吳 劍，歐 屹，王 凱

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

單螺母滾珠絲杠副通過控制螺母導(dǎo)程大小控制滾珠絲杠副預(yù)緊力大小，具有傳動效率高、定位精度好、反向間隙小等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，被廣泛應(yīng)用于機(jī)床行業(yè)，但由于加工誤差不可避免，滾珠絲杠、滾珠螺母總是存在型面誤差，型面誤差將直接影響滾珠絲杠副的使用性能。摩擦力矩作為滾珠絲杠副最重要的性能之一[3]，其優(yōu)劣直接決定滾珠絲杠副的使用情況。在滾珠絲杠副磨損導(dǎo)致摩擦力矩衰退后，常采用更換滾珠的方式調(diào)整預(yù)緊力，從而調(diào)整摩擦力矩。因此，研究型面參數(shù)以及滾珠大小對滾珠絲杠副摩擦力矩的影響具有重要意義。

近年來，多通過預(yù)緊力計(jì)算摩擦力矩。程光仁[4]提出了目前國內(nèi)通用的滾珠絲杠副預(yù)緊力與空載扭矩(即DIN ISO 3408-3中的規(guī)定方法測得的摩擦力矩)的經(jīng)驗(yàn)公式，該公式?jīng)]有考慮接觸角和摩擦系數(shù)對摩擦力矩的影響，也沒有說明測量條件。胡建忠等[5]通過坐標(biāo)變換計(jì)算雙螺母滾珠絲杠副軸向預(yù)緊力，但計(jì)算中并未考慮誤差因素；崔高尚等[6]分析了雙螺母滾珠絲杠副預(yù)緊力與墊片預(yù)緊量的關(guān)系，但并未說明預(yù)緊量的計(jì)算方法；Zhou C G等[7]基于經(jīng)驗(yàn)公式提出新的摩擦力矩計(jì)算模型，但理論模型假設(shè)各滾珠載荷、接觸角均勻分布會造成偏差。陳斌斌等[8]通過考慮到滾珠絲杠副的接觸角、螺旋角、有效承載滾珠個(gè)數(shù)、滾珠直徑和滾道的型面參數(shù)等因素，建立了基于滾珠過盈量的滾珠絲杠副預(yù)緊力計(jì)算模型，但其型面參數(shù)只是理論的型面參數(shù)，未測量出滾珠絲杠和滾珠螺母實(shí)際的型面參數(shù)。以上對摩擦力矩的研究均未考慮絲杠、螺母型面誤差的影響。

本文在前人對滾珠絲杠摩擦力矩研究的基礎(chǔ)上，通過絲杠螺母型面檢測裝置檢測出精確的型面參數(shù)，從而計(jì)算出滾珠的精確變形，根據(jù)赫茲接觸理論和預(yù)緊力與摩擦力矩的關(guān)系建立滾珠絲杠副摩擦力矩計(jì)算模型，并通過滾珠絲杠副摩擦力矩計(jì)算公式，計(jì)算出對摩擦力矩失效的滾珠絲杠所需要的滾珠大小，對其摩擦力矩進(jìn)行恢復(fù)。

1 接觸變形分析

1.1 滾珠接觸狀態(tài)

滾珠絲杠副在預(yù)緊力或工作載荷的作用下，滾珠與絲杠滾道面之間、滾珠與螺母滾道面之間會產(chǎn)生一定的彈性接觸變形量[9]，單螺母滾珠絲杠副在不受外部載荷作用的情況下，滾珠與滾道的法向截面接觸如圖1所示。以螺母變導(dǎo)程中心點(diǎn)將螺母分為左右兩個(gè)半?yún)^(qū)，滾珠在螺母左半?yún)^(qū)和右半?yún)^(qū)的接觸點(diǎn)位置剛好相反。在螺母和絲杠螺距相等的情況下，絲杠滾道理論滾珠圓心Os與螺母滾道理論滾珠圓心On應(yīng)在同一徑向上，由于螺母變導(dǎo)程螺距大于pnh絲杠螺距Psh，螺母滾道偏移位移量σα，又因?yàn)榻z杠中徑與螺母中徑不等會產(chǎn)生偏移量σh，絲杠、螺母滾道擠壓滾珠產(chǎn)生預(yù)緊力。在預(yù)緊力作用下，其產(chǎn)生的變形為彈性變形，可采用赫茲理論對其接觸變形進(jìn)行分析[10]。

則法向平面內(nèi)單螺母滾珠絲杠副中螺母相對于絲杠有一偏移量ΔS為：

ΔS=Pnh-Psh

(1)

則左半?yún)^(qū)絲杠滾道理論滾珠圓心與螺母滾道理論滾珠圓心的偏移量為：

(2)

其中，σα為絲杠滾道理論滾珠圓心與螺母滾道理論滾珠圓心的法向平面的軸向偏移量，σh為絲杠滾道理論滾珠圓心與螺母滾道理論滾珠圓心的法向平面的徑向偏移量,ds0為絲杠中徑，dn0為螺母中徑。

圖1 單螺母滾珠絲杠滾珠接觸狀態(tài)

1.2 滾珠法向變形

由于螺母左右半?yún)^(qū)，滾珠變形原理相同，對左半?yún)^(qū)滾珠變形進(jìn)行分析，滾珠法向變形如圖2所示，rsL為絲杠左圓弧曲率半徑，rnR為螺母右圓弧曲率半徑，OsL為絲杠左圓弧圓心，OnR為螺母右圓弧圓心，esL為絲杠左圓弧軸向偏心距，hsL為絲杠左圓弧徑向偏心距，enR為螺母右滾道軸向偏心距，hnR為螺母右圓弧徑向偏心距，Ods為絲杠滾道理論滾珠圓心，Odn為螺母滾道理論滾珠圓心，O為滾珠受擠壓后滾珠圓心，Δx為絲杠法向滾道理論滾珠圓心與螺母法向滾道理論滾珠圓心的軸向偏差，Δy為絲杠中徑與螺母中徑差。

圖2 滾珠法向截面接觸變形簡圖

根據(jù)幾何關(guān)系，此時(shí)滾珠的法向變形量與接觸角為：

(3)

其中，α為接觸角，δ為滾珠法向變形量。

1.3 赫茲接觸理論

根據(jù)赫茲接觸理論，彈性體接觸時(shí)彈性變形量為：

(4)

式中，K(e)為第一類完全橢圓積分，ma為與橢圓偏心率有關(guān)的系數(shù)，μ1、μ2為泊松比，E1、E2為材料彈性模量，P為法向載荷，∑ρ為接觸點(diǎn)主曲率和。

根據(jù)赫茲接觸理論，接觸點(diǎn)處的主曲率和為：

∑ρ=ρ11+ρ12+ρ21+ρ22

(5)

主曲率函數(shù)為：

(6)

滾珠絲杠副中滾珠與絲杠和螺母滾道面接觸點(diǎn)的曲率如表1所示。

表1 滾珠與滾道面接觸點(diǎn)的曲率

表1中，Rb為滾珠直徑，frs為絲杠左圓弧滾道半徑與滾珠半徑之比，frn為螺母右圓弧滾道半徑與滾珠半徑之比，ds0為絲杠中徑，dn0為螺母中徑，α為接觸角。

將絲杠和螺母滾道面接觸點(diǎn)的曲率帶入式(2)、式 (3)可得滾珠與絲杠滾道接觸處的彈性變形量δS為：

(7)

式中，Ks(e)為絲杠圓弧的第一類完全橢圓積分，mas為與橢圓偏心率有關(guān)的系數(shù)，μ1、μ2為泊松比，E1、E2為材料彈性模量，P為法向載荷，∑ρs為滾珠與絲杠接觸點(diǎn)處主曲率和。

滾珠與絲杠滾道接觸處的彈性變形量δN為：

(8)

式中，Kn(e)為絲杠圓弧的第一類完全橢圓積分，mas為與橢圓偏心率有關(guān)的系數(shù)μ1、μ2為泊松比，E1、E2為材料彈性模量，P為法向載荷，∑ρs為滾珠與絲杠接觸點(diǎn)處主曲率和。

2 摩擦力矩計(jì)算模型

2.1 預(yù)緊力計(jì)算模型

如圖3所示為滾珠與絲杠接觸點(diǎn)受力分解圖，F(xiàn)n為合力，F(xiàn)a為軸向力分量，F(xiàn)r為徑向力分量，F(xiàn)t為圓周力分量。

(9)

其中，λ為絲杠螺旋升角。

圖3 滾珠與絲杠接觸點(diǎn)受力分解圖

滾珠法向的總變形量δ為：

δ=δS+δN

(10)

將式(9)、式(10)帶入式(7)、式(8)可得預(yù)緊力Fp與變形量δ的關(guān)系為：

(11)

其中，n為滾珠絲杠副有效承載滾珠個(gè)數(shù)。

2.2 摩擦力矩計(jì)算模型

Zhou C G提出了預(yù)緊滾珠絲杠副預(yù)緊力與空載扭矩(即DIN ISO 3408-3 中的規(guī)定方法測得的摩擦力矩)的關(guān)系[7]，滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩的關(guān)系如式(12)所示。其中，Mf為摩擦力矩，μ為摩擦系數(shù)，rm為絲杠軸的半徑，rb為滾珠半徑。將式(1)～式(3)、式(5)、式(10)、式(11)帶入式(12)可以得到基于滾道型面參數(shù)的滾珠絲杠副的摩擦力矩：

(12)

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 摩擦力矩計(jì)算模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證摩擦力矩理論模型的準(zhǔn)確性，通過測量絲杠、螺母準(zhǔn)確的型面參數(shù)并更換不同直徑滾珠重新裝配后測量滾珠絲杠副摩擦力矩。

如圖4所示為滾珠絲杠型面檢測試驗(yàn)臺，該試驗(yàn)臺由電機(jī)、位移平臺、直線光柵尺、光幕式傳感器等組成。安裝好待測絲杠后，通過轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)絲杠螺旋升角，通過電機(jī)帶動位移平臺從而帶動光幕式傳感器，測量出絲杠母線的法向輪廓的坐標(biāo)，通過軟件計(jì)算得到滾珠絲杠的型面參數(shù)。

圖4 滾珠絲杠型面檢測試驗(yàn)臺

如圖5所示為滾珠螺母型面檢測試驗(yàn)臺，該試驗(yàn)臺由水平電機(jī)、豎直電機(jī)、水平位移平臺、豎直位移平臺、直線光柵尺、激光位移傳感器、三坐標(biāo)位移平臺、V型塊等組成。將待測螺母放在V型塊上，通過三坐標(biāo)位移平臺，將螺母旋轉(zhuǎn)一個(gè)螺旋升角，通過豎直電機(jī)和水平電機(jī)將激光位移傳感器測量頭調(diào)整到合適的位置，通過水平電機(jī)帶動測量頭測量螺母內(nèi)滾道，測量出螺母母線的法向輪廓的數(shù)據(jù)，通過軟件計(jì)算得到滾珠螺母的型面參數(shù)。

圖5 滾珠螺母型面檢測試驗(yàn)臺

如圖6所示為滾珠絲杠副摩擦力矩試驗(yàn)臺，該試驗(yàn)臺由伺服電機(jī)、工作臺、一對滾動直線導(dǎo)軌和力傳感器組成。伺服電機(jī)驅(qū)動絲杠旋轉(zhuǎn)，工作臺由滾動直線導(dǎo)軌支撐，可沿軸向移動，工作臺裝有可與絲杠滾道嚙合的支撐座，使絲杠在無附加力的條件下帶動工作臺軸向移動。滾珠絲杠副螺母法蘭裝有螺栓，伸出法蘭端面的螺栓與力傳感器接觸，通過軟件計(jì)算得到滾珠絲杠副的摩擦力矩。

圖6 滾珠絲杠副摩擦力矩試驗(yàn)臺

選用THK生產(chǎn)的單螺母變導(dǎo)程預(yù)緊滾珠絲杠副，型號為BIF4010-7，1級精度。滾珠絲杠副中，有效承載的滾珠個(gè)數(shù)約為60個(gè)。

利用絲杠型面檢測試驗(yàn)臺和螺母型面檢測試驗(yàn)臺對樣件進(jìn)行檢測，測得螺母左半?yún)^(qū)右圓弧的型面參數(shù)為：rnR為3.489 mm，enR為0.201 2 mm，hnR為0.236 6 mm，變導(dǎo)程螺距為10.030 5 mm，dn0為41.783 mm。測得絲杠左圓弧型面參數(shù)平均值為：rsL為3.504 9 mm，esL為0.229 7 mm，hsL為0.241 1 mm，平均螺距為10.018 mm，ds0為41.785 mm。

標(biāo)準(zhǔn)大小的鋼球?yàn)?.35 mm，更換不同直徑的鋼球來改變滾珠絲杠副的摩擦力矩，通過滾珠絲杠副摩擦力矩試驗(yàn)臺測量出不同直徑滾珠滾珠絲杠副摩擦力矩。由于絲杠和螺母型面參數(shù)變化不大所以用型面參數(shù)平均值來計(jì)算摩擦力矩，所以將平均型面參數(shù)帶入式(13)得到理論的平均摩擦力矩。實(shí)驗(yàn)測得摩擦力矩與理論測得摩擦力矩如表2所示。

表2 理論摩擦力矩與實(shí)際摩擦力矩比較

將理論摩擦力矩與實(shí)際摩擦力矩進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7所示。

圖7 摩擦力對比分析

根據(jù)表3中的分析和圖7中曲線的對比，可以看出在不受外部載荷情況下，理論摩擦力矩與實(shí)際測得的摩擦力矩基本重合，理論摩擦力矩與實(shí)際摩擦力矩的相對誤差在5.96%之內(nèi)，理論模型與實(shí)際預(yù)緊力的一致性較好。

3.2 基于型面參數(shù)的滾珠絲杠副快速裝配

滾珠絲杠副使用一段時(shí)間后由于滾道型面磨損導(dǎo)致摩擦力矩衰退，通常選擇增加滾珠直徑來恢復(fù)摩擦力矩。為了更加高效的選擇滾珠大小，可以先用絲杠、螺母型面檢測裝置，檢測出磨損后絲杠、螺母的型面參數(shù)，再通過公式算出所需摩擦力矩大小情況下最適合的滾珠大小，從而實(shí)現(xiàn)更加高效的裝配。

為了驗(yàn)證取了一個(gè)摩擦力矩減小的滾珠絲杠副，先檢測它的型面參數(shù)，測得螺母左半?yún)^(qū)右圓弧的型面參數(shù)為：rnR為3.498 4 mm，enR為0.209 3 mm，hnR為0.240 1 mm，變導(dǎo)程螺距為10.029 5 mm，dn0為41.773 mm。測得絲杠左圓弧型面參數(shù)平均值：rsL為3.511 8 mm，esL為0.230 5 mm，hsL為0.247 3 mm，平均螺距為10.017 1 mm，ds0為41.771 mm。未減小前測得其摩擦力矩為1.177 9 Nm。原有滾珠大小是6.35 mm。通過公式(13)計(jì)算出在滾珠過盈量為3.3 μm時(shí)理論摩擦力矩為1.254 5 Nm。將摩擦力矩減少的滾珠絲杠換上過盈量為3.3 μm的滾珠，通過滾珠絲杠副摩擦力矩試驗(yàn)臺測得其摩擦力矩為1.214 5 Nm，與未磨損前摩擦力矩差1.38%，滿足要求。大大減少了裝配工人試錯(cuò)的時(shí)間，提升了裝配效率。

4 結(jié)論

基于絲杠螺母型面檢測試驗(yàn)臺，測量出絲杠螺母精確的型面參數(shù)，并通過對滾珠絲杠副接觸變形分析和滾珠受力平衡分析，建立了單螺母滾珠絲杠副摩擦力矩計(jì)算模型。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較可知，理論摩擦力矩與實(shí)際摩擦力矩，相對誤差在5.96 %之內(nèi)。該理論可應(yīng)用于摩擦力矩衰退的滾珠絲杠副快速恢復(fù)，準(zhǔn)確性較高，且與人工反復(fù)適配目標(biāo)預(yù)緊摩擦力矩相比，提高了工作效率。