朱銳，楊雨迎，毛保全，韓小平，王之千，趙其進

(1.陸軍裝甲兵學院 兵器與控制系, 北京 100072; 2.63963部隊, 北京 100072)

0 引言

錳銅基阻尼合金是一種孿晶型阻尼合金，作為一種良好的減振材料，目前已廣泛應用于機械、核電、軍工等領域，代表型號有M2052、Sonoston[1]合金，Incramute[2]合金和ABPOPA[3]合金等。錳銅基阻尼合金的高阻尼特性來源于兩個方面：一是在高溫融溶態(tài)冷卻過程中，阻尼合金經(jīng)過尼爾點，由順磁性變?yōu)榉磋F磁性，生成反鐵磁馬氏體孿晶，當受到外力作用時，孿晶界的弛豫運動將消耗外部能量[4-6]；二是室溫下錳銅基阻尼合金在受外力情況下會產(chǎn)生應力馬氏體，從而發(fā)生馬氏體與母相奧氏體的界面滑移[7-9]。這些能量消耗在本構(gòu)關系上將呈現(xiàn)出一種強烈的非線性，產(chǎn)生滯回現(xiàn)象。而且由于錳銅基阻尼合金主要作為結(jié)構(gòu)件使用，不允許產(chǎn)生塑性變形，其本質(zhì)為非線彈性材料，不同于鋼等一般的線彈性金屬材料。因此，需要建立特殊的本構(gòu)方程以描述其非線性本構(gòu)關系。

現(xiàn)有錳銅基阻尼合金本構(gòu)關系的文獻較少，主要是關于形狀記憶合金和其他類型阻尼合金本構(gòu)關系的研究。但從文獻[10-12]中可以看出，將阻尼合金作為一種特殊的黏彈性材料，用黏彈性理論描述阻尼合金的本構(gòu)關系可取得較好的效果。

廣義分數(shù)階Maxwell模型是在廣義Maxwell模型基礎上結(jié)合分數(shù)階導數(shù)思想提出的，在描述非線性黏彈性材料本構(gòu)關系方面有較好的表現(xiàn)。方長青[13]利用廣義分數(shù)階Maxwell模型，建立了非線性熱致形狀記憶聚合物的本構(gòu)模型，更細致地表現(xiàn)了其靜態(tài)黏彈性行為。李春蕊[14]建立了廣義分數(shù)階Maxwell管內(nèi)流體旋轉(zhuǎn)流動模型，展現(xiàn)了黏彈性流體在管內(nèi)的旋轉(zhuǎn)流動非線性特性，分析了廣義黏彈性流體的流動與傳熱問題。潘文瀟等[15]將分數(shù)階運算引入黏彈性流體本構(gòu)方程中，形成廣義分數(shù)階Maxwell模型，定量描述了黏彈性流體在兩平板間的非定常流動，得到了黏彈性流體速度場的解析解。以上文獻建立的廣義分數(shù)階Maxwell模型主要都是用于描述黏彈性流體的行為，是否適用于描述阻尼合金的本構(gòu)關系，還有待驗證。

本文針對將錳銅基阻尼合金作為線彈性材料與其非線性本構(gòu)關系不符的問題，以M2052錳銅基阻尼合金為研究對象，結(jié)合錳銅基阻尼合金制振機理，提出了一種基于廣義分數(shù)階Maxwell模型的三參數(shù)本構(gòu)方程，通過常應變率單軸循環(huán)拉伸試驗分析驗證該本構(gòu)模型的準確性，并進一步研究了廣義分數(shù)階Maxwell模型的適用性，為更好地分析錳銅基阻尼合金本構(gòu)關系提供了理論參考。

1 廣義分數(shù)階Maxwell本構(gòu)模型的構(gòu)建

1.1 廣義分數(shù)階Maxwell模型

分數(shù)階黏彈性模型的基本構(gòu)件是彈簧壺元件，它是一種介于代表純彈性的彈簧和純黏性的牛頓黏壺之間行為的分數(shù)階模型，其本構(gòu)關系[16]可寫為

(1)

式中：σ′為應力；Dt為分數(shù)階微分算子；α為分數(shù)階系數(shù)；ε′為應變；κ為準態(tài)特性[17](Pa·sα)，其表達式[18]為

κ=E′τα,

(2)

假設孿晶結(jié)構(gòu)的弛豫運動和應力馬氏體摩擦運動為介于彈性與黏性間的一種運動，分別采用Maxwell模型基本形式串聯(lián)1個彈簧壺機構(gòu)元件和1個彈簧元件，即構(gòu)成孿晶項和馬氏體摩擦項的分數(shù)階Maxwell形式。

根據(jù)微觀層面，孿晶運動和應力馬氏體相變均是由外力驅(qū)動下的晶格運動變形。因此可假設二者產(chǎn)生的應變同步，進而提出廣義分數(shù)階Maxwell模型。將分別代表孿晶阻尼項和馬氏體摩擦項物理意義模型的兩個分數(shù)階Maxwell項并聯(lián)，以表示M2052阻尼合金的非線性本構(gòu)關系。廣義分數(shù)階Maxwell模型如圖1所示。圖1中，彈簧壺元件(σ1,ε1)和彈簧(σ2,ε2)串聯(lián)代表孿晶阻尼項，彈簧壺元件(σ3,ε3)和彈簧(σ4,ε4)串聯(lián)代表馬氏體摩擦阻尼項，σ1和σ3為彈簧壺元件應力，ε1和ε3為彈簧壺元件應變，σ2和σ4為彈簧元件應力，ε2和ε4為彈簧元件的應變，φ為右側(cè)彈簧壺元件的準態(tài)特性，β為右側(cè)彈簧壺元件的分數(shù)階系數(shù)，0≤α,β≤1，E為M2052阻尼合金的楊氏模量。

圖1 廣義分數(shù)階Maxwell模型

由廣義Maxwell模型關系，可得

σ1=σ2,

(3)

σ3=σ4,

(4)

σ1+σ3=σ2+σ4=σ,

(5)

ε1+ε2=ε3+ε4=ε,

(6)

(7)

σ2=Eε2,

(8)

(9)

σ4=Eε4,

(10)

式中：σ為阻尼合金所受總應力；ε為阻尼合金所受總應變。

(7)式～(10)式代入(6)式中，可得

(11)

為簡化模型，此處引入權(quán)重系數(shù)w，假設孿晶阻尼項產(chǎn)生的應力與總應力呈w倍的關系，即有σ1=wσ，σ3=(1-w)σ，則可得廣義Maxwell模型的本構(gòu)方程為

(12)

1.2 控制方程

從能量守恒角度，在恒溫情況下，外力作功產(chǎn)生的應變能應為彈性勢能、孿晶能以及馬氏體與奧氏體、馬氏體與馬氏體之間摩擦耗能的三項之和，即

Ws=We+Wt+Wm,

(13)

根據(jù)胡克定律和(3)式～(6)式，可以得到單位體積下彈性能的表達式[21]為

以上等式代入(13)式，得到控制方程的表達式：

(14)

由(6)式可知，兩個分數(shù)階Maxwell項的總應變均為ε，則(14)式可以分解為由孿晶分數(shù)階Maxwell項的控制方程(15)式和摩擦分數(shù)階Maxwell項的控制方程(16)式相加，這樣可分別對(15)式和(16)式進行數(shù)值求解，降低求解難度。

(15)

(16)

控制方程(14)式中，當t≤0時σ(t)=0,ε(t)=0，當t>0時σ(t)和ε(t)，在加載段為單調(diào)遞增，在卸載段為單調(diào)遞減。因此，控制方程的初始值和邊界條件如(17)式所示：

(17)

1.3 數(shù)值求解

控制方程(15)式和(16)式兩端同時對時間求導，得

(18)

(19)

(20)

式中：h為分數(shù)階系數(shù)，hk=k1-h-(k-1)1-h；hj=j1-h-(j-1)1-h,j=2,…,k；(Δt)-h為Δt的分數(shù)階次方的倒數(shù)；o(·)為高階誤差項；Γ(2-h)為伽馬函數(shù)；t0為初始時刻。

當0<α<1、0<β<1時，1-α>0、1-β>0，令h=1-α和h′=1-β，分別代入(20)式，可得

hj=jα-(j-1)α,

(21)

h′j=jβ-(j-1)β.

(22)

(21)式、(22)式代入(18)式和(19)式，并省略高階誤差項，可得應變率關于孿晶應力和馬氏體摩擦應力的有限差分表達式為

k=1,2,…,m,hj=jα-(j-1)α；

(23)

k=1,2,…,m,h′j=jβ-(j-1)β.

(24)

又根據(jù)(12)式簡化推導流程，將(23)式和(24)式簡化為

k=1,2,…,m,hj=jα-(j-1)α.

(25)

根據(jù)(25)式，結(jié)合常應變率下單軸循環(huán)拉伸試驗，即可擬合求得各參數(shù)定義。

2 常應變率下單軸循環(huán)拉伸試驗

常應變率單軸循環(huán)拉伸試驗的目的是獲得阻尼合金在一定應變幅值和應變率下的非線性應力-應變關系，為下一步數(shù)值模擬和驗證奠定基礎。由于阻尼合金的工作條件，不允許塑性變形，試驗應變幅值范圍和本構(gòu)模型適用范圍均處于彈性階段。此外，本文試驗不考慮溫度變化對阻尼合金的影響，試驗溫度為室溫。

2.1 材料與試驗設備

本文試驗選用熱處理后的M2052阻尼合金，其主要成分為Mn-22.1Cu-5.24Ni-1.93Fe.試驗用材料M2052阻尼合金的性能如表1所示，數(shù)據(jù)來源于《高錳基阻尼合金材料主要性能測試報告》[24]。根據(jù)疲勞試驗標準，試樣尺寸為150 mm×20 mm×2 mm.

表1 M2052阻尼合金各項性能

試驗中使用的設備是美特斯工業(yè)系統(tǒng)的Landmark 810，并配備了一個100 kN的測壓元件。應變測量使用50 mm的引伸計，采樣頻率為10 Hz.試驗的測試設備及安裝示意圖如圖2所示。

圖2 試驗的測試設備及安裝示意圖

2.2 試驗方案設計

試驗流程是在固定應變率下，將試樣拉伸到一定最大應變幅值，然后按原速率卸載至初始位置，由應力應變傳感器記錄應力應變數(shù)據(jù)。由于M2052阻尼合金的應用情況不允許有塑性變形，試驗的應變幅值范圍要小于0.2%.最終確定最大應變幅值分別為0.05%、0.10%和0.15% 3種條件，應變率為0.002 5%/s、0.005 0%/s和0.010 0%/s 3種條件。試驗方案如表2所示。

表2 試驗方案

2.3 試驗結(jié)果

試驗得到的原始應力-應變數(shù)據(jù)如圖3～圖5所示。

圖3 應變率0.002 5%/s時不同應變幅值的滯回曲線

圖4 應變率0.005 0%/s時不同應變幅值的滯回曲線

圖5 應變率0.010 0%/s時不同應變幅值的滯回曲線

從圖3～圖5中可以看出，阻尼合金在彈性范圍內(nèi)拉伸時，其應力-應變曲線呈現(xiàn)非線性，而不是一般金屬的線性增長；從整個應力-應變曲線來看，其形狀為梭型。這種現(xiàn)象與一些形狀記憶合金類似，即加載和卸載階段的應力-應變曲線不重疊，樣品返回到起始點，不產(chǎn)生塑性變形。但從圖3～圖5中也能看出滯回曲線的應變幅值出現(xiàn)不等于設定應變幅值的現(xiàn)象，這是因為液壓伺服閥的響應增益引起的誤差并不影響趨勢分析，后續(xù)擬合數(shù)據(jù)采用實測值。各曲線所包含的滯回面積與斜率如表3和表4所示。

表3 不同應變率和應變幅值下的滯回面積

表4 不同應變率和應變幅值下的滯回曲線斜率

從表3和表4中可以看出，相同應變率下，隨著應變幅值的增加，滯回面積也在增加，曲線斜率隨著應變幅值增加而下降。由于滯回面積代表阻尼合金的阻尼性能，表明在彈性范圍內(nèi)阻尼能力與振幅呈正相關，這與文獻[25]結(jié)論一致；相同應變幅值下，不同應變率的曲線所包含的滯回面積不同，斜率也不同，表明阻尼合金具有應變率相關性，符合黏彈性材料性質(zhì)。本構(gòu)方程中的應力大小不僅受應變的影響，也受到應變率的影響。

但從數(shù)據(jù)來看，阻尼合金隨應變率變化的具體規(guī)律并非線性相關。而且由于實測應變幅值與設定值之間的誤差以及限于在彈性范圍內(nèi)應變率不能太大、導致樣本不多的原因，仍需進一步提高精度和擴充應變率變化范圍，才能分析出具體規(guī)律。綜合以上試驗結(jié)果來看，可以將阻尼合金作為特殊的黏彈性材料，采用適合黏彈性本構(gòu)的方程描述。

3 數(shù)值模型仿真分析

3.1 遺傳算法設置

由于擬合方程(25)式是一個以時間為迭代變量的差分迭代，不能使用最小二乘法或線性回歸方法。擬合問題可轉(zhuǎn)化為多目標優(yōu)化問題，利用MATLAB軟件的GA工具箱編寫目標函數(shù)、設計變量和約束條件，實現(xiàn)最優(yōu)解。具體優(yōu)化流程如圖6所示。

圖6 遺傳優(yōu)化流程圖

目標函數(shù)設置如下：

(26)

式中：yi為擬合曲線對應試驗應變點的應力值；y′i為試驗數(shù)據(jù)應力值；n為試驗數(shù)據(jù)點數(shù)。

種群個數(shù)200，精英個數(shù)10，交叉變異概率0.85，結(jié)束條件是兩次個體最優(yōu)適應度誤差小于10-15.

設計變量及約束條件：分數(shù)階系數(shù)的范圍為0<α<1，準態(tài)系數(shù)的范圍為κ=C×109,68.5

3.2 擬合結(jié)果

以常應變率單軸循環(huán)拉伸試驗數(shù)據(jù)的加載段為基礎，采用遺傳算法分別對應3種應變率和3種應變幅值共9組數(shù)據(jù)，擬合出α、C、w值而后代入卸載程序，得到加卸載循環(huán)拉伸曲線。

對廣義分數(shù)階Maxwell模型的擬合結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 應變率0.002 5%/s時不同應變幅值的試驗擬合應力應變曲線對比

圖8 應變率0.005 0%/s時不同應變幅值的試驗擬合應力應變曲線對比

從圖7～圖9中的試驗數(shù)據(jù)可以看出，廣義分數(shù)階Maxwell模型的擬合數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)總體上吻合較好，加卸載曲線在中心線上具有對稱性，可以清晰地反映阻尼合金的非線性本構(gòu)關系，但在應變振幅為0.05%的情況下滯回面積普遍較窄。這是因為阻尼合金的滯回曲線與應變幅值正相關，應變幅值較小則滯回面積也較小，加上由于試驗數(shù)據(jù)采集過程中的誤差所導致，并不是由于模型缺陷造成。

圖9 應變率0.010 0%/s時不同應變幅值的試驗擬合應力應變曲線對比

廣義分數(shù)階Maxwell模型擬合結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的擬合效果評估指標如表5所示。從表5中可看出，廣義分數(shù)階Maxwell模型與試驗數(shù)據(jù)擬合效果較好，與試驗數(shù)據(jù)相比均方差值在0.468 4～2.651 0之間，確定系數(shù)均可達0.992 9以上。α的范圍為0.026 0～0.131 5，C的范圍為83.956 9～102.355 7，w值穩(wěn)定在0.500 0～0.538 0之間。

表5 廣義分數(shù)階Maxwell模型的擬合效果評估

然而α、C和w的值在1～9組中均不相同，表明M2052的阻尼能力與應變速率和應變幅值有關。在相同的應變速率下，隨應變幅值的增大，α和C均呈現(xiàn)非單調(diào)變化，w隨應變幅值的增大而單調(diào)下降。在相同的應變幅值下，隨著應變率的變化，α、C和w值也會變化，但沒有特殊規(guī)律。這意味著廣義分數(shù)Maxwell方程的系數(shù)需要根據(jù)不同來確定，從而限制了本構(gòu)模型的使用，因此需要拓展其適用性。

4 廣義分數(shù)階Maxwell本構(gòu)模型適用性

4.1 廣義分數(shù)階Maxwell本構(gòu)模型參數(shù)表達式確定

為了提高模型的可用性，本文通過計算相同應變幅值不同應變率時各參數(shù)的平均值，分析模型參數(shù)與加載條件之間的關系。通過該方法減小了應變率變化對擬合效果的影響，得到了應變幅值與各參數(shù)的變化規(guī)律。在此基礎上，無需再進行特定試驗即可確定廣義分數(shù)階Maxwell模型參數(shù)。

首先，需要評估用相同應變幅值下不同應變率時各參數(shù)平均值代替原參數(shù)值的影響。將相同應變振幅下不同應變速率下的參數(shù)取平均值(見表6)，代入原各工況，得到平均化的各參數(shù)值如表7所示。

表6 相同應變振幅下不同應變率時模型參數(shù)的平均值

表7中的平均值代入MATLAB軟件中進行數(shù)值計算，并將結(jié)果與常應變率下單軸循環(huán)拉伸試驗數(shù)據(jù)和原模型參數(shù)擬合曲線進行比較，結(jié)果如表8所示。

表7 不同加載條件平均后的模型參數(shù)

從表8中可以看出，與試驗數(shù)據(jù)和原模型參數(shù)擬合曲線相比，平均參數(shù)擬合誤差均在可接受范圍內(nèi)，R2(確定系數(shù))值均大于0.995 4.因此，可以忽略應變率的影響，用均值參數(shù)代替原始參數(shù)。然后根據(jù)平均參數(shù)與應變的關系，提出各參數(shù)關于應變幅值的函數(shù)，如圖10～圖12所示。廣義分數(shù)階Maxwell模型各參數(shù)與應變關系擬合函數(shù)如表9所示。

表8 平均參數(shù)擬合曲線與試驗曲線和原始模型參數(shù)擬合曲線的誤差

由圖10～圖12中可以看出，表9中的方程對于各參數(shù)隨應變的變化都有較好的擬合結(jié)果。因此，可以使用表9中的函數(shù)計算在彈性范圍內(nèi)其他加載條件下的模型參數(shù)值，而不用進行特定的常應變率單軸循環(huán)拉伸試驗，從而擴展了廣義分數(shù)階Maxwell模型的實用性。

表9 各參數(shù)的擬合函數(shù)

圖10 不同條件下α值和均值α曲線擬合

圖11 不同條件下C值和均值C曲線擬合

圖12 不同條件下w值和均值w曲線擬合

4.2 廣義分數(shù)階Maxwell模型擬合性能對比

為了說明廣義分數(shù)麥克斯韋模型的適用性，還對其擬合性能與其他模型進行比較。選取應變率為0.005%/s，應變幅值為0.125%時的試驗應力-應變曲線作為擬合基準，其單軸循環(huán)拉伸應力應變曲線如圖13所示。

圖13 應變率0.005%/s時應變幅值0.125%的滯回曲線

選擇常用于表達黏彈性的Maxwell二參數(shù)模型(經(jīng)典Maxwell模型)，Maxwell三參數(shù)模型模型(標準線性固體模型)，Maxwell四參數(shù)模型[26]進行對比。其他模型的方程如表10所示，經(jīng)過MATLAB軟件擬合出其方程各參數(shù)及與應變率為0.005%/s、應變幅值為0.125%時的滯回曲線試驗數(shù)據(jù)相比的誤差如表11所示。

表10 對比模型的方程表達式

表11 對比模型的擬合參數(shù)及誤差

根據(jù)表9所示廣義分數(shù)階Maxwell模型各參數(shù)的擬合函數(shù)，得出當應變率為0.005%/s，0.125%應變幅值下的廣義分數(shù)階Maxwell模型各參數(shù)值分別為α=0.104 383，w=0.501 310，C=92.810 412.最終各模型對于選定試驗數(shù)據(jù)的擬合對比圖如圖14所示。

圖14 各模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合對比圖(應變率0.005%/s，應變幅值0.125%)

從圖14中可以看出，經(jīng)典Maxwell模型、Maxwell三參數(shù)模型和Maxwell四參數(shù)模型不適用于描述非線彈性材料的加載過程。它們的擬合結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)偏差較大，對于試驗結(jié)果的擬合更趨于線性。Maxwell四參數(shù)模型擬合結(jié)果優(yōu)于經(jīng)典Maxwell模型和Maxwell三參數(shù)模型，但采用表9中的擬合函數(shù)確定的廣義分數(shù)階Maxwell模型能較好地擬合試驗數(shù)據(jù)。這一方面驗證了擬合函數(shù)可以很好地預測不同加載條件下廣義分數(shù)階Maxwell模型的各參數(shù)并取得較好擬合效果，也證明了廣義分數(shù)階Maxwell模型相比于其他黏彈性模型能更好地解釋阻尼合金的非線性本構(gòu)關系。

5 結(jié)論

本文根據(jù)錳銅基阻尼合金高阻尼特性的產(chǎn)生機理，以M2052錳銅基阻尼合金為研究對象，提出了阻尼合金三參數(shù)廣義分數(shù)階Maxwell本構(gòu)模型，通過常應變率下單軸循環(huán)拉伸試驗，驗證了廣義分數(shù)階Maxwell模型的準確性，并研究分析了廣義分數(shù)階Maxwell模型的適用性。得出以下主要結(jié)論：

1)從常應變率單軸循環(huán)拉伸試驗可以看出，錳銅基阻尼合金的本構(gòu)關系具有很強的非線性，應力-應變曲線加載階段與卸載階段并不重合，總體形狀呈梭型，在拉伸后可回到初始位置、不產(chǎn)生塑性變形，滯回面積隨著最大應變幅值增大而增大，滯回面積關于應變率變化的規(guī)律仍需進一步研究。

2)廣義分數(shù)階Maxwell模型可以很好地模擬阻尼合金本構(gòu)關系的非線性特性，仿真曲線光滑，且關于中心線對稱，更便于設計使用；通過引入權(quán)重系數(shù)w，可以將模型參數(shù)減少為3個待定參數(shù)，關于常應變率下單軸循環(huán)拉伸試驗各工況的擬合，均方差值在0.468 4～2.651之間，確定系數(shù)均大于0.992 9.

3)通過采用均值系數(shù)的方法，可解決廣義分數(shù)階Maxwell模型參數(shù)需要特定單軸循環(huán)拉伸試驗確定的問題，拓展了模型的適用性，經(jīng)過與其他黏彈性模型的對比分析，證明廣義分數(shù)階Maxwell模型較其他黏彈性模型，可更好地模擬阻尼合金的非線性特性。

綜上所述，廣義分數(shù)階Maxwell模型可以作為M2052阻尼合金的本構(gòu)模型，模擬反映阻尼合金的非線性本構(gòu)關系，改進工程上將其視為線彈性材料產(chǎn)生的誤差，為更好地設計和應用錳銅基阻尼合金提供理論支撐。