王秀紅，李美鳳

(天津商業(yè)大學 理學院，天津 300134)

1 引言

轉化思想是分析問題和解決問題常用的一種重要數學思想，具體是指在處理問題時，將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題，最終求得原問題的解[1]。

在高等數學中，有很多內容都體現了轉化思想。下面從幾個方面對轉化思想的應用進行舉例探析。

2 復雜化簡單

在求函數極限時，用無窮小量代換極限式中的函數表達式是簡化極限計算過程的一種方法。

3 特殊化基本

(3)1∞,00,∞0這三類未定式，由于都來源于冪指函數u(x)v(x)的極限，所以均可以通過恒等變形：

u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)

4 未知化已知

基本積分公式是求不定積分的基礎，而僅僅靠基本積分公式和不定積分的性質來解決不定積分的計算問題是遠遠不夠的，還需要更有效的積分方法。換元積分法就是在積分過程中通過轉化思想引入新變量，來簡化積分計算的一種積分方法[2]。

解：為了將被積函數中的根號去掉，

圖1 三角形的邊角關系

5 數化形

根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題，實現數形結合。

例4 方程x2+y2+z2-2x+6y-4z=0表示什么曲面？并判斷點P(1,1,1)與此曲面的位置關系。

解:將方程配方變形為:

(x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=14

(1-1)2+(1+3)2+(1-2)2=17>14

所以點P(1,1,1)在球面外。

6 高維化低維

利用二重積分的定義計算二重積分難度很大，因此需要尋求一些更為有效的計算方法。實際上，可利用降維的思想加以研究，即：將二維平面上的二重積分化為兩個一維區(qū)間上的定積分(即累次積分)，利用定積分來計算。

解：積分區(qū)域D(圖2)表示如下:

圖2 積分區(qū)域D

=-(-1)+1-1=1

7 直接化間接

把一個已知函數展開為冪級數，固然可以應用直接展開法．但更多的情況是根據函數冪級數展開式的唯一性，借助已知函數的泰勒展開式，通過變量代換、四則運算、恒等變形、逐項求導和逐項積分等轉化思想，利用間接展開法來求另一些函數的冪級數展開式．當然，使用間接展開法需要熟悉一些常用的冪級數展開式。

8 常量化變量

常數變易法是求解一階線性非齊次常微分方程的重要方法，即將常數變易為待定函數，通過求解待定函數的表達式進而求出原方程的通解。

解:此方程為一階線性非齊次微分方程。首先，求出一階線性齊次微分方程

的通解為y=Cx2

其次，利用常數變易法求一階線性非齊次微分方程的通解。將常數C變易為待定函數C(x)，即令

y=C(x)x2，將其帶入原方程后可以得到

從而，原方程的通解為：

9 結語

轉化思想就像一把神奇的金鑰匙，對解放思想，開闊思路，解決某些難題，開創(chuàng)新的方向，起到了積極的作用[3]。 整個高等數學的教學過程中轉化思想的運用層出不窮，需要不斷鞏固知識，發(fā)現總結才能正確利用轉化思想。因此，在教學過程中應注重滲透這種思想方法，重視培養(yǎng)學生的轉化思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，激發(fā)學生的學習熱情。