下的響應(yīng)頻譜只包含內(nèi)外轉(zhuǎn)子的激勵頻率；在碰摩情況下，頻譜中除了內(nèi)外轉(zhuǎn)子的激勵頻率外，還有ωo-ωi和ωi+ωo等組合頻率成分。本文仿真結(jié)果如圖7所示，響應(yīng)頻譜也有上述特征頻率分量，只是各頻率分量對應(yīng)的幅值有所不同，這是不平衡量位置和初始條件的差異導(dǎo)致的結(jié)果誤差。由上述分析可知，本文建立的定點(diǎn)碰摩故障下磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型是正確的。

圖7 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)頻譜圖的仿真結(jié)果Fig.7 Frequency spectra of dual-rotor systemobtained by simulation results

3 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的定點(diǎn)碰摩特性分析

磁懸浮雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)如圖1所示，系統(tǒng)其他參數(shù)如表2所示。為便于分析，定義外轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度與內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度之比(即轉(zhuǎn)速比)rs=ωo/ωi。

表2 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主要參數(shù)

3.1 碰摩特性分析

比例系數(shù)KP=5、微分系數(shù)KD= 5×10-4、積分系數(shù)KI=0、內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度ωi=700 rad/s、轉(zhuǎn)速比rs=1.2時，圓盤1和圓盤3的時域波形、軌跡和頻譜如圖8～10所示，圖中，“○”、“*”分別表示圓盤中心某一時刻和后續(xù)某一時刻的位置，據(jù)此判斷轉(zhuǎn)子的渦動方向；軌跡圖中的數(shù)字表示一個運(yùn)動周期內(nèi)圓盤依次發(fā)生碰撞的順序；圖9、圖10中的虛線所處位置表示碰摩的初始間隙。由于內(nèi)外轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角速度較為接近，故從時域響應(yīng)中可觀察到拍振現(xiàn)象，這與文獻(xiàn)[13,27-28]中所得出的結(jié)論是一致的。

(a)內(nèi)轉(zhuǎn)子

(a)內(nèi)轉(zhuǎn)子(未碰摩)

(a)內(nèi)轉(zhuǎn)子

未碰摩時，內(nèi)外轉(zhuǎn)子均做正向渦動，運(yùn)動軌跡表現(xiàn)為相互交織的環(huán)，頻譜只包含內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻(fi=111.5 Hz)和外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻(fo=133.5 Hz)。碰摩時，內(nèi)轉(zhuǎn)子軌跡為“花瓣”狀，外轉(zhuǎn)子軌跡為相互交叉的橢圓；在一個運(yùn)動周期內(nèi)的6次碰摩過程中，內(nèi)轉(zhuǎn)子在過程3～6中做正向渦動，在過程1、2中做反向渦動，而外轉(zhuǎn)子始終處于反向渦動狀態(tài)。反向渦動下，轉(zhuǎn)子的軸向纖維承受交變應(yīng)力，長期工作在這種狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子很容易發(fā)生疲勞失效[29]。頻譜中出現(xiàn)17個等間距分布的頻率分量n(fo-fi) (n=1,2,…,17)，其中的第5、第6個分量分別表示內(nèi)外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)頻。等間距頻率分量的出現(xiàn)主要是由于轉(zhuǎn)子徑向載荷在碰摩過程中發(fā)生變化，產(chǎn)生的碰摩力激發(fā)較寬的頻帶，且在中介軸承的耦合作用下，外轉(zhuǎn)子除了受本身不平衡激勵外，還受內(nèi)轉(zhuǎn)子的不平衡激勵。這些復(fù)雜載荷的周期性激勵產(chǎn)生整數(shù)倍轉(zhuǎn)頻差頻率分量，進(jìn)而形成峰值等間距分布的頻譜。

為深入了解定點(diǎn)碰摩情形下轉(zhuǎn)靜碰摩部件相互作用時的動力學(xué)特性，進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)子發(fā)生反向渦動的原因，有必要研究整個碰摩過程。Lankarani-Nikravesh模型中，一個完整的碰摩過程可分為壓縮階段和分離階段[19]。圖9顯示出了一個運(yùn)動周期內(nèi)圓盤在6次碰摩過程中的壓縮階段和分離階段(分別用藍(lán)線和紅線表示)。可以看出，圓盤在各碰摩過程中的起始接觸角度和接觸深度是不同的。圖11給出了一個運(yùn)動周期內(nèi)圓盤在碰撞方向的法向沖擊力、接觸深度、接觸角度(未接觸時角度設(shè)為零)和沖擊速度的變化過程，碰摩特征參數(shù)列于表3。

如圖11所示，在接觸過程的壓縮階段，法向沖擊力隨接觸深度從零逐漸增大，且與接觸深度同時達(dá)到最大值，而沖擊速度一直減小，直到0，隨后進(jìn)入分離階段；在分離階段，接觸深度和法向沖擊力均從最大值減小為0，而沖擊速度從0一直增大。在接觸過程中參數(shù)的變化趨勢與Lankarani-Nikravesh模型中相應(yīng)參數(shù)的變化趨勢一致[19]，這說明了本文所建系統(tǒng)碰摩動力學(xué)模型的合理性。在Lankarani-Nikravesh模型中，材料的阻尼導(dǎo)致碰撞過程中的部分能量損失，沖擊速度在接觸開始時刻的值大于結(jié)束時刻的值。由圖11b發(fā)現(xiàn)，沖擊速度在接觸開始的值并不總是大于結(jié)束的值，這是因?yàn)榕瞿^程中，沖擊速度的大小不僅與圓盤的運(yùn)動速度和方向有關(guān)，還取決于接觸角度。碰摩過程4～6中，接觸角度隨時間的推移表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，說明圓盤中心從左向右運(yùn)動到最大接觸角位置后又向左運(yùn)動，轉(zhuǎn)子處于運(yùn)動方向急劇改變的位置區(qū)間。

(a)法向沖擊力和接觸深度

表3 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩特征參數(shù)

由圖11、表3可看出，在一個運(yùn)動周期內(nèi)的6次碰摩過程中，最大法向沖擊力達(dá)到105.0 N，對應(yīng)的摩擦力達(dá)到31.5 N(外轉(zhuǎn)子不平衡力幅值14.1 N的2.23倍)，故摩擦力取代不平衡力成為主導(dǎo)系統(tǒng)響應(yīng)的主要載荷。摩擦力的方向總是與外轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反，驅(qū)動外轉(zhuǎn)子沿摩擦力方向運(yùn)動，導(dǎo)致外轉(zhuǎn)子做反向渦動。在中介軸承的強(qiáng)烈動力耦合作用下，內(nèi)轉(zhuǎn)子處于間歇反向渦動狀態(tài)。此外，碰摩過程壓縮階段開始時刻的初始沖擊速度決定了表征碰摩特征的最大接觸深度和最大法向沖擊力。初始沖擊速度越高，圓盤在沖擊方向上減速為零時所需的接觸深度越大，導(dǎo)致法向沖擊力越大。接觸時長不僅與接觸深度有關(guān)，還取決于圓盤在碰摩過程中的軌跡弧長。

圖12為外轉(zhuǎn)子圓盤3豎直方向動態(tài)響應(yīng)的瀑布圖。0～350 Hz范圍內(nèi)的19個頻率分量可分為兩部分：一部分為內(nèi)外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻的組合頻率分量(mfi±nfo；m,n=1,2,…)(圖12中藍(lán)線箭頭標(biāo)注)，另一部分為分?jǐn)?shù)階形式的組合頻率分量 (mfi±nfo)/2(圖12中紅線箭頭標(biāo)注)。根據(jù)對不同轉(zhuǎn)速比下轉(zhuǎn)子動態(tài)響應(yīng)瀑布圖的分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)頻是其轉(zhuǎn)頻差的整數(shù)倍時，組合頻率分量mfi±nfo可表示為整數(shù)倍的轉(zhuǎn)頻差分量n(fo-fi)，分?jǐn)?shù)階形式的組合頻率分量 (mfi±nfo)/2可表示為分?jǐn)?shù)階形式的轉(zhuǎn)頻差分量n(fo-fi)/2，后者出現(xiàn)在系統(tǒng)的臨界角速度附近。轉(zhuǎn)速比rs=1.2時，各頻率分量對應(yīng)的轉(zhuǎn)頻差表達(dá)式見表4。轉(zhuǎn)頻差描述因碰摩故障產(chǎn)生的響應(yīng)頻率分量，可直觀地反映內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間通過中介軸承耦合作用表現(xiàn)出來的動力耦合現(xiàn)象，這是雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)與單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)的主要區(qū)別。

圖12 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)瀑布圖(KP=5,KD=5×10-4,KI=0)Fig.12 Waterfall plot of rub-impact response formagnetic suspended dual-rotor system(KP=5,KD=5×10-4,KI=0)

表4 轉(zhuǎn)速比rs=1.2下組合頻率分量的轉(zhuǎn)頻差形式

圖13為內(nèi)轉(zhuǎn)子圓盤1的分岔圖和ωi=700 rad/s時的Poincaré圖。未碰摩時，在圖13a中600～1000 rad/s范圍內(nèi)，內(nèi)轉(zhuǎn)子響應(yīng)始終表現(xiàn)為周期5的次同步振動，此時，圖13b中Poincaré圖出現(xiàn)5個散點(diǎn)。碰摩時，轉(zhuǎn)子在805～845 rad/s范圍內(nèi)表現(xiàn)為周期10振動，如圖13c所示，該范圍恰好在系統(tǒng)第一階臨界角速度828 rad/s附近，與圖12中分?jǐn)?shù)階組合頻率分量出現(xiàn)的范圍一致，因此高階次同步振動的出現(xiàn)意味著碰摩程度的加劇。系統(tǒng)在其他轉(zhuǎn)速處表現(xiàn)為周期5振動，如圖13d所示，圖中出現(xiàn)5個散點(diǎn)。

(a)未碰摩的分岔圖 (b)未碰摩的Poincaré圖 (c)碰摩的分岔圖(d)碰摩的Poincaré圖圖13 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖與Poincaré圖(KP=5,KD=5×10-4,KI=0)Fig.13 Bifurcation diagrams and Poincaré maps of magnetic suspended dual-rotor system(KP=5,KD=5×10-4,KI=0)

3.2 控制參數(shù)的影響

軸承的支承特性通常對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)有很大影響[30]。下面簡要分析在PID控制下，系統(tǒng)的碰摩特性隨AMB控制參數(shù)的變化規(guī)律。

由式(1)可知，比例系數(shù)可控制AMB的等效剛度，而等效剛度對系統(tǒng)的臨界角速度有很大影響。在KP∈{3，5}、KD= 5×10-4、KI=0、rs=1.2、其他參數(shù)與表2相同的情況下，系統(tǒng)前兩階臨界角速度如表5所示。KP=3、其他參數(shù)與3.1節(jié)示例相同時，系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)和接觸過程分別如圖14～17所示，角速度對轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響見圖18、圖19。由表5可知，內(nèi)轉(zhuǎn)子角速度ωi=700 rad/s與系統(tǒng)的第一階阻尼臨界角速度非常接近。對比圖10中KP=5時的碰摩響應(yīng)，圖16的頻譜中不僅出現(xiàn)整數(shù)倍轉(zhuǎn)頻差頻率分量n(fo-fi) (n=1,2,…,17)，還含有分?jǐn)?shù)階形式的轉(zhuǎn)頻差頻率分量n(fo-fi)/2 (n=1,3,5,…,35)，且整數(shù)倍轉(zhuǎn)頻差分量的幅值大于相鄰分?jǐn)?shù)階轉(zhuǎn)頻差分量的幅值；最大法向沖擊力由圖11a的105.0 N增大到圖17a的138.6 N；分?jǐn)?shù)階頻率分量從圖12中的6個增加至圖18中的8個；頻率分量出現(xiàn)的角速度范圍更寬，幅值增大，碰摩更為嚴(yán)重。這是因?yàn)檗D(zhuǎn)子的運(yùn)行角速度接近系統(tǒng)臨界角速度時，系統(tǒng)振幅較大，振動劇烈，導(dǎo)致圓盤發(fā)生碰摩時的沖擊速度較高、摩擦力較大，轉(zhuǎn)子將發(fā)生后向渦動，且頻譜中的頻率成分更為復(fù)雜，碰摩更為嚴(yán)重。因此，在強(qiáng)烈的碰摩激勵下，圖19a中臨界角速度附近670～700 rad/s范圍內(nèi)發(fā)生高階次同步周期10振動，此時，圖19b中出現(xiàn)10個散點(diǎn)，而在其他范圍內(nèi)表現(xiàn)為周期5振動?？梢姡壤禂?shù)對磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)有重大影響。對PID控制的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，可通過改變比例系數(shù)的方法使系統(tǒng)的工作角速度遠(yuǎn)離臨界角速度，從而避免發(fā)生嚴(yán)重的碰摩響應(yīng)。

表5 磁懸浮磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前兩階臨界角速度

圖14 碰摩響應(yīng)的時域波形圖(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)Fig.14 Oscillogram of time domain for ru bbingresponses(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)

(a)內(nèi)轉(zhuǎn)子

圖16 碰摩響應(yīng)的頻譜圖(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)Fig.16 Spectrogram of ru bbing responses(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)

(a)法向沖擊力和接觸深度

圖18 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)瀑布圖(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)Fig.18 Waterfall plot of rub-impact response formagnetic suspended dual-rotor system(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)

(a)分岔圖 (b)Poincaré圖圖19 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖與Poincaré圖(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)Fig.19 Bifurcation diagrams and Poincaré maps ofmagnetic suspended dual-rotor system(KP=3,KD=5×10-4,KI=0)

根據(jù)式(1)，微分系數(shù)可改變AMB的等效阻尼。在KD=3×10-3、其他參數(shù)與3.1節(jié)示例相同的情況下，系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)及接觸過程如圖20～23所示，角速度對轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響見圖24、圖25。對比3.1節(jié)中KD=5×10-4時的碰摩響應(yīng)，一個運(yùn)動周期內(nèi)的碰摩從圖9d中的6次減少到圖21b中的2次；最大法向沖擊力從圖11a的105.0 N減小到圖23a中的7.0 N；圖24中僅出現(xiàn)整數(shù)倍的轉(zhuǎn)頻差分量，幅值大幅減小，碰摩程度減弱。因此，在圖25a的600～1000 rad/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子始終做周期5振動。微分系數(shù)較小時，AMB提供的等效阻尼較小，抑制系統(tǒng)振動的能力有限，振幅較大，轉(zhuǎn)子的渦動軌跡較為復(fù)雜，內(nèi)外轉(zhuǎn)子均處于反向渦動的狀態(tài)，頻譜中除整數(shù)倍轉(zhuǎn)頻差頻率分量和分?jǐn)?shù)階轉(zhuǎn)頻差頻率分量外，可能還出現(xiàn)其他雜亂頻率成分。微分系數(shù)較大時，等效阻尼較大，一個運(yùn)動周期內(nèi)圓盤的碰摩明顯減少，碰摩過程中的最大接觸深度和法向沖擊力顯著減小，內(nèi)外轉(zhuǎn)子均做正向渦動，頻譜中僅出現(xiàn)整數(shù)倍轉(zhuǎn)頻的差頻率分量?？梢姡x取較大的微分系數(shù)有助于減小振動、克服振蕩，降低碰摩的嚴(yán)重程度。通過AMB控制系統(tǒng)為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)引入適量可控阻尼以實(shí)現(xiàn)減振增穩(wěn)，這是磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)優(yōu)于傳統(tǒng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)之處。

圖20 碰摩響應(yīng)的時域波形圖(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)Fig.20 Oscillogram of time domain for ru bbingresponses(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)

(a)內(nèi)轉(zhuǎn)子

圖22 碰摩響應(yīng)的頻譜圖(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)Fig.22 Spectrogram of rubbing responses(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)

PID控制通常先選取合適的比例系數(shù)和微分系數(shù)以保證系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)膭偠群妥枘?，再以減小穩(wěn)態(tài)誤差、提高系統(tǒng)控制精度為目的來選取適當(dāng)?shù)姆e分系數(shù)。在實(shí)際的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，過大的積分系數(shù)會使系統(tǒng)在低頻段的頻率特性產(chǎn)生滯后，在高頻段的進(jìn)動模態(tài)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象[24]。因此，本節(jié)主要分析較小積分系數(shù)對系統(tǒng)碰摩特性的影響。在KI=180、其他參數(shù)與3.1節(jié)示例相同的情況下，系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)及接觸過程如圖26～29所示，角速度對轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響見圖30、圖31。相比于3.1節(jié)中KI=0時的碰摩響應(yīng)，內(nèi)轉(zhuǎn)子的渦動軌跡從圖9c的“花瓣”狀漸變?yōu)閳D27a的“蝴蝶”狀，在一個運(yùn)動周期內(nèi)，外轉(zhuǎn)子始終處于反向渦動狀態(tài)，內(nèi)轉(zhuǎn)子做反向渦動的次數(shù)從2增加到5；圖29中的接觸深度和法向沖擊力逐漸增大；圖30中，內(nèi)轉(zhuǎn)子在角速度ωi=600 rad/s附近出現(xiàn)頻譜連續(xù)現(xiàn)象，轉(zhuǎn)子振幅急劇增大，系統(tǒng)運(yùn)動開始變得不穩(wěn)定；圖31a中，除了基本的周期5振動外，還在小范圍內(nèi)出現(xiàn)了周期10振動和混沌振動。ωi=700 rad/s時，圖31b中出現(xiàn)5個散點(diǎn)，轉(zhuǎn)子仍做周期5振動。隨著積分系數(shù)的增大，在角速度不變的情況下，AMB的等效阻尼逐漸減小，在一個運(yùn)動周期內(nèi)，轉(zhuǎn)子做反向渦動的次數(shù)增加，各接觸過程中的接觸深度和法向沖擊力逐漸增大，轉(zhuǎn)子的頻譜成分和非線性運(yùn)動更加復(fù)雜?？梢?，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度的情況下，應(yīng)選擇較小的積分系數(shù)。

(a)法向沖擊力和接觸深度

圖24 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)瀑布圖(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)Fig.24 Waterfall plot of rub-impact response of themagnetic suspended dual-rotor system(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)

(a)分岔圖 (b)Poincaré圖圖25 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖與Poincaré圖(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)Fig.25 Bifurcation diagrams and Poincaré maps ofmagnetic suspended dual-rotor system(KP=5,KD=3×10-3,KI=0)

圖26 碰摩響應(yīng)的時域波形圖(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)Fig.26 Oscillogram of time domain for rubbingresponses(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)

(a)內(nèi)轉(zhuǎn)子

圖28 碰摩響應(yīng)的頻譜圖(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)Fig.28 Spectrogram of rubbing responsesresponses(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)

(a)法向沖擊力和接觸深度

圖30 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)瀑布圖(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)Fig.30 Waterfall plot of rub-impact response of themagnetic suspended dual-rotor system(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)

(a)分岔圖 (b)Poincaré圖圖31 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖與Poincaré圖(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)Fig.31 Bifurcation diagrams and Poincaré maps ofmagnetic suspended dual-rotor system(KP=5,KD=5×10-4,KI=180)

4 結(jié)論

(1)將不同轉(zhuǎn)速下的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)定點(diǎn)碰摩故障下的動力學(xué)模型有效性。

(2)由于中介軸承的動力耦合作用，碰摩較弱時，內(nèi)外轉(zhuǎn)子正向渦動，頻譜中出現(xiàn)整數(shù)倍的轉(zhuǎn)頻差頻率分量n(fo-fi)，其中，n=1,2,…；碰摩嚴(yán)重時，內(nèi)外轉(zhuǎn)子處于反向渦動狀態(tài)，渦動軌跡復(fù)雜；隨著碰摩的進(jìn)一步加劇，臨界轉(zhuǎn)速附近的頻譜不僅含有整數(shù)倍轉(zhuǎn)頻差頻率分量，還出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階轉(zhuǎn)頻差頻率分量n(fo-fi)/2, 其中，n=1,3,5,…。

(3)在碰摩過程的壓縮階段，轉(zhuǎn)靜部件之間的接觸深度和法向沖擊力從零增加到最大值；在分離階段，接觸深度和法向沖擊力從最大值減小為零。最大接觸深度和最大法向沖擊力取決于初始沖擊速度。

(4)比例系數(shù)和微分系數(shù)對磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的定點(diǎn)碰摩響應(yīng)有顯著影響，通過選擇使系統(tǒng)運(yùn)行角速度遠(yuǎn)離臨界角速度的比例系數(shù)或較大的微分系數(shù)可顯著降系統(tǒng)碰摩的嚴(yán)重程度。積分系數(shù)對系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)有一定影響，在滿足穩(wěn)態(tài)控制精度下應(yīng)選擇較小的積分系數(shù)。