田智鯤,王建云
(1.湖南工程學(xué)院計算科學(xué)與電子學(xué)院,湘潭 411104;2.湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,株洲 412007)
薛定諤(Schr?dinger)方程由奧地利物理學(xué)家薛定諤于1926 年提出,是量子力學(xué)最基本的方程,揭示了原子世界中物質(zhì)運動的基本規(guī)律,主要被用來描述微觀粒子運動規(guī)律.當微觀粒子所處的力場確定后,粒子所處的狀態(tài)可由薛定諤方程來描述.薛定諤方程在原子、固體物理、非線性媒體中的激光束掃描、核物理、化學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.在實際復(fù)雜的系統(tǒng)中,由于包含復(fù)數(shù)且為耦合的問題,其精確解往往不容易求得,因此人們越來越重視求其數(shù)值解,常用的數(shù)值方法主要有差分法、有限元法、混合元法、間斷有限元法、譜方法、兩網(wǎng)格方法等.
兩網(wǎng)格方法最初由許進超教授提出,他在文獻[1-2]中,針對求解非對稱不定橢圓問題以及非線性橢圓問題,引入粗細兩個子空間進行離散,構(gòu)造了一系列的兩網(wǎng)格有限元算法,在保持漸近最優(yōu)逼近的同時,能夠提高計算的效率.幾乎在同一時期,黃云清教授和陳艷萍教授在文獻[3]中,研究了非線性奇異兩點邊值問題的多層迭代校正算法,并獲得了收斂性誤差估計和逼近解的漸近展式.目前,兩網(wǎng)格方法已成功被應(yīng)用到求解拋物方程、反應(yīng)擴散方程、滲流驅(qū)動方程等,具體見參考文獻[4-9].金繼承教授等在文獻[10]中首次將兩網(wǎng)格方法運用到求解一類耦合的偏微分方程組,構(gòu)造了解耦的有限元兩網(wǎng)格算法.后來兩網(wǎng)格有限元方法被應(yīng)用到求解薛定諤方程,具體見參考文獻[11-13].但是利用兩網(wǎng)格混合有限元方法求解薛定諤方程的研究不多,本文考慮一類線性薛定諤方程,在擬一致剖分的三角形網(wǎng)格上,構(gòu)造一種全離散的兩網(wǎng)格混合有限元算法,并通過數(shù)值算例來驗證該算法的高效性.
考慮如下依賴于時間的線性薛定諤方程的初邊值問題
其中Ω?R2為凸多邊形區(qū)域,J=(0,T]為時間區(qū)間,初始函數(shù)u0(x,y)右端項函數(shù)f(x,y,t)及未知函數(shù)u(x,y,t)都為復(fù)函數(shù),勢能函數(shù)b(x,y)為已知的有界實函數(shù).
記Wm,p為區(qū)域Ω上的標準Sobolev 空間,其范數(shù)定義為,并且當p=2 時,相應(yīng)的范數(shù)簡記為||?||=||?||0,2.對于任意兩個復(fù)函數(shù)φ(x,y),ψ(x,y)∈L2(Ω),定義其內(nèi)積為(φ,ψ)=,其中為復(fù)函數(shù)ψ(x,y)的共軛,對應(yīng)的L2范數(shù)為
設(shè)空間V=H(div;Ω)={v∈(L2(Ω))2,??v∈L2(Ω)},W=L2(Ω).記Γh為區(qū)域Ω上的擬一致三角形網(wǎng)格剖分,其中網(wǎng)格步長0 令變量q=?u,則問題(1)的變分形式可以定義為:求(u,q)∈W×V滿足 時間方向利用向后歐拉方法,則問題(2)的全離散混合有限元解∈Wh×Vh可以定義為滿足如下格式 設(shè)Wh×Vh和WH×VH?Wh×Vh為空間網(wǎng)格步長分別為h和H(0 第一步:在粗網(wǎng)格ΓH上,求解()∈WH×VH滿足原實部和虛部耦合的方程組 第二步:在細網(wǎng)格Γh上,求解()∈Wh×Vh滿足下列實部和虛部已經(jīng)解耦的方程組 考慮如下二維依賴于時間的線性薛定諤方程 其中Ω=[-1,1]×[-1,1],J=(0,1],右端函數(shù)f(x,y,t)選擇滿足如下精確解 u(x,y,t)=(1 +i)etsin(πx)sin(πy). 設(shè)ΓH和Γh為區(qū)域Ω的擬一致三角形網(wǎng)格剖分,其中空間網(wǎng)格步長分別為H和h=H2,利用RT0混合有限元進行數(shù)值求解,()為細網(wǎng)格Γh上計算得到的混合有限元解,為粗網(wǎng)格ΓH和細網(wǎng)格Γh上得到的兩網(wǎng)格混合有限元解.取時間步長τ=10-3,分別取網(wǎng)格步長h=1/4、1/16、1/64,計算精確解與混合有限元解的誤差和,精確解與兩網(wǎng)格混合有限元解的誤差,誤差結(jié)果及計算機CPU 運行時間如表1~表8 所示. 表1 混合有限元解在t=0.1的誤差及時間 表2 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=0.1的誤差及時間 表3 混合有限元解在t=0.2的誤差及時間 表4 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=0.2的誤差及時間 表5 混合有限元解在t=0.5的誤差及時間 表6 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=0.5的誤差及時間 表7 混合有限元解在t=1.0的誤差及時間 表8 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=1.0的誤差及時間 從表1~表8 的數(shù)值結(jié)果可以看出,兩網(wǎng)格混合有限元解的誤差與標準混合有限元解的誤差非常接近,通過對比兩種方法的計算機CPU 運行時間,可以看出兩網(wǎng)格算法的計算效率更高,并且隨著空間網(wǎng)格的加密,計算規(guī)模將不斷增大,兩網(wǎng)格算法的優(yōu)勢將更加明顯. 本文研究了兩網(wǎng)格方法在求解線性薛定諤方程中的應(yīng)用,先得到一種向后歐拉全離散混合有限元格式,然后構(gòu)造了一種兩網(wǎng)格算法,并說明了兩網(wǎng)格算法在求解線性薛定諤方程中的思想,最后利用RT0 混合有限元進行了數(shù)值計算,實驗結(jié)果驗證了該算法的高效性.2 兩網(wǎng)格混合有限元算法
3 數(shù)值實驗
4 結(jié)語