汪 暉，齊宗會(huì)，馬海騰，劉建春，許貴橋

（1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387；2.天津商業(yè)大學(xué)寶德學(xué)院，天津300384；3.天津財(cái)經(jīng)大學(xué)管理可計(jì)算建模協(xié)同創(chuàng)新中心，天津300222；4.天津天獅學(xué)院數(shù)理教學(xué)部，天津301700）

1 引言和主要結(jié)論

對(duì)于1≤p≤+∞，全體p冪Lebesgue可積函數(shù)f：[a，b]→R構(gòu)成的空間記為L(zhǎng)p[a，b]，其范數(shù)記為‖·‖p.對(duì)于r∈N（正整數(shù)集），用Wpr表示函數(shù)類：

Wpr={f(r-1)在[a，b]上絕對(duì)連續(xù)，‖f(r)‖p＜+∞}

函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的范數(shù)之間的關(guān)系在調(diào)和分析和函數(shù)逼近論中扮演著重要角色.關(guān)于這方面的研究有許多著名不等式，如Landau-Kolmogorov不等式、Gorny不等式、Wirtinger不等式、Picone不等式、Schmidt不等式和Sobolev不等式等，其中Picone不等式是一類非常重要的不等式.最早的Picone不等式出現(xiàn)在1927年[1]：對(duì)任意具有r-階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的2T-周期函數(shù)f，有

關(guān)于Picone不等式的研究主要集中在兩方面：一方面討論某些微分方程的解函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)范數(shù)之間的關(guān)系，如：文獻(xiàn)[2]給出了半線性動(dòng)力學(xué)方程的Picone不等式，文獻(xiàn)[3]給出了一類一階非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Picone不等式；另一方面討論Sobolev空間中的函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)有零點(diǎn)時(shí)各階導(dǎo)數(shù)范數(shù)之間的關(guān)系，這方面的研究與插值逼近誤差估計(jì)中的最優(yōu)常數(shù)C（r，s，p，q）的確定是同一問(wèn)題，這里HΘf是f基于r個(gè)插值結(jié)點(diǎn)的代數(shù)多項(xiàng)式插值，且0≤s≤r.文獻(xiàn)[4]首先對(duì)Lagrange插值確定了C（r，s，∞，∞），0≤s＜r.之后，文獻(xiàn)[5]對(duì)Hermite插值確定了C（r，s，∞，∞）.注意到文獻(xiàn)[4-5]的證明都是基于繁雜的極值討論，且所得結(jié)果都是p=q=∞的情形，文獻(xiàn)[6]討論了基于分段三次Hermite插值的誤差，首次利用計(jì)算積分型算子范數(shù)的方法確定了C（3，s，1，1）和C（3，s，∞，∞），0≤s≤2.之后，文獻(xiàn)[7]利用計(jì)算積分型算子特征值的方法確定了Birkhoff插值基于結(jié)點(diǎn){0，1}的C（r，0，2，2），文獻(xiàn)[8]利用與文獻(xiàn)[7]相同的方法確定了基于等距結(jié)點(diǎn)的分段Hermite插值的C（r，0，2，2）.

注意到文獻(xiàn)[7-8]的結(jié)果所對(duì)應(yīng)的是精確的Wirtinger不等式，即s=0，本文基于Lagrange插值得到了一類新的精確的Picone不等式，即1≤s≤r-1的情形.本文主要結(jié)論如下：

定理設(shè)a≤x1＜x2＜…＜xr≤b，則對(duì)任給的滿足條件f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0的函數(shù)f∈Wqr[a，b]，有精確不等式

2 定理的證明

首先介紹與Picone不等式相關(guān)的Lagrange插值.若x0，x1，…，xn∈[0，1]且互不相等，那么對(duì)于f∈C[0，1]，存在一個(gè)次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式Ln（f，t）（稱為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式）滿足插值條件

下面引入關(guān)于Lagrange插值的積分型余項(xiàng)表達(dá)式.對(duì)于0≤i≤n，令

并且定義特征函數(shù)χt（s）：

由文獻(xiàn)[9]的式（8）可得

特別地，若f（xi）=0（1≤i≤n），那么取x0=x，則式（5）可變形為

其中

結(jié)合式（4）和式（6）可得

對(duì)B（x，t）關(guān)于x求s階導(dǎo)數(shù)，可得

這里當(dāng)i＜0時(shí)，記xi=0，行列式第一行最后的“1”變?yōu)椤?”.由式（8）可知在[0，1]2上當(dāng)0≤s≤r-2時(shí)連續(xù)，當(dāng)s=r-1時(shí)逐段連續(xù)，并且f的s階導(dǎo)數(shù)為

令H和G為2個(gè)Hilbert空間，其范數(shù)分別為‖·‖H和‖·‖G.設(shè)S：H→G為緊線性算子，則非負(fù)自伴算子W=S*S：H→H也是緊的，其中S*表示S的對(duì)偶算子.W的特征對(duì)序列記為{（λj，ej）}j∈N，即λ1≥λ2≥…≥λj≥…，并且W（ej）=λj ej，則S的范數(shù)為

下面考慮積分型算子的算子范數(shù).設(shè)K（x，t）為定義在[0，1]2上的逐段連續(xù)函數(shù)，定義

則對(duì)于所有的1≤p、q≤+∞，S均為從Lq[0，1]到Lp[0，1]的緊線性算子.S從Lq[0，1]到Lp[0，1]的算子范數(shù)記為‖S‖p，q，則有

另外，由文獻(xiàn)[10]可知

引理設(shè)0≤x1＜x2＜…＜xr≤1，則對(duì)任給的滿足條件f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0的函數(shù)f∈Wqr[0，1]，有精確不等式

其中C（r，s，p，q）是由

給出的算子Ts從Lq[0，1]到Lp[0，1]的范數(shù).另外，C（r，s，p，q）滿足

其中λ1是算子

的最大特征值，這里

證明若f∈Wqr[0，1]滿足f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0，則由式（9）取n=r可得

由式（22）可得

另一方面，對(duì)任意的g∈Lq[0，1]，令

其中Lr是基于插值節(jié)點(diǎn)x1，x2，…，xr的Lagrange插值多項(xiàng)式.由Lr f的最高次數(shù)不超過(guò)r-1，容易驗(yàn)證f(r)=g，f（x1）=f（x2）=…=f（xr）=0，因此式（22）可轉(zhuǎn)化為

由式（24）可得由式（23）和式（25）可得式（15）成立，另外，結(jié)合式（16）和式（12）、式（13）、式（10）分別可得式（17）、式（18）、式（19）.引理證畢.

定理的證明對(duì)于f∈Wqr[a，b]，令g（t）=f（a+（b-a）t），則g∈Wqr[0，1]，由引理及該變換經(jīng)計(jì)算可得定理結(jié)論.

3 定理的算例

下面給出利用式（17）～式（19）計(jì)算最優(yōu)常數(shù)的一個(gè)算例.

由式（26）可驗(yàn)證得

先考慮C（3，1，1，1）.當(dāng)時(shí)，由式（17）、式（26）～式（27）直接計(jì)算可得

因此

然后考慮C（3，1，∞，∞）.當(dāng)時(shí)，由式（18）、式（26）～式（27）直接計(jì)算可得

因此

下面考慮C（3，1，2，2）.由式（19）和式（27）可得

類似可得

由式（33）可知僅需計(jì)算K1（*x，t）在上的值.由式（26）和式（21）計(jì)算可得

設(shè)g為由式（20）給出的算子W1的正特征值λ所對(duì)應(yīng)的特征向量，即λg（x）=W（1g，x）.當(dāng)時(shí)，結(jié)合式（34）及關(guān)系式

計(jì)算可得

在式（35）中令x=0，可得

對(duì)式（35）兩端求一階導(dǎo)數(shù)，并令x=0，可得

對(duì)式（35）兩端求四階導(dǎo)數(shù)可得

由式（39）容易驗(yàn)證此時(shí)g（x）仍然滿足式（38），并且有

對(duì)式（41）求一階導(dǎo)數(shù)可得

將式（36）～式（37）和式（40）分別代入式（41）～式（42），經(jīng)化簡(jiǎn)得到如下含有4個(gè)未知數(shù)cj（j=1、2、3、4）的線性方程組

方程組（43）對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式滿足

使用Mathematica軟件計(jì)算得μ1≈4.73，并且有λ1=μ1-2.結(jié)合式（17）可得C（3，1，2，2）≈0.211.

以下考慮s=2的情形.由式（8）可得

由式（44）可驗(yàn)證得

先考慮C（3，2，1，1）.當(dāng)時(shí)，由式（17）、式（44）～式（45）計(jì)算可得

結(jié)合式（17）和式（46）可得

然后考慮C（3，2，∞，∞）.當(dāng)時(shí)，由式（18）、式（44）～式（45）計(jì)算可得

結(jié)合式（18）和式（48）可得

下面考慮C（3，2，2，2）.由式（19）和式（45）可得

類似可得

由式（51）可知僅需計(jì)算K2*（x，t）在上的值.由式（44）和式（21）計(jì)算可得

設(shè)g為由式（20）給出的算子W2的正特征值λ所對(duì)應(yīng)的特征向量，即λg（x）=W2（g，x）.當(dāng)時(shí)，由式（52）并利用max{a，b}和min{a，b}關(guān)于a、b的表達(dá)式計(jì)算可得

在式（53）中令x=0，可得

對(duì)式（53）兩端求三階導(dǎo)數(shù)可得

由式（56）容易驗(yàn)證此時(shí)g（x）仍然滿足式（55），并且有

對(duì)式（58）求二階導(dǎo)數(shù)可得

取x=0，再結(jié)合式（54）、式（58）、式（59）和式（53）可得

將式（54）和式（57）分別代入式（58），并計(jì)算式（60），經(jīng)化簡(jiǎn)得到如下含有3個(gè)未知數(shù)cj（j=1、2、3）的線性方程組

其中：

方程組（61）對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式滿足

由上式可得μ1=π，因此λ1=π-2.結(jié)合式（19）可得C（3，2，2，2）=π-1.