劉 潔

（仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 經(jīng)貿(mào)學(xué)院，廣州 510220）

0 引言

時(shí)間序列是將某個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值按照時(shí)間先后的順序排列而成的序列，即同一個(gè)體在不同時(shí)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)、金融領(lǐng)域中有很多問(wèn)題，如股票價(jià)格、石油價(jià)格、利率變動(dòng)或匯率變動(dòng)都是時(shí)間序列。而股票價(jià)格雖影響因素眾多，變幻莫測(cè)，表面看上去毫無(wú)規(guī)律，但利用時(shí)間序列的分析也可找出一些變化規(guī)律，不管是對(duì)需要及時(shí)了解價(jià)格波動(dòng)的投資者，還是需要把握市場(chǎng)動(dòng)態(tài)、維護(hù)穩(wěn)定交易環(huán)境的市場(chǎng)管理者來(lái)說(shuō)都意義重大。ARMA 模型在處理平穩(wěn)時(shí)間序列的問(wèn)題上有較好的擬合效果，是處理時(shí)間序列非常有效的工具。將ARMA 模型應(yīng)用在股票價(jià)格的擬合和應(yīng)用方面，可以讓我們更好地了解股市波動(dòng)特點(diǎn)，總結(jié)相關(guān)規(guī)律，不管是對(duì)理論還是實(shí)踐都有重要的指導(dǎo)意義。

本文將根據(jù)格力電器股票價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)，利用ARMA理論建立模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而推斷格力電器股價(jià)未來(lái)變化趨勢(shì)。

1 ARMA 模型介紹和建模步驟

1.1 模型介紹

ARMA 是自回歸移動(dòng)平均過(guò)程（Auto Regressive Moving Average）的縮寫(xiě)，由G.E.P.Box 和G.M.Jenkins 在1970 年出版的《Time Series Analysis Forecasting and Control》中提出，ARMA就是由自回歸和移動(dòng)平均兩部分共同構(gòu)成的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，通常記為ARMA（p，q），數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，｛et｝是白噪聲序列，其中p、q 分別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的滯后階數(shù)。當(dāng)p 等于0 時(shí)，ARMA（p，q）模型退化成AR（p）模型；當(dāng)q 等于0 時(shí)，ARMA（p，q）模型退化成MA（q）模型。

需要注意的是，ARMA 模型僅可對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行分析，如果某時(shí)間序列非平穩(wěn)，則需要進(jìn)行預(yù)處理，生成一個(gè)新的平穩(wěn)時(shí)間序列后才能應(yīng)用。在實(shí)踐中，通常采用對(duì)數(shù)差分或差分的方式進(jìn)行預(yù)處理，而經(jīng)過(guò)d 次差分后平穩(wěn)的序列，可以寫(xiě)成ARIMA（p，d，q）的形式，d 的取值通常不會(huì)超過(guò)2。

1.2 滯后階數(shù)p、q 的確定方法

滯后階數(shù)p、q 的確定可以通過(guò)自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來(lái)確定。若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則該序列可建立AR（p）模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則該序列可建立MA（q）模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則可建立ARMA（p，q）模型。此外，還需要利用AIC 信息準(zhǔn)則和SC 信息準(zhǔn)則來(lái)判斷，p、q 的選取若能使AIC 和SC 取值最小，即為最佳的階數(shù)。

1.3 建模步驟

第一步，判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，可以通過(guò)建立該組序列的時(shí)序圖，或用統(tǒng)計(jì)軟件Eviews10 生成自相關(guān)和偏自相關(guān)圖來(lái)判斷。第二步，如果該序列平穩(wěn)，便可以建立ARMA（p，q）模型；若該序列不平穩(wěn)，則需要進(jìn)行預(yù)處理，將其轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列，而通常轉(zhuǎn)化的方法是進(jìn)行差分或?qū)?shù)差分。第三步，利用Eviews10 生成新序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，預(yù)估p，q 的階數(shù)。第四步，估計(jì)參數(shù)并進(jìn)行檢驗(yàn)，選出符合AIC 和SC 信息準(zhǔn)則最小化的模型。第五步，對(duì)生成的殘差序列實(shí)施白噪聲檢驗(yàn)。最后，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合結(jié)果，對(duì)序列進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選擇和來(lái)源

本文選取格力電器（000651）2018 年12 月3 日至2019 年11 月29 日的股票收盤(pán)價(jià)格，共240 個(gè)數(shù)據(jù)建立模型，最后對(duì)2019 年11 月29 日數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與真實(shí)交易價(jià)格對(duì)比，由此來(lái)檢測(cè)本模型預(yù)測(cè)的效果和準(zhǔn)確性。

2.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化檢驗(yàn)與處理

將格力電器原始收盤(pán)價(jià)（記為X）導(dǎo)入Eviews10 得到圖1，該組數(shù)據(jù)（2018 年12 月3 日至2019 年11 月29 日）不是一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，雖有波動(dòng)，但總體是一個(gè)向上的趨勢(shì)。為了驗(yàn)證原收盤(pán)價(jià)格非平穩(wěn)，需要對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF 單位根檢驗(yàn)。由圖2 的檢驗(yàn)結(jié)果可知，P 值為0.320 7 不具有顯著性，T統(tǒng)計(jì)量也大于10%的臨界值，因此存在一個(gè)單位根，該組數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)時(shí)間序列。此外，還可以對(duì)原序列做出自相關(guān)－偏自相關(guān)圖，由圖4 可以發(fā)現(xiàn)原序列相關(guān)系數(shù)減弱很慢，也可以說(shuō)明該組數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)時(shí)間序列。

圖1 格力電器（000651）股價(jià)時(shí)序圖

圖2 股價(jià)原序列X 的ADF 單位根檢驗(yàn)

圖3 對(duì)數(shù)差分序列DX 的ADF 單位根檢驗(yàn)

圖4 原序列X 的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

由于原序列非平穩(wěn)，如需建立ARMA 模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，則必須消除這種不平穩(wěn)特征，因此嘗試在原序列基礎(chǔ)上進(jìn)行差分。對(duì)于股票價(jià)格來(lái)說(shuō)我們更應(yīng)該關(guān)心收益率，因此我們先對(duì)原始收盤(pán)價(jià)格取對(duì)數(shù)，再求差分。在此首先利用Excel 求得對(duì)數(shù)差分后的新序列（記為DX），并將其導(dǎo)入Eviews 10，做出時(shí)序圖（如圖5 所示）。由圖5 可知，一階差分后序列看起來(lái)更加平穩(wěn)，除了個(gè)別時(shí)刻波動(dòng)較大，整體圍繞0 值上下波動(dòng)，可以大致判斷經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)差分后的序列為平穩(wěn)時(shí)間序列。但是僅僅從圖形得出結(jié)論是不準(zhǔn)確的，為了驗(yàn)證這一結(jié)論，需要對(duì)新序列進(jìn)行ADF 單位根檢驗(yàn)，得到結(jié)果如圖3。由圖3 可以看出，P 值小于0.05 具有顯著性，且T 統(tǒng)計(jì)量為－7.607 414，均小于1%、5%和10%的臨界值，因此可以拒絕原假設(shè)，新序列不存在單位根，新序列是一組平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以在此基礎(chǔ)上建立模型。

圖5 對(duì)數(shù)差分后新序列DX 時(shí)序圖

2.3 模型識(shí)別與估計(jì)

根據(jù)ARMA 的識(shí)別準(zhǔn)則，若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則該序列可建立AR 模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則該序列可建立MA 模型；若某平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則可建立ARMA 模型。作為時(shí)間序列分析的始祖，Box，Jenkins and Reinsel 認(rèn)為，對(duì)于大多數(shù)情況，p≤2與q≤2 就足夠了。為了保險(xiǎn)起見(jiàn)，可以讓p 與q 更大些，但具體如何確定p 和q，需要根據(jù)信息法則來(lái)判斷。

因此運(yùn)用Eviews10 可得，格力電器股票價(jià)格經(jīng)過(guò)一階差分后的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖。由圖6 可見(jiàn)，序列DX的ACF 和PACF 都是拖尾，又因一階差分，因此可以建立ARIMA（p，1，q）模型，而模型的滯后階數(shù)p、q 則要根據(jù)p 值、AIC 準(zhǔn)則和SC 準(zhǔn)則加以確定。

圖6 對(duì)數(shù)差分后序列DX 的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

根據(jù)對(duì)數(shù)差分后序列DX 的自相關(guān)－偏自相關(guān)圖，本文嘗試了ARIMA（1，1，1），ARIMA（1，1，2），ARIMA（2，1，1），ARIMA（2，1，2）四種模型，并根據(jù)AIC 準(zhǔn)則和SC 準(zhǔn)則最小的原則，建立ARIMA（2，1，1）模型。從圖7 可以看出，ARIMA（2，1，1）模型p 值小于0.05，系數(shù)的顯著性符合要求，并且AIC 和SC 均為最小。更進(jìn)一步我們可以加大滯后階數(shù)對(duì)模型進(jìn)行過(guò)度擬合，發(fā)現(xiàn)效果仍然沒(méi)有很大改善，因此可以確定ARIMA（2，1，1）就是合適的模型。最后，該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)為：

圖7 ARIMA（2，1，1）模型輸出結(jié)果

式中，et為殘差序列。

2.4 模型的診斷與檢驗(yàn)

在經(jīng)過(guò)參數(shù)估計(jì)后，還需要對(duì)殘差進(jìn)行白噪聲檢測(cè)以確認(rèn)建立的ARIMA 模型是否合適。因此對(duì)Eviews10 中對(duì)殘差進(jìn)行時(shí)序圖分析和Ljung－Box 檢驗(yàn)（即Q 統(tǒng)計(jì)量檢測(cè)），得到結(jié)果如圖8 和圖9。圖8 顯示殘差基本在0 值上下波動(dòng)，殘差是一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列。圖9 的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖顯示，兩個(gè)系數(shù)都在兩條虛線內(nèi)，且p 值大于0.05，說(shuō)明Q 統(tǒng)計(jì)量小于檢測(cè)水平為0.05 的卡方分布臨界值，即已經(jīng)建立的模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲序列，因此該模型是合理的。此外我們還可以通過(guò)檢驗(yàn)殘差的正態(tài)性來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如果模型正確，則分位數(shù)－分位數(shù)圖應(yīng)該有一條直線穿過(guò)眾多的點(diǎn)，而從圖10 中也可以看到，除了少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)偏離直線較多，其余點(diǎn)都分布在直線附近，從而驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

圖8 殘差時(shí)序圖

圖9 殘差自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

圖10 序列分位數(shù)-分位數(shù)圖

2.5 對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)

由于已經(jīng)建立好的ARIMA（2，1，1）模型通過(guò)了白噪聲檢測(cè)，因而其可以對(duì)格力電器股票未來(lái)收盤(pán)價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)。在Eviews10 軟件中可以選擇靜態(tài)預(yù)測(cè)或動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，首先進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，而動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)值基本呈水平線，說(shuō)明動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)效果不好。然后進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測(cè)，由于靜態(tài)預(yù)測(cè)只能一步向前，得到結(jié)果見(jiàn)圖11，可以看出靜態(tài)預(yù)測(cè)效果還是比較好的。這是因?yàn)楣善眱r(jià)格變動(dòng)較大，隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增加，所得到的結(jié)果誤差也增大，因此應(yīng)用ARIMA 模型對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)短期效果比較合適。

圖11 靜態(tài)預(yù)測(cè)圖

由已建立的ARIMA（2，1，1）模型對(duì)格力電器2019 年11月29 日的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，可得結(jié)果為57.62，當(dāng)天實(shí)際收盤(pán)價(jià)為57.71，誤差為0.09，比較接近，也由此可以證明用ARIMA 模型對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)短期效果比較好。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，ARMA 對(duì)描述股價(jià)波動(dòng)有一定參考性，對(duì)股價(jià)短期的預(yù)測(cè)效果也比較好，對(duì)投資者有一定參考價(jià)值。但是應(yīng)用ARMA 模型對(duì)于股票價(jià)格的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)就有較大偏差，因?yàn)锳RMA 模型只是對(duì)時(shí)間序列本身的屬性進(jìn)行分析，而股票價(jià)格的預(yù)測(cè)一直是一個(gè)難題，且股票市場(chǎng)的影響因素眾多，如市場(chǎng)規(guī)則、國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策和公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化等都會(huì)對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生重大影響，因此對(duì)股票價(jià)格的預(yù)測(cè)還需要結(jié)合其他條件進(jìn)行綜合判斷。