胡 騰，王 虎，陽 紅，鄭華林，劉 雁

(1.西南石油大學 機電工程學院，四川 成都 610500；2.中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621999；3.四川普什寧江機床有限公司，四川 都江堰 611830)

目前，顫振已成為高效銑削領域亟待解決的關鍵共性問題[1]。準確預報銑削穩(wěn)定性并將其作為約束條件，可為銑削工藝參數(shù)優(yōu)化提供堅實的理論基礎和數(shù)據(jù)支撐，有利于實現(xiàn)高效、無顫振銑削加工，亦有利于延長刀具及機床壽命，具有較重要的科學意義與工程價值。

近年來，國內(nèi)外學者針對銑削穩(wěn)定性預報方法開展了較深入的研究，取得了不少成果：Ramirez等[2]提出了基于Lyapunov-Krasovskii分析的銑削穩(wěn)定性預報方法，揭示了穩(wěn)定性與切削參數(shù)之間的復雜聯(lián)系；Sekar等[3]聯(lián)合自適應步長R-K方法與誤差控制算法，提出了銑削穩(wěn)定域高精度仿真方法，該方法亦可推廣至多時滯動力學特征值問題的求解；Li等[4]提出了一種直接利用加工系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)或頻響函數(shù)快速繪制穩(wěn)定性葉瓣圖的方法，較顯著地提升了切削穩(wěn)定性預報效率；Ahmadi等[5]分別基于多頻率法和半離散法對銑削穩(wěn)定性進行了預報，并借助等效粘性模型探明了過程阻尼對系統(tǒng)低轉(zhuǎn)速區(qū)切削顫振的抑制作用；Li等[6]建立了考慮模態(tài)耦合和過程阻尼的銑削動力學模型，并利用二階半離散法對銑削穩(wěn)定性進行了預報；Ezugwu等[7]提出了基于最小二乘近似的全離散法，并以此分別對再生型極限軸向切深和極限徑向切寬進行了分析與預報。王民等[8]從再生型顫振機理出發(fā)，基于零階頻域法構(gòu)建了3維穩(wěn)定性葉瓣圖，系統(tǒng)探討了主軸轉(zhuǎn)速、軸向切深與徑向切寬之間復雜的非線性映射關系；宋清華等[9]通過考慮刀具偏心建立了計及變徑向切寬的銑削動力學模型，并基于半離散法預報了該切削系統(tǒng)的穩(wěn)定域；李欣等[10]建立了考慮過程阻尼的銑削動力學模型，并基于隱式龍格庫塔法繪制了穩(wěn)定性葉瓣圖，進而在低轉(zhuǎn)速區(qū)對極限軸向切深進行了較準確預報。

現(xiàn)階段，銑削穩(wěn)定性預報研究大多僅針對切削寬度ae恒定的定工況，這并不利于面向最大金屬去除率開展銑削工藝參數(shù)優(yōu)化設計。一方面，根據(jù)金屬去除率（metal removal rate，MRR）定義[11]：

從切削動力學的角度來看， Ω、ap、ae三者間存在著相互制約的復雜關系，若只針對固定切寬ae進行切削穩(wěn)定性預報，等同于在設計空間中縮小了ap與ae的優(yōu)化可行域，致使難以獲取變工況條件下MRR全局最大值；另一方面，文獻[7-9]雖然針對切寬可變條件下的銑削穩(wěn)定性進行了較系統(tǒng)研究，但在構(gòu)建銑削動力學模型時鮮有完整考慮切削過程阻尼及刀具動力學行為非對稱性等因素，并不利于提升銑削穩(wěn)定性預報精度。

為解決上述問題，以時域全離散方法為理論基礎，綜合考慮銑削過程阻尼與銑刀徑向動力學行為非對稱性，面向可變切削深度及切削寬度的變工況提出一種3維銑削穩(wěn)定性預報方法。以再生效應所致動態(tài)切屑厚度為切入點，系統(tǒng)分析兩自由度銑削幾何，并引入銑削過程阻尼，建立動態(tài)銑削力模型；其次，以曲面銑削時徑向切削寬度的時變特征為工程背景，推導切寬及刀齒切入/切出角數(shù)學表達，進而結(jié)合動態(tài)銑削力模型與刀尖點徑向非對稱動力學特性，構(gòu)建變工況銑削動力學模型；在此基礎上，借助時域全離散法對變工況銑削穩(wěn)定性進行預報，并繪制3維銑削穩(wěn)定性葉瓣曲面；最后，以某型立式加工中心為平臺開展變工況銑削實驗，對所提穩(wěn)定性預報方法進行驗證。

1 變工況銑削動力學建模

1.1 考慮過程阻尼的動態(tài)銑削力

不失一般性地，構(gòu)建如圖1所示兩自由度銑削動力學模型。圖1中，Ω為主軸轉(zhuǎn)速，銑刀刀齒j的瞬時徑向接觸角為φj。由再生效應[6]可知，瞬時動態(tài)切削厚度可表示為：

圖1 兩自由度銑削動力學模型Fig.1 2-DOF milling dynamic model

式中：ft為每齒進給量；T為刀齒切削周期；x(t)、x(t-T)和y(t)、y(t-T)則分別為t、(t-T)時刻刀齒j在x和y向的振動位移；φj為刀齒瞬時徑向接觸角，且：

另一方面，作用在刀齒j上的切向切削力Ftj與徑向切削力Frj可表示為[5]：

式中，下標s與p分別表示剪切力與過程阻尼所致犁耕力。若軸向切深為ap，則銑削剪切力可表示為：

式中：Kt、Kr分別為切向、徑向切削力系數(shù)；g為判定函數(shù)，且：

式中，φst和φex分別為切入、切出角。

Ahmadi等[12]指出，可將過程阻尼等效為黏性阻尼Ceq，進而徑向和切向犁耕力為：

式（7）～（8）中，Ksp、μ、W與v分別表示壓入系數(shù)、庫侖摩擦系數(shù)、刀具后刀面磨損帶寬度與切削速度。將切向切削力Ftj與徑向切削力Frj在刀具坐標系下作進一步正交分解，可最終獲得銑刀在x、y方向上所受銑削力為：

式中，hkl、gpkl（k，l=x、y）為方向系數(shù)矩陣元素，且：

1.2 基于時變徑向切寬的刀齒切入/切出角

通常情況下，銑削加工均采用徑向切削寬度恒定的工藝過程。然而，針對如葉片、機匣等具有復雜幾何型面的零件進行銑削加工時，徑向切寬則具有時變特性，致使刀齒切入/切出角在切削進給期間并非恒定不變，進而切削系統(tǒng)動力學行為亦隨之變化。

某凸曲面順銑工藝過程如圖2所示，其中：ae(t)為時變徑向切削寬度；D1與D2分別位于待加工表面與已加工表面，且分別對應t時刻刀齒切入與切出點；Ob(t)與Ow(t)則分別為當前時刻上述兩點處對應的瞬時曲率中心；XwYwZw與XsYsZs分別為工件坐標系與刀具坐標系，且二坐標系在XY平面內(nèi)的瞬時夾角為θ(t)；φst(t)與φex(t)則分別刀齒切入角與切出角，且[12]：

圖2 凸面銑削過程時變切寬Fig.2 Time-varying cutting width during convex milling process

式中，R為刀具半徑。不難看出，曲面切削時，刀齒切入/切出角取決于R與ae(t)。

不妨設待加工表面與已加工表面在XY平面內(nèi)分別表示為fb與fw，且：

在t時刻，D2在工件坐標系下的坐標（xD2，yD2）可借助式（13）及NC代碼獲取，則該點切線方程與法線方程可分別寫作：

另一方面，D1在工件坐標系下的坐標（xD1，yD1）可聯(lián)立式（12）與刀具端面包絡圓方程求得；進而，可得過D1且與式（14）平行的直線方程：

聯(lián)立式（15）、（16）即可得二者交點D3坐標（xD3，yD3），則：

至此，便求得時變徑向切削寬度ae(t)的一般表達式，進而借助式（11）即可計算得任意時刻刀齒切入/切出角。

1.3 變工況銑削動力學模型

綜合第1.1、1.2節(jié)所述內(nèi)容，考慮變徑向切寬、過程阻尼和刀尖點動力學行為非對稱性的變工況兩自由度銑削動力學模型可寫為:

2 時域全離散的變工況銑削穩(wěn)定性預報

利用柯西變換，可得變工況銑削動力學模型（18）的狀態(tài)空間方程為[13]：

式中，A0和A(t)為周期系數(shù)矩陣，F(xiàn)f(t)為周期系數(shù)向量，CP為等效黏性阻尼矩陣，且：

其中，q(t)與p(t)可寫為：

基于時域全離散法[14]求解銑削系統(tǒng)狀態(tài)空間方程（19），即可得到該方程的傳遞矩陣及其特征值 λ，進而可對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判定：

3 算例與實驗驗證

3.1 立式加工中心變工況3維銑削穩(wěn)定性預報

3.1.1 刀尖點非對稱動力學行為辨識

基于某立式加工中心搭建錘擊模態(tài)實驗平臺（圖3）。所選刀具為兩齒硬質(zhì)合金銑刀，直徑φ=20 mm。利用所測刀尖點各向原點與交叉加速度頻響函數(shù)，可辨識得如表1所示的刀尖點非對稱動力學特性參數(shù)。

圖3 錘擊模態(tài)實驗Fig.3 Impact modal test

表1 刀尖點非對稱動力學特性參數(shù)Tab. 1 Asymmetrical dynamic parameters of tool center point

3.1.2 銑削力系數(shù)標定

利用文獻[15]所述實驗方法，借助Kistler切削力測試系統(tǒng)對銑削力系數(shù)進行標定，如圖4所示。所選工件材料為AL7075-T6，辨識得平均銑削力系數(shù)為：Kt=804.2 MPa，Kr=177.3 MPa。

圖4 銑削力系數(shù)標定實驗Fig.4 Calibrations of milling force coefficients

3.1.3 過程阻尼參數(shù)確定

依據(jù)式（7）可知，過程阻尼取決于刀具后刀面磨損帶寬度與壓入系數(shù)、庫侖摩擦系數(shù)以及切削速度。故一方面，利用超景深顯微鏡對銑刀后刀面磨損帶寬度進行測量（圖5），可測得后刀面磨損帶寬度W為47 μm；另一方面，由文獻[16]可查得壓入系數(shù)Ksp為1.5×105N/mm3及庫侖摩擦系數(shù)μ為0.3；最終，將上述W、Ksp、及μ代入式（7）即可求得等效過程阻尼，進一步依據(jù)式（22）可得等效黏性阻尼矩陣CP。

圖5 刀具后刀面磨損帶寬度Fig.5 VB measurements on tool flank face

3.1.4 刀齒切入/切出角

基于該立式加工中心設計如圖6所示的變工況銑削工藝過程。其中，刀具進給速度f=200 mm/min，且保持恒定；時變徑向切寬可借助其通式（17）推導求得，且ae(0)=5 mm；進而結(jié)合式（11）即可得任意時刻刀齒切入/切出角。

圖6 變工況銑削工藝過程Fig.6 Milling process on varying cutting condition

3.1.5 變工況3維銑削穩(wěn)定性預報

綜合第3.1.1、3.1.4節(jié)及式（19），即可得圖3所示立式加工中心銑削動力學狀態(tài)空間方程。進而，借助時域全離散法，在如表2所示銑削參數(shù)創(chuàng)成的變工況設計空間內(nèi)進行穩(wěn)定性預報，可繪制如圖7所示變工況3維銑削穩(wěn)定性葉瓣曲面。

表2 變工況銑削參數(shù)Tab. 2 Milling parameters on varying cutting conditions

由圖7可看出：在3維葉瓣曲面上，部分區(qū)域（虛線框）極限軸向切深最高可達20 mm（例如A點），但該點對應極限徑向切寬僅為5 mm；在2×103～8×103r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，當徑向切寬達到20 mm時，對應極限軸向切深最大值為12.3 mm（B點）；由于充分考慮了過程阻尼，銑削穩(wěn)定性在主軸低轉(zhuǎn)速區(qū)域（雙點劃線框）得到顯著提升。如圖7中C點的極限徑向切寬ae及極限軸向切深ap均達到了20 mm，但該點對應的主軸轉(zhuǎn)速 Ω僅為1.5×103r/min。

圖7 3維銑削穩(wěn)定性葉瓣曲面Fig.7 3D milling stability lobe surface

由此，主軸轉(zhuǎn)速、軸向切深、徑向切寬三者間隱含著復雜的非線性映射關系：一方面，對于某一固定主軸轉(zhuǎn)速 Ω而言，極限穩(wěn)定徑向切寬和極限穩(wěn)定軸向切深之間呈現(xiàn)較顯著的負相關聯(lián)系，這與實際工程選擇切削工藝參數(shù)時ap與ae出現(xiàn)相互制約的情況是一致的；另一方面，對于某一固定軸向切深ap而言，可有多種主軸轉(zhuǎn)速 Ω與徑向切寬ae與之匹配，從而實現(xiàn)無顫振銑削；此外，過程阻尼對低轉(zhuǎn)速區(qū)域的銑削穩(wěn)定性有提升作用，可為低速重載切削提供一定理論與數(shù)據(jù)支撐。

3.2 實驗驗證

為驗證上述變工況3維銑削穩(wěn)定性預報結(jié)果，再次利用圖4所示實驗平臺，針對鋁合金AL7075-T6分別實施定工況（fixi）和變工況（vari）銑削實驗。期間，借助Kistler測力儀對銑削力信號進行采集，并以其時頻特征與加工表面質(zhì)量為依據(jù)對極限穩(wěn)定銑削參數(shù)進行判定。

3.2.1 定工況銑削實驗（fixi）

利用ae=20.0 mm的參考平面截取圖7所示變工況銑削穩(wěn)定性3維葉瓣曲面，可得如圖8（a）所示定工況銑削穩(wěn)定性葉瓣曲線（實線）。由圖8（a）可以看出，銑削過程阻尼及刀尖點非對稱動力學行為對極限穩(wěn)定軸向切深ap，尤其在主軸低轉(zhuǎn)速區(qū)，有較顯著的影響。為此，在不同轉(zhuǎn)速 Ω（fixi）（i=1，2， ···, 5）下開展0～8 mm變切深銑削實驗，以驗證上述預報結(jié)果。以Ω（fix1）=2 600 r/min為例，該轉(zhuǎn)速下極限軸向切深預報值ap_lim_pre=5.4 mm；圖8（b）、（c）分別為該轉(zhuǎn)速下定工況銑削實驗所測切削力時頻數(shù)據(jù)與零件加工表面質(zhì)量觀測。

根據(jù)圖8（b）時域數(shù)據(jù)可知，隨著軸向切深逐漸增大，銑削力幅值亦逐漸增大，并在時域30 s附近出現(xiàn)突變，而該銑削力頻域內(nèi)亦出現(xiàn)了1階模態(tài)附近的顫振頻率成分；由圖8（c）可以觀測到，當ap增大至5.3 mm時工件表面開始出現(xiàn)振紋，此時切深即為轉(zhuǎn)速 Ω（fix1）=2 600 r/min實測極限軸向切深ap_lim_exp。

圖8 定工況銑削實驗（fix1）Fig.8 Milling experimentation on fixed cutting condition(fix1)

類似地，可完成其他轉(zhuǎn)速對應定工況銑削實驗，最終可得如表3所示極限軸向切深測試數(shù)據(jù)與預報結(jié)果對比。其中，最大相對誤差為4.0%，表明所提方法能較準確預報定工況銑削穩(wěn)定性。

表3 定工況極限穩(wěn)定銑削參數(shù)預報值與實測值Tab. 3 Predicted and experimental limit stable milling parameters on fixed cutting conditions

3.2.2 變工況銑削實驗（vari）

若以任一主軸轉(zhuǎn)速（Ω ）為參考平面截取圖7所示3維葉瓣曲面，可得如圖9（a）所示變工況極限穩(wěn)定銑削參數(shù)關系曲線。為驗證該預報結(jié)果，在對應轉(zhuǎn)速下開展變工況銑削實驗。

以 Ω（var2）=2 800 r/min為例，該轉(zhuǎn)速下極限軸向切深ap_lim_pre與徑向切寬ae_lim_pre預報值分別為6.4與17.7 mm；圖9（b）、（c）則分別為該轉(zhuǎn)速下變工況銑削實驗所測銑削力時頻特征與零件加工表面質(zhì)量觀測，綜合二者分析可知，該轉(zhuǎn)速下極限穩(wěn)定銑削參數(shù)實測值分別為ap_lim_exp=6.8 mm、ae_lim_exp=17.2 mm。表4為不同轉(zhuǎn)速下實驗與預報對比結(jié)果，其中最大相對誤差為5.9%，結(jié)果表明該方法在各種工況下均有較好的準確性。

圖9 變工況銑削實驗（var2）Fig.9 Milling experimentation on varying cutting condition (var2)

表4 變工況極限穩(wěn)定銑削參數(shù)預報值與實測值Tab. 4 Predicted and experimental limit stable milling parameters on varying cutting conditions

4 結(jié) 論

1）在綜合考慮銑削過程阻尼、刀尖點非對稱動力學行為及時變切寬的基礎上，借助時域全離散法針對變工況提出了3維銑削穩(wěn)定性預報方法體系，為實現(xiàn)面向變工況開展銑削工藝參數(shù)優(yōu)化提供了理論依據(jù)與數(shù)據(jù)支撐。

2）利用所提方法，針對某立式加工中心進行了變工況3維銑削穩(wěn)定性預報。預報結(jié)果表明：過程阻尼及刀尖點非對稱動力學行為對低轉(zhuǎn)速區(qū)銑削穩(wěn)定性有較顯著的提升作用；而在高轉(zhuǎn)速區(qū)，極限穩(wěn)定軸向切深與徑向切寬之間存在較明顯的負相關聯(lián)系。

3）通過開展定工況及變工況銑削實驗，對所提方法進行了驗證。數(shù)據(jù)對比分析顯示，極限穩(wěn)定銑削參數(shù)（軸向切深、徑向切寬）的預報值與實驗值吻合程度較高，最大相對誤差為5.9%，由此說明所提預報方法具有較高的準確性。