王俊杰 滕 雷 佴 晉 王隆安

(山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 青島 266590)

0 引言

利用全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)技術(shù)和重力場(chǎng)模型構(gòu)建局部似大地水準(zhǔn)面的關(guān)鍵在于高程異常的獲取,通常采用“移去—恢復(fù)法”與擬合模型相結(jié)合的方法[1-6]。鄭荃心將Shepard擬合與二次曲面擬合相結(jié)合,得出該方法擬合效果較好[7];方懿基于某測(cè)區(qū)數(shù)據(jù),結(jié)合Matlab軟件,得出二次多項(xiàng)式曲面擬合與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的組合方法擬合精度較高[8];楊丹等對(duì)多面函數(shù)擬合法中核函數(shù)的選取進(jìn)行分析[9]?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中Shepard插值在構(gòu)建局部似大地水準(zhǔn)面方面應(yīng)用較少,少有的應(yīng)用也僅涉及一類模型,未能形成系統(tǒng)性的應(yīng)用成果。本文擬通過多項(xiàng)式曲面、多面函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等3種方法下屬的12類模型與Shepard插值分兩步相結(jié)合進(jìn)行精度分析,探討組合模型的優(yōu)越性。

1 Shepard插值

Shepard插值為統(tǒng)計(jì)模型內(nèi)插算法,實(shí)質(zhì)是反距離加權(quán)的最小二乘法,適用于大規(guī)模散亂數(shù)據(jù)擬合問題。其權(quán)函數(shù)表達(dá)式如式(1)所示[10]:

(1)

式中，d為樣本點(diǎn)間的距離;R為影響半徑,取d的平均值。待求點(diǎn)的屬性值見式(2):

(2)

式中，ξj為待求點(diǎn)屬性值;ξi為已知點(diǎn)屬性值;n為待求點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2 組合模型

2.1 基礎(chǔ)模型

常用于高程擬合的數(shù)學(xué)模型有多項(xiàng)式曲面、多面函數(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。

2.1.1多項(xiàng)式曲面

多項(xiàng)式曲面是在高程異常和地面之間建立一定的函數(shù)映射關(guān)系,進(jìn)行局部高程擬合。

多項(xiàng)式曲面模型如式(3)所示[11]:

ξ=f(X,Y)=a0+a1X+a2Y+a3X2+

a4Y2+a5XY+…

(3)

式中，ξ為高程異常;ai為待擬合參數(shù);X與Y為地面點(diǎn)的大地緯度和經(jīng)度。根據(jù)參數(shù)的個(gè)數(shù)又可分為一次多項(xiàng)式、相關(guān)曲面、二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式等。

2.1.2多面函數(shù)

多面函數(shù)擬合是利用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面逼近局部似大地水準(zhǔn)面[12]。其表達(dá)式為式(4):

(4)

式中，ξ為高程異常;ki為待定系數(shù);Q(x,y,xi,yi)為核函數(shù)。核函數(shù)多選擇對(duì)稱的簡單函數(shù),通過對(duì)幾種常用核函數(shù)的對(duì)比分析,提出一種簡單核函數(shù)的通用公式,見式(5):

Q(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi)2+(y-yi)2+σ]γ

(5)

式中，γ分別取-0.5、0.5和1.5;σ為平滑因子。根據(jù)是否添加常數(shù)項(xiàng)或平滑因子可分為正雙曲面、倒雙曲面、錐面、三次曲面等。

2.1.3神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

這里使用兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:①BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是最傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,在處理非線性映射問題上具有很強(qiáng)的自組織能力；②徑向基(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種新穎的前饋式三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),可以加快學(xué)習(xí)速度并避免局部極小問題,本次基函數(shù)選擇二次多項(xiàng)式[13]。

2.2 兩步Shepard組合模型的建立

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型求得的高程異常ξ,殘差曲線難免會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)和殘差值過大的奇異點(diǎn),基于Shepard插值思想的組合模型可以提高擬合精度。組合模型的步驟為:

(1)根據(jù)已知點(diǎn)數(shù)據(jù),用基礎(chǔ)模型求出已知點(diǎn)和未知點(diǎn)的高程異常擬合值ξ0和ξ1,獲得已知點(diǎn)高程異常殘差?1;

(2)第一步Shepard插值,按式(1)進(jìn)行定權(quán),以已知點(diǎn)高程異常為屬性值,通過式(2)求出未知點(diǎn)高程異常擬合值ξ2;

(3)第二步Shepard插值,定權(quán)方式同上,以?1為屬性值,通過式(2)求出殘差改正值σ1;

(4)ξ2與σ1相減,即可求出未知點(diǎn)的高程異常擬合值。

雖然Shepard插值單獨(dú)使用光滑性和光順性較差,但數(shù)學(xué)擬合模型的使用彌補(bǔ)了這一點(diǎn),數(shù)學(xué)模型擬合整體變化趨勢(shì),Shepard插值調(diào)整局部奇異點(diǎn),結(jié)合兩種模型優(yōu)點(diǎn)的組合模型,整體和局部相結(jié)合,提高擬合精度。

2.3 精度評(píng)定

采用內(nèi)符合精度、外符合精度、極差和效率公式對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行精度評(píng)定。內(nèi)、外符合精度公式如式(6)所示[14]:

(6)

式中，n1、n2分別為擬合點(diǎn)和檢核點(diǎn)的數(shù)量,V為殘差值。極差為殘差中最大值與最小值的差值,公式為式(7):

?=δmax-δmin

(7)

式中，?為極差,δmax和δmin為殘差中最大值與最小值。

效率公式為式(8):

(8)

式中，T為效率,t1為基礎(chǔ)模型功效,t2為組合模型功效。

3 算例分析

算例為香港部分地區(qū)公開的控制點(diǎn)數(shù)據(jù)、高精度水準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)及GPS高程數(shù)據(jù),該地區(qū)面積約為400 km2,地表起伏變化較為緩和。大地坐標(biāo)參考框架為ITRF96,高程基準(zhǔn)為香港高程基準(zhǔn)面(Hong Kong Principal Datum，HKPD),點(diǎn)位高程數(shù)據(jù)通過精密水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)得,點(diǎn)數(shù)42個(gè),位置如圖1所示。分別選擇21個(gè)已知點(diǎn)和檢核點(diǎn),通過不同的基礎(chǔ)模型和對(duì)應(yīng)的組合模型進(jìn)行精度對(duì)比分析。

圖1 點(diǎn)位分布圖

3.1 基于多項(xiàng)式曲面的組合模型

四種多項(xiàng)式及其對(duì)應(yīng)的組合模型殘差曲線如圖2所示。

圖2 四種多項(xiàng)式及組合模型殘差

從圖2可以看出,多項(xiàng)式曲面模型中段波動(dòng)較為平緩,前、后半段波動(dòng)較為劇烈且有殘差過大的奇異點(diǎn)出現(xiàn);隨著參數(shù)增加,殘差曲線整體平穩(wěn)度提升,但后半段奇異點(diǎn)的影響變大,最大為13.28 cm,奇異點(diǎn)出現(xiàn)的原因包括測(cè)量誤差、選取的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)分布不合理等。組合模型中,基于一次曲面的組合模型殘差曲線整體變化不大;其他三種組合模型殘差曲線前半段擬合效果較好,殘差曲線接近0值,后半段效果較差,出現(xiàn)個(gè)別殘差改正過大情況,具體精度對(duì)比如表1所示。

由表1可知,基于四種多項(xiàng)式曲面的組合模型,外符合精度較原來有所提高,最大為三次多項(xiàng)式,提高了14%,最小為一、二次多項(xiàng)式,提高了3%,平均提高8%;極差均有降低,最大的為相關(guān)曲面,降低了29%,最小的為三次多項(xiàng)式,降低了11%,平均降低21%。

表1 四種多項(xiàng)式組合模型精度對(duì)比

3.2 基于多面函數(shù)的組合模型

選擇核心點(diǎn)個(gè)數(shù)為11個(gè),且在區(qū)域內(nèi)均勻選取,設(shè)置相同的平滑因子, 六種多面函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的組合模型殘差曲線如圖3所示[15]。

在圖3中,六種多面函數(shù)擬合模型整體趨勢(shì)平緩,除核函數(shù)為加常數(shù)正雙曲面的多面函數(shù)模型外,其余5種15、16號(hào)殘差值較大,最大達(dá)到17.16 cm。奇異點(diǎn)出現(xiàn)的原因包括測(cè)量誤差、核心點(diǎn)位置不合理、平滑因子不合理等。基于多面函數(shù)的組合模型對(duì)15、16號(hào)點(diǎn)位殘差較大情況具有較好的平滑效果,但在18、19號(hào)點(diǎn)位出現(xiàn)輕微的改正過大現(xiàn)象,最大為6.14 cm。總體來說殘差曲線波動(dòng)變小,擬合效果較好,具體精度對(duì)比如表2所示。

圖3 六種多面函數(shù)及組合模型殘差

從表2可以看出,基于多面函數(shù)的組合模型,外符合精度均有提高,最大為加常數(shù)正雙曲面,提高了40%,最小為加常數(shù)倒雙曲面,提升了35%,平均提升38%;極差均有降低,其中三次曲面較其他方法降低最多,為47%,最小的為加常數(shù)正雙曲面,降低了5%,平均降低38%。

表2 六種多面函數(shù)擬合模型精度對(duì)比

基于多面函數(shù)的組合模型可以改正奇異點(diǎn)、收束殘差曲線,達(dá)到提高外符合精度的目的。

3.3 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型

兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其對(duì)應(yīng)的組合模型殘差曲線如圖4所示。

圖4 兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及組合模型殘差

從圖4可以看出,前半段BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)波動(dòng)較少曲線較為平滑,后半段均出現(xiàn)殘差過大的奇異點(diǎn),最大為14.65 cm,其出現(xiàn)的原因與測(cè)量誤差、樣本大小、訓(xùn)練次數(shù)和模型選擇等有關(guān)?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型殘差曲線前半段趨勢(shì)平緩,殘差波動(dòng)范圍變小,后半段組合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較組合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度提升明顯,具體精度對(duì)比如表3所示。

表3 兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及組合模型殘差精度對(duì)比

由表3知基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型,外符合精度平均提升22.5%;極差平均降低28.5%。

4 結(jié)束語

本文通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析了3種方法下屬的12類數(shù)學(xué)模型及其對(duì)應(yīng)組合模型的擬合精度。其中,基于多面函數(shù)的組合模型精度提升效率最高,均能達(dá)到38%左右,對(duì)殘差的收束情況較好,并對(duì)奇異點(diǎn)具有較好的改正效果;基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型次之,有22.5%左右的提升效率;基于多項(xiàng)式曲面的組合模型效果較弱,平均 8%左右的提升效率,且有個(gè)別殘差改正過大情況。

結(jié)果表明:基于兩步Shepard插值思想的組合模型特別是基于多面函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型,在已知點(diǎn)較少的情況下,擬合精度較基礎(chǔ)模型高,并具有減弱奇異點(diǎn)影響、平滑殘差曲線的效果。可以得出,在已知點(diǎn)較少的情況下構(gòu)建局部似大地水準(zhǔn)面,此方法較單一擬合模型具有更高的擬合精度,但因數(shù)據(jù)量的原因,其普遍適用性有待進(jìn)一步論證。