趙云平

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2012-5640-9014

摘? 要：群上既是模糊左相容，又是模糊右相容的模糊等價(jià)關(guān)系稱為群上的模糊同余關(guān)系。模糊同余關(guān)系屬于模糊二元關(guān)系，是一種特殊形式的模糊集合，它具有模糊性，模糊性是客觀事物中的不分明性和不確定性，其根源在于客觀事物的差異之間存在著中介過渡。本文在模糊同余關(guān)系的基礎(chǔ)上，給出了模糊同余關(guān)系下的相似關(guān)系、模糊相融、二元關(guān)系、模糊子群的概念，并討論了模糊同余的一系列性質(zhì)，得到了幾個(gè)有意義的類似于群論基本定理的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：模糊關(guān)系? 代數(shù)? 模糊同余? 模糊群

中圖分類號(hào)：G64 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2021）03（c）-0223-04

Fuzzy Congruences and Fuzzy Groups

ZHAO Yunping

（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan Province， 677000 China）

Abstract： The fuzzy congruence refers to the fuzzy equivalence relation on the group compatible with the left and the right. As a special form of fuzzy set with fuzziness， it belongs to fuzzy binary relation. Fuzziness is the ambiguity and uncertainty in objective things which originates from the existence of differences between objective things and intermediary transition. Based on fuzzy congruence relations， this paper gives the concepts of similar relations， fuzzy fusion， binary relations， and fuzzy subgroups under fuzzy congruence relations， discusses a series of properties of fuzzy congruence， and obtains several meaningful conclusions similar to the basic theorem of group theory.

Key Words： Fuzzy relations; Algebra; Fuzzy congruences; Fuzzy groups

1965年美國(guó)控制論專家、數(shù)學(xué)家Zadeh教授創(chuàng)立了模糊集理論，為描述和研究模糊現(xiàn)象提供了有力的數(shù)學(xué)工具。1976年E.Sanchez利用模糊思想對(duì)模糊關(guān)系進(jìn)行了研究。Zadeh最早介紹了模糊集的概念，后來Murali和Nemitz引出集合上的模糊等價(jià)關(guān)系。1993年，Samhan定義了半群上的模糊同余。此后不少學(xué)者將模糊數(shù)學(xué)理論與代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合，提出了模糊半群、模糊群等概念，這些理論豐富了模糊數(shù)學(xué)的內(nèi)容。本文在模糊關(guān)系與模糊同余概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了群的模糊同余的性質(zhì)，得到了幾個(gè)模糊同余的基本結(jié)論。

1? 基本概念

定義1[1]：設(shè)X是非空集合，X上的模糊二元關(guān)系R稱為相似關(guān)系，如果R滿足：

定義2[2]：設(shè)G是一個(gè)群，G上的模糊二元關(guān)系R稱為模糊左（右）相容的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意，有。

定義3[2]：群G上的模糊二元關(guān)系R稱為模糊相容的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意，有。

定義4[3]：群G上的模糊相容的相似二元關(guān)系R稱為模糊同余。

定義5[4]：設(shè)P為集合X到Y(jié)上的模糊二元關(guān)系，Q為集合Y到Z上的模糊二元關(guān)系，定義P與Q的合成關(guān)系為，使。

定義6[5]：設(shè)H是群G的子集，稱H是G的模糊子群，當(dāng)且僅當(dāng)

顯然，若H是G的模糊子群，。

定義7[5]：群G的模糊子群H，稱為正規(guī)的當(dāng)且僅當(dāng)，有，設(shè)H是群G的模糊子群，對(duì)，下列結(jié)論等價(jià)：

（1）H是群G的模糊正規(guī)子群;

定義8[6]：設(shè)H是群G的模糊子群，，則gH（Hg）稱為G的A左（右）陪集。

2? 主要結(jié)論

定理1：如果P，Q是群G上的模糊同余，則

證明：設(shè)a，b∈G，則對(duì)于，使，從而

因而，

同理可證故

由格的定義，有定理2。

定理2：若是群G的模糊同余格，則是模格。

證明：設(shè)≤，若

則，且存在g∈G，使

因P≤R，則有≤。

由R的傳遞性，有

≤≤R（a，b）

從而有

又由

因此，，故而≤，從而，C（G）是模格。

定義9：設(shè)A是集合X上的模糊二元關(guān)系，令

為一函數(shù)，

定理3：若F是群G的模糊同余，則Fe是G的模糊正規(guī)子群。

證明：

因此，F(xiàn)e是G的模糊子群.

又由

故Fe是G的模糊正規(guī)子群。

定理4：若P是群G的模糊同余，則P關(guān)于x的模糊同余類Px是Pe在G的模糊陪集，反之Pe在G的任意模糊陪集是P的模糊同余類.

證明：

因此，即Px是Pe在G的模糊陪集。反之，顯然成立。

定理5：若Q是群G的模糊同余，則按運(yùn)算構(gòu)成群;對(duì)，映射定義為，則是G/Q的模糊子群。

證明：，故是群。

又由

從而，是G/Q的模糊子群。

記N（G）為G的所有模糊正規(guī)子群N的集合，且滿足N（e）=1。定理6：對(duì)，存在雙射，使得

證明：定義映射

于是對(duì)

因而≥，從而的是相似關(guān)系。

設(shè)，則

由于N是G的模糊正規(guī)子群，于是

故是G的模糊同余，且映射β是良定義。

對(duì)

從而，，反之，

則，即α是雙射。

設(shè)，則有

即

由定理6可知

是格同構(gòu)。

3? 結(jié)語

模糊數(shù)學(xué)是一門新的學(xué)科，是嶄新的數(shù)學(xué)分支。模糊集理論是對(duì)一類客觀事物和性質(zhì)進(jìn)行更合理的抽象和描述，是傳統(tǒng)集合理論的必然推廣。L.A.Zade提出的模糊集概念將一般的集合以隸屬函數(shù)的概念推廣到模糊集，為模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展與成熟奠定了深厚的基礎(chǔ)。本文結(jié)合模糊等價(jià)關(guān)系與群的概念，研究了群的模糊同余的一些性質(zhì)?？紤]將條件拓寬，還可以進(jìn)一步研究模糊同余的其它性質(zhì)，進(jìn)而產(chǎn)生更多有意義的結(jié)果，不斷豐富模糊數(shù)學(xué)。

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