覃亞麗 梅濟才 任宏亮 胡映天 常麗萍

(浙江工業(yè)大學信息工程學院 杭州 310014)

1 引言

壓縮感知(Compressed Sensing, CS)是一種探尋欠定線性系統(tǒng)稀疏解的技術，用于獲取和重構稀疏或可壓縮的信號。該方法利用信號稀疏的特性，在遠小于Nyquist采樣率的條件下，用隨機采樣獲取信號的離散樣本，通過非線性重建算法完美地重建信號[1]。壓縮感知理論基于信號的可壓縮性，通過低維空間、低分辨率和欠Nyquist采樣數(shù)據(jù)的非相關觀測來實現(xiàn)高維信號的感知，豐富了信號恢復的優(yōu)化策略，促進了數(shù)學理論和工程應用的結合。

常見的壓縮感知算法包括：匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)算法[2]、迭代閾值(Iterative Hard Thresholding, IHT)算法[3]和全變分(Total Variation,TV)算法[4]等。以上算法中，TV算法具有較高的重構精度和所需測量值較少的特點，并且能夠很好地保留圖像的邊緣信息，但由于基于變分過程，往往會導致嚴重的階梯效應，使圖像紋理出現(xiàn)缺失而過度平滑。Zhang等人[5]結合TV算法和非局部正則化提出了基于非局部正則化的全變分(Total Variation based on Nonlocal Regularization, TVNR)算法，增強了圖像的細節(jié)紋理，但該算法復雜度高，計算時間長，不適用實時處理。劉亞男等人[6]將分數(shù)階微分作為正則化項，提出了分數(shù)階全變分(Fractional Order Total Variation, FOTV)算法，在低頻分量損失有限的情況下大幅度增加高頻分量，由低分辨率圖像重構得到紋理細節(jié)較清晰的高分辨率圖像，但Ma等人[7]的研究指出，在圖像信號中噪聲和結構信息均屬于高頻成分，因此FOTV在提升圖像細節(jié)的同時也放大了加性噪聲，導致了該算法在噪聲環(huán)境下失效，縮小了該算法的實際應用范圍。目前針對抗噪聲性能的研究工作主要集中在具體實驗裝置改進[8,9]或測量矩陣的優(yōu)化上[10,11]，大多數(shù)圖像重構算法僅考慮了無噪聲條件下的圖像重構[12,13]，而兼顧圖像重構和抗噪聲性能的算法報道較少[14]。在實際成像系統(tǒng)中，具有較好抗噪聲性能的圖像重構算法能有效地提高圖像重構的質(zhì)量，并且能夠為單像素成像等計算成像實驗系統(tǒng)的圖像重構提供較好的解決方案。

本文較詳細地分析了分數(shù)階微分模型和高斯平滑濾波的原理，結合Li等人[15]提出的增廣拉格朗日交替方向算法，給出了一種基于高斯平滑壓縮感知分數(shù)階全變分(Fractional Order Total Variation based on Gaussian Smooth, FOTVGS)算法。在求解優(yōu)化目標函數(shù)的過程中，使用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[16]將優(yōu)化目標函數(shù)劃分為兩個子問題進行求解，并使用高斯平滑濾波算子更新拉格朗日梯度算子，改進了FOTV的抗噪聲性能，使FOTV具有良好的魯棒性。

2 數(shù)學模型

2.1 分數(shù)階微分系統(tǒng)的幅頻特性

對滿足狄利克雷條件的函數(shù)，其傅里葉變換為

利用傅里葉變換的微分性質(zhì)

為簡要說明分數(shù)階次α對信號幅頻特性的影響，圖1中低頻和高頻均被歸一化，0.5～1.0 Hz表示低頻區(qū)，1.0～1.5 Hz表示高頻區(qū)，隨著分數(shù)階次α增大，分數(shù)階微分算子對高頻分量的幅度拉升作用逐漸增強，呈現(xiàn)出非線性增長，同時對低頻分量的幅度有一定的抑制作用。為了提高信號的高頻分量，同時使得低頻信息不至于損失過多，一般選取1～2之間的階數(shù)。本文以0.1為間隔，經(jīng)過多次經(jīng)驗驗證，當α＝1.7時，重構的圖像能獲得最佳的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)和結構相似度(Structural SIMilarity, SSIM)，為此本文采用α＝1.7。

圖1 分數(shù)階次α 對信號幅頻特性的影響

2.2 高斯平滑

高斯平滑是一種線性平滑濾波，利用2維高斯分布函數(shù)生成高斯模板，掃描圖像中的每一個像素，將鄰域內(nèi)像素的加權平均值作為新圖像中模板中心位置的像素值。2維高斯濾波使用高斯核為x和y兩個1維高斯核的乘積，其形式如式(3)

本文利用其去噪特性，結合拉格朗日交替方向算法，改進分數(shù)階全變分算法，增強了算法的抗噪聲性能。其中，高斯平滑的過程如式(4)

3 算法改進與優(yōu)化

3.1 算法的改進

利用自然圖像具有梯度最小化的先驗信息，通過研究自然圖像在梯度域的稀疏性，傳統(tǒng)的全變分算法為

為減小梯度效應，結合分數(shù)階微分，式(5)轉(zhuǎn)化為

3.2 算法的求解過程

式(8)由于其不可微分，很難得到解析解，本文采用ADMM方法將原始問題轉(zhuǎn)化成若干個子問題并逐一求解。

(1)w子問題。對于給定u，經(jīng)過簡化后，與w有關的優(yōu)化問題表示為

解決w和u兩個子問題，得到每次迭代中的w和u，然后通過式(10)，更新拉格朗日算子ν和λ。再繼續(xù)回到上述兩個子問題更新下一次的w和u，如此迭代，便可用較少的測量值重構出完整的圖像。具體算法如表1。

表1 改進算法流程

4 實驗結果和分析

仿真數(shù)據(jù)源選取斯坦福大學和南加州大學圖像庫的4幅像素為256×256的圖像(Lena, Boats,Barbara, Peppers)作為原始圖像，如圖2所示。

圖2 實驗原始圖

通過仿真實驗，在不同采樣率和不同的加性噪聲下，將5種算法進行定性和定量對比。本實驗中，測量矩陣采用高斯隨機矩陣，分數(shù)階次α為1.7，相關參數(shù)β和γ的初始化根據(jù)Li等人的經(jīng)驗，分別設定為 26, 27。迭代截止條件等其他參數(shù)根據(jù)個人經(jīng)驗值設定。實驗使用的硬件配置為四核Intel?Core(TM)i53317U CPU＠1.70 GHz的PC端，仿真軟件采用MATLAB R2018b。

4.1 無噪聲和噪聲環(huán)境下圖像重構的PSNR

本文利用高斯平滑算子更新拉格朗日梯度算子，抑制分數(shù)階微分對噪聲的放大。圖3給出了在采樣率為0.1, SNR＝10 dB時，加入高斯平滑算子前后，Barbara圖像的梯度算子ν的變化對比圖。在迭代過程中，梯度算子ν共更新了12次，本文選取了5次作為實驗對比圖。

如圖3所示，隨著算法的迭代進行，算子ν包含的圖像梯度信息逐漸增多，同時彌漫在梯度算子上的噪聲也隨之增大，通過對比圖3(a)和圖3(b)，特別是第2次和第4次迭代，可以發(fā)現(xiàn)在加入高斯平滑后，能有效地抑制分數(shù)階微分對噪聲的放大，從而提高重構精度。

圖3 高斯平滑算子加入前后，梯度算子更新變化對比圖

本研究組在實際單像素成像系統(tǒng)中，將實驗時外界的環(huán)境噪聲和器件的熱噪聲等效成圖像測量值的加性高斯白噪聲模型，測量值的SNR變化范圍為10～35 dB，本文仿真了5種算法在不同采樣率和測量值無噪聲與有噪聲情況下的圖像重構PSNR，通過10次測量求平均PSNR，結果如表2。

表2 在無噪聲(測量值SNR=∞ )和有噪聲情況下5種算法圖像重構峰值信噪比(PSNR: dB)

從表2可知，在相同的采樣率下，本文所提FOTVGS算法有最大的PSNR。在無噪聲(SNR＝∞)情況下，通過對4幅圖像在不同采樣率下的PSNR求平均，F(xiàn)OTVGS算法相比于文獻[6]中的FOTV算法平均PSNR提高0.66 dB，最大提高1.39 dB。在噪聲(SNR為10～35 dB)情況下，對比于只含高斯平滑的全變分(Total Variation with Gaussian Smooth,TVGS)算法，在大噪聲情況(SNR＜25 dB)，文獻[4]中的TV算法會受到噪聲干擾導致性能差于TVGS算法，而在小噪聲情況下(SNR＞25 dB)TV算法性能要好于TVGS算法，根據(jù)經(jīng)驗判斷，可能是大噪聲情況下，平滑算子去除的噪聲較多，而小噪聲情況下，平滑算子使圖像過于平滑導致細節(jié)丟失。與無噪聲情況下的結果相反，在噪聲環(huán)境下，F(xiàn)OTV算法受噪聲影響較大，文獻[5]提出的TVNR算法性能好于FOTV算法，F(xiàn)OTV算法是最差的圖像重構算法，而改進的FOTVGS算法卻彌補了該算法的缺陷。通過對4幅圖像在不同采樣率下和不同測量噪聲情況下求平均，給出的FOTVGS算法相比于FOTV算法平均PSNR提高3.11 dB，最大提高4.68 dB。

4.2 圖像重構紋理細節(jié)分析

圖4展示了在采樣率為0.2時無噪聲(SNR＝∞)，測量值的SNR＝25 dB以及采樣率為0.1，測量值SNR＝10 dB時3種情況下的5種算法對標準Lena圖像的重構。

圖4(a)–圖4(d)顯示了在無噪聲情況下，5種算法重構圖像紋理細節(jié)對比，由每幅子圖的右下角展示的帽子環(huán)帶的放大圖可以看出，對比于FOTV算法，給出的FOTVGS算法在圖像紋理細節(jié)上與其相近，甚至比其有更多的紋理細節(jié)。圖4(f)–圖4(j)展示了在測量值SNR＝25 dB時5種算法重構的圖像彌漫著形似椒鹽噪聲的噪聲點，分數(shù)階微分對噪聲高頻成分的放大作用導致FOTV算法具有最大的噪聲值。本文給出的FOTVGS算法所重構的圖像相比其他4種算法具有較小的噪聲和較多的紋理細節(jié)，可見，F(xiàn)OTVGS算法有較強的抗噪聲性能。圖4(k)–圖4(o)展示了在測量值SNR＝10 dB和采樣率為0.1時，5種算法的圖像重構對比，在此種極端情況下，F(xiàn)OTV算法重構的圖像噪聲點較多，TVGS算法雖然噪聲較小，但同時也導致了圖像過于平滑，如圖4中帽子環(huán)帶信息缺失，從中可以看到改進的FOTVGS算法圖像重構效果要好于其他4種，這與表2中給出的圖像評價指標一致。

圖5給出了在采樣率為0.2情況下，5種算法在不同的噪聲水平下的結構相似度(SSIM)變化值，其中測量值的SNR變化范圍為10～35 dB。圖中可知，在采樣率為0.2的情況下，5種算法重構圖像的SSIM隨著噪聲的增加逐漸減小。在相同的SNR下，F(xiàn)OTV算法有最小的SSIM，表明該算法不適合有噪聲情況，本文改進的FOTVGS算法有最大的SSIM，說明該算法提高了原算法(FOTV)的抗噪聲性能。

圖5 采樣率為0.2情況下5種算法的重構SSIM曲線

4.3 圖像重構時間分析

為定量對比5種算法的算法復雜度，圖6給出了5種算法在無噪聲和噪聲環(huán)境下(SNR變化范圍10～35 dB)的平均圖像重構時間對比圖。

由圖6可知，與FOTV算法相比，改進的FOTVGS算法在不增加過多的處理時間的情況下，具有FOTV算法提高圖像紋理細節(jié)的特性同時克服了其較差的抗噪聲性能。

圖6 無噪聲和噪聲環(huán)境下5種算法在不同采樣率下平均重構時間對比圖

5 結論

本文詳細分析了分數(shù)階全變分和高斯平滑的數(shù)學模型，給出的FOTVGS算法解決了FOTV算法引起的梯度效應導致的圖像紋理細節(jié)丟失和FOTV算法抗噪聲性能較差的問題。文中對該算法進行了詳細的分析，采用ADMM算法求解，給出了具體的求解過程，在求解過程中采用高斯平滑算子更新拉格朗日梯度算子，在較好地保留圖像紋理細節(jié)的同時提高了原有算法的抗噪聲性能。在算法時間復雜度方面，改進的算法在不增加過多圖像重構時間的基礎上，增強了圖像重構的紋理細節(jié)。因此，該算法為單像素成像等計算成像的實際成像系統(tǒng)提供了行之有效的圖像重構方法。