岳彩紅, 唐勝景, 郭 杰,*, 王 肖, 張浩強(qiáng)

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081; 2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院戰(zhàn)術(shù)武器事業(yè)部, 北京 100076;3.中國(guó)北方工業(yè)有限公司, 北京 100053)

0 引 言

近年來(lái),復(fù)雜的飛行環(huán)境和飛行任務(wù)對(duì)具有任務(wù)靈活性和多功能性的飛行器的需求,以及新型材料、新型結(jié)構(gòu)等技術(shù)的進(jìn)步,使得能夠根據(jù)飛行環(huán)境、任務(wù)需求等自適應(yīng)改變外形,且飛行性能始終最優(yōu)的變形飛行器重新受到了各軍事強(qiáng)國(guó)的重視[1-6]。高超聲速滑翔飛行器速度快、航程遠(yuǎn)、強(qiáng)突防等優(yōu)勢(shì),使其成為當(dāng)前高超聲速領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[7-11]。然而現(xiàn)有的固定外形的氣動(dòng)布局,使得跨大空域、全速域飛行的滑翔飛行器無(wú)法達(dá)到整個(gè)飛行階段的性能最優(yōu)。高超聲速飛行器中引入變形技術(shù),可以有效改善現(xiàn)有滑翔飛行器的性能局限,使飛行器的潛力得到更好的發(fā)揮,具有以下優(yōu)勢(shì):

(1)通過(guò)變形提高飛行器的環(huán)境適應(yīng)能力,實(shí)現(xiàn)整個(gè)飛行過(guò)程的性能最優(yōu);

(2)通過(guò)變形改變飛行器的氣動(dòng)特性,進(jìn)而結(jié)合攻角和傾側(cè)角控制實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)控制,增加飛行器的軌跡控制能力;

(3)通過(guò)變形使彈道形式多變,增強(qiáng)飛行器的突防能力。

在變形飛行器軌跡優(yōu)化方面,文獻(xiàn)[12]研究了飛行器變形與任務(wù)設(shè)計(jì)相耦合的優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]對(duì)襟翼可變形的空中客機(jī)的巡航性能進(jìn)行了優(yōu)化研究。然而,上述研究均是針對(duì)低速飛行器,對(duì)于高超聲速變形飛行器軌跡優(yōu)化問(wèn)題,文獻(xiàn)[14]采用基于分解的多目標(biāo)優(yōu)化算法優(yōu)化了高超聲速變展長(zhǎng)飛行器的再入軌跡,結(jié)果表明變形飛行器的射程增加且總吸熱量降低。文獻(xiàn)[15]采用偽譜法研究了連續(xù)變形飛行器的再入飛行能力。文獻(xiàn)[16]基于改進(jìn)的高斯偽譜法優(yōu)化求解了具有伸縮小翼的臨近空間飛行器的爬升段軌跡,仿真結(jié)果表明伸縮小翼的引入有利于節(jié)省燃料。

高超聲速變形飛行器再入軌跡優(yōu)化與傳統(tǒng)高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化一樣,均為最優(yōu)控制問(wèn)題,主要有直接法和間接法兩種求解方法[17]。間接法精度較高,但推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜,對(duì)初值敏感,收斂性差。直接法通過(guò)直接離散控制量和/或狀態(tài)量將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃(nonlinear programming, NLP)問(wèn)題。偽譜法作為一種離散控制變量和狀態(tài)變量的直接配點(diǎn)法,具有初值不敏感、易收斂、精度高等優(yōu)點(diǎn),受到了學(xué)者們的廣泛研究[18-21]。Gauss偽譜法區(qū)別于其他偽譜法的顯著優(yōu)點(diǎn)是其離散的NLP問(wèn)題的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件與原最優(yōu)控制問(wèn)題的一階必要條件的離散形式等價(jià),能夠保證解的精度[22]。

NLP問(wèn)題需要借助參數(shù)優(yōu)化方法求解,常用的參數(shù)優(yōu)化方法包括序列二次規(guī)劃(sequential quadratic programming, SQP)和內(nèi)點(diǎn)法。使用SQP算法或內(nèi)點(diǎn)法求解NLP時(shí),需要提供目標(biāo)函數(shù)和約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù),由于NLP問(wèn)題的約束和設(shè)計(jì)變量數(shù)目很多,使用有限差分法計(jì)算時(shí),偏導(dǎo)數(shù)求解非常耗時(shí),優(yōu)化效率很低。文獻(xiàn)[23-26]分別研究了局部配點(diǎn)法、Radau偽譜法偏導(dǎo)數(shù)矩陣的稀疏性,并將NLP梯度中非零項(xiàng)的求解轉(zhuǎn)化為原最優(yōu)控制問(wèn)題偏導(dǎo)數(shù)的求解,仿真結(jié)果表明可有效提高NLP的求解效率,然而目前對(duì)于Gauss偽譜法,還沒(méi)有文獻(xiàn)基于偏導(dǎo)數(shù)矩陣的稀疏性給出其梯度的高效計(jì)算方法。

本文針對(duì)一種高超聲速伸縮式連續(xù)變形飛行器,建立了變形飛行器再入軌跡優(yōu)化模型,采用Gauss偽譜法將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題,基于NLP偏導(dǎo)數(shù)的稀疏性,推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)梯度和約束Jacobian矩陣的高效計(jì)算方法,優(yōu)化求解了變形飛行器的最大橫向航程、再入可達(dá)區(qū)、最大終端速度和最小飛行時(shí)間,仿真結(jié)果表明推導(dǎo)的梯度求解方法可有效提高優(yōu)化效率,變形飛行器相對(duì)于固定外形飛行器的性能更加優(yōu)越。

1 高超聲速伸縮式變形飛行器

本文研究對(duì)象為翼身組合伸縮式變形飛行器,如圖1所示。梯形升力彈翼兩端通過(guò)套筒結(jié)構(gòu)連接了兩級(jí)伸縮彈翼[27],兩側(cè)的伸縮翼為對(duì)稱連續(xù)變化。相對(duì)于傳統(tǒng)的翼身組合式飛行器,該變形飛行器可通過(guò)機(jī)翼的伸縮改變機(jī)翼面積、機(jī)翼展長(zhǎng)和展弦比,進(jìn)而改變作用在飛行器上的氣動(dòng)力。

圖1 變形飛行器構(gòu)型

圖1中,W1和W2分別為一級(jí)伸縮翼和二級(jí)伸縮翼,面1為梯形翼與一級(jí)伸縮翼的連接面,面2為二級(jí)伸縮翼與一級(jí)伸縮翼的連接面。W1的翼梢位于面1時(shí),一級(jí)伸縮翼為完全收縮狀態(tài),W1的翼根位于面1時(shí),一級(jí)伸縮翼為完全伸長(zhǎng)狀態(tài)。類似地,W2的翼梢位于面2時(shí),二級(jí)伸縮翼為完全收縮狀態(tài),W2的翼根位于面2時(shí),二級(jí)伸縮翼為完全伸長(zhǎng)狀態(tài)。定義W1和W2均完全收縮的狀態(tài)為變形飛行器的原外形,W1完全伸長(zhǎng)、W2完全收縮的狀態(tài)為變形飛行器的變形1,W1和W2均完全伸長(zhǎng)的狀態(tài)為變形飛行器的變形2,其余狀態(tài)為中間狀態(tài)。設(shè)梯形翼的展長(zhǎng)為l0,W1和W2的伸長(zhǎng)量分別為l1和l2,變形量[15]定義為η=(l0+l1+l2)/l0,原外形、變形1、變形2這3種狀態(tài)下的變形量分別為η=1,η=2,η=3。

2 高超聲速變形飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題

2.1 變形飛行器無(wú)動(dòng)力再入運(yùn)動(dòng)模型

2.1.1 氣動(dòng)力模型

變形飛行器氣動(dòng)系數(shù)是攻角、馬赫數(shù)和變形量的函數(shù)。首先利用氣動(dòng)工程計(jì)算軟件DATCOM計(jì)算原外形、變形1、變形2這3種外形在不同攻角和馬赫數(shù)下的升力系數(shù)和阻力系數(shù),然后將得到的3種外形的氣動(dòng)系數(shù)擬合成如下所示的函數(shù)[28]:

(1)

式中:CL為升力系數(shù);CD為阻力系數(shù);p0～p5和q0～q5分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)表達(dá)式的常值參數(shù);α為攻角;Ma為馬赫數(shù)。

表1中給出了3種外形下的擬合結(jié)果。方程的確定系數(shù)RS均接近于1,表明了擬合結(jié)果的高精度。變形飛行器的氣動(dòng)數(shù)據(jù)可通過(guò)不同外形下的氣動(dòng)系數(shù)對(duì)變形量進(jìn)行插值得到,例如原外形、變形1、變形2這3種外形下的p0值,對(duì)變形量進(jìn)行插值可得到變形飛行器的p0值。

表1 氣動(dòng)系數(shù)擬合結(jié)果

2.1.2 無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)地球?yàn)榫鶆驁A球,飛行器為無(wú)動(dòng)力飛行的質(zhì)點(diǎn),不考慮地球自轉(zhuǎn),高超聲速變形飛行器的三自由度無(wú)量綱再入運(yùn)動(dòng)方程[29]為

(2)

2.2 再入軌跡約束模型

2.2.1 初始條件

高超聲速變形飛行器再入的初始條件為

(3)

式中:(·)0為初始時(shí)刻的狀態(tài)量;t0為初始時(shí)刻。

2.2.2 路徑約束

為保證再入過(guò)程中飛行器的安全性,需滿足如下路徑約束:

(4)

(5)

(6)

2.2.3 終端約束

終端約束包括終端位置約束和終端速度約束,即

(7)

式中:(·)f為終端狀態(tài)量;(·)c為期望的終端狀態(tài)量。根據(jù)實(shí)際的任務(wù)需求,終端約束一般取部分約束。

2.2.4 控制量約束

變形飛行器的控制量包括攻角、傾側(cè)角和展長(zhǎng)變形量,滿足如下約束:

(8)

2.3 目標(biāo)函數(shù)

為了研究變形飛行器的再入飛行性能,本文的目標(biāo)函數(shù)主要涉及最大橫向航程、最大縱向航程、最大終端速度和最小飛行時(shí)間。本文初始條件中,λ0=0,φ0=0,所以目標(biāo)函數(shù)為

(9)

2.4 最優(yōu)控制問(wèn)題

高超聲速變形飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題可表示為連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題,尋找控制變量u=[α,β,η]T,最小化Bolza型目標(biāo)函數(shù):

(10)

滿足微分方程約束:

(11)

式中:f∈R6為6維向量函數(shù),表達(dá)式如式(2)所示。

邊界約束:

Bmin≤B(x(t0),x(tf),t0,tf)≤Bmax

(12)

式中:B為邊界約束;Bmin,Bmax分別為邊界約束的下界和上界,表達(dá)式如式(3)和式(7)所示。

路徑約束:

Cmin≤C(x(t),u(t),t)≤Cmax

(13)

式中:C為路徑約束;Cmin,Cmax分別為路徑約束的下界和上界,表達(dá)式如式(4)～式(6)所示。

3 Gauss偽譜法及NLP梯度計(jì)算

3.1 Gauss偽譜法

Gauss偽譜法將狀態(tài)變量和控制變量在LG(Legendre-Gauss)點(diǎn)上進(jìn)行離散,采用基于LG點(diǎn)的全局插值多項(xiàng)式對(duì)節(jié)點(diǎn)上的狀態(tài)進(jìn)行近似。對(duì)LG點(diǎn)處的狀態(tài)求導(dǎo),將微分方程約束轉(zhuǎn)化為一系列代數(shù)約束,終端狀態(tài)通過(guò)初始值和右函數(shù)的積分求得,目標(biāo)函數(shù)中的積分項(xiàng)可由高斯積分近似,將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為NLP問(wèn)題。

Gauss偽譜法離散步驟如下。

步驟 1時(shí)域轉(zhuǎn)換

LG點(diǎn)位于(-1,1)之間,故需要將原優(yōu)化問(wèn)題的時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到(-1,1)之間:

(14)

步驟 2全局插值多項(xiàng)式近似狀態(tài)變量和控制變量

Gauss偽譜法的N個(gè)配點(diǎn)(N階Legendre多項(xiàng)式的根){τ1,τ2,…,τN},加上τ0=-1,構(gòu)成N+1個(gè)節(jié)點(diǎn),狀態(tài)變量由基于N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lagrange多項(xiàng)式近似表示：

(15)

式中:x(τ)為τ時(shí)刻實(shí)際狀態(tài)量;X(τ)為τ時(shí)刻近似狀態(tài)量;X(τi)為τi時(shí)刻的離散狀態(tài)量;Li(τ)為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，可表示為

(16)

控制變量一般也采用Lagrange多項(xiàng)式近似表示:

(17)

步驟 3動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束

在配點(diǎn)處對(duì)式(15)求導(dǎo)可得

(18)

式中:k=1,2,…,N;D∈RN×(N+1)為微分差分矩陣,可以由下面公式離線求得:

(19)

令式(18)求得的導(dǎo)數(shù)等于狀態(tài)變量的右端函數(shù),可將微分方程約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束:

(20)

步驟 4終端約束

終端狀態(tài)需要滿足動(dòng)力學(xué)約束,可由初始狀態(tài)加上右函數(shù)積分求得,積分部分由Gauss積分近似:

(21)

步驟 5目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化

將Bolza型目標(biāo)函數(shù)中積分項(xiàng)用Gauss積分近似:

(22)

同時(shí)邊界約束和路徑約束離散為如下形式:

B(X0,t0,Xf,tf)=0

(23)

C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0,k=1,2,…,N

(24)

經(jīng)過(guò)以上轉(zhuǎn)換,Gauss偽譜法將高超聲速變形飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下形式的NLP問(wèn)題:

minf(x)

(25)

式中:x為NLP問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量,包括所有離散點(diǎn)處的狀態(tài)變量、控制變量和端點(diǎn)時(shí)間t0和tf(若時(shí)間不固定);gi(x)為NLP的不等式約束,包括式(24),hj(x)為NLP的等式約束,包括式(20)、式(21)和式(23)。

3.2 NLP梯度的高效計(jì)算方法

Gauss偽譜法將變形飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式(25)所示的NLP問(wèn)題,NLP問(wèn)題通過(guò)常用的參數(shù)優(yōu)化方法如SQP和內(nèi)點(diǎn)法求解時(shí)需要提供梯度信息。然而NLP問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量和約束數(shù)目繁多,例如,當(dāng)N=30時(shí),設(shè)計(jì)變量有284個(gè),約束有276個(gè),若用有限差分法計(jì)算NLP的梯度,計(jì)算將非常耗時(shí),優(yōu)化效率很低?？紤]到目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)往往是部分或所有配點(diǎn)處設(shè)計(jì)變量函數(shù)的疊加,疊加的某一部分只與部分配點(diǎn)處的變量有關(guān),并不是和所有設(shè)計(jì)變量均相關(guān),NLP的梯度矩陣和約束的Jacobian矩陣是非常稀疏的,即矩陣中有很多零元素,計(jì)算梯度時(shí)利用其稀疏性省略零元素會(huì)提高計(jì)算效率,矩陣中非零項(xiàng)的求解可轉(zhuǎn)化為求解原最優(yōu)控制問(wèn)題的偏導(dǎo)數(shù),考慮到原最優(yōu)控制問(wèn)題的自變量和約束數(shù)目均很少,故將NLP問(wèn)題的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化原最優(yōu)控制問(wèn)題的偏導(dǎo)數(shù)會(huì)進(jìn)一步提高計(jì)算效率?；诘?.1節(jié)內(nèi)容,采用Gauss偽譜法將高超聲速變形飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題,本節(jié)利用NLP梯度的稀疏性,并將梯度中的非零項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求原最優(yōu)控制問(wèn)題的偏導(dǎo)數(shù)[25],推導(dǎo)NLP梯度的高效計(jì)算方法。

為了推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)的梯度和約束的Jacobian矩陣,首先進(jìn)行如下定義:

(26)

式中:X∈R(N+2)×6;U∈RN×3;ω∈RN×1;g∈RN×1;F∈RN×6;C∈RN×3;gi(i=1,2,…,N),fi(i=1,2,…,N),Ci(i=1,2,…,N)分別為配點(diǎn)i處的積分型目標(biāo)函數(shù)、右函數(shù)值、路徑約束值。

NLP的設(shè)計(jì)變量為

y=[X:,1,…,X:,6,U:,1,…,U:,3,t0,tf]T

(27)

式中:X:,i(i=1,2,…,6)為X的第i列;U:,i(i=1,2,3)為U的第i列。

目標(biāo)函數(shù)式(22)可寫成如下形式:

(28)

等式約束式(20)可寫成如下形式:

(29)

式中:X(1:N+1)表示X的前N+1行。

NLP的約束函數(shù)為

l=[Δ:,1,…,Δ:,6,B,C:,1,…,C:,3]T

(30)

3.2.1 目標(biāo)函數(shù)的梯度

目標(biāo)函數(shù)的梯度可分解為Mayer函數(shù)的梯度和積分型函數(shù)的梯度,Mayer函數(shù)的梯度為

(31)

式中:

(32)

記積分型目標(biāo)函數(shù)為

(33)

則S的梯度為

(34)

式中:

(35)

目標(biāo)函數(shù)的梯度為

(36)

3.2.2 約束的Jacobian矩陣

約束的梯度矩陣為

(37)

式中:

(38)

式中:Δ:, j(j=1,2,…,6)對(duì)X:,i(i=1,2,…,6)、U:,l(l=1,2,3)、t0和tf的偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

(39)

Bm(m=1,2,…,6)對(duì)X:,i(i=1,2,…,6)、U:,l(l=1,2,3)、t0和tf的偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

(40)

C:,z(z=1,2,3)對(duì)X:,i(i=1,…,6)、U:,l(l=1,2,3)、t0和tf的偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

(41)

使用內(nèi)點(diǎn)法求解NLP時(shí),需要提供目標(biāo)函數(shù)和約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù),分別采用本文的式(31)～式(36)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)梯度,式(37)～式(41)計(jì)算約束Jacobian矩陣,可大大提高計(jì)算效率,減少優(yōu)化時(shí)間。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)以第1節(jié)設(shè)計(jì)的高超聲速變形飛行器為研究對(duì)象求解其再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題,氣動(dòng)模型為第2.1節(jié)求得的氣動(dòng)模型。NLP問(wèn)題求解采用內(nèi)點(diǎn)法工具包IPOPT。控制量邊界取值為αmin=0°,αmax=30°,σmin=-90°,σmax=90°,ηmin=1,ηmax=3過(guò)程約束為

(42)

邊界條件設(shè)置如表2所示。

4.1 梯度計(jì)算效率驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的梯度求解方法的快速性,分別以最大緯度、最大速度和最小飛行時(shí)間為目標(biāo)函數(shù),對(duì)于每一個(gè)目標(biāo)函數(shù),配點(diǎn)數(shù)分別取N=10和N=20,采用本文推導(dǎo)的梯度計(jì)算方法和有限差分法進(jìn)行梯度計(jì)算,兩種方法的其他仿真條件均相同,收斂到最優(yōu)解的時(shí)間如表3所示。

表3 優(yōu)化收斂時(shí)間

由表3可知,本文方法的優(yōu)化收斂時(shí)間均小于有限差分法的收斂時(shí)間。經(jīng)計(jì)算,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為最大緯度,N=10和N=20時(shí),本文方法的優(yōu)化收斂時(shí)間分別是有限差分法收斂時(shí)間的3.29%和1.15%;當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為最大速度,N=10和N=20時(shí),本文方法的優(yōu)化收斂時(shí)間分別是有限差分法收斂時(shí)間的3.20%和1.33%;當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為最小飛行時(shí)間,本文方法的優(yōu)化收斂時(shí)間分別是有限差分法收斂時(shí)間的2.87%和1.25%。仿真算例表明,采用本文推導(dǎo)的梯度計(jì)算方法可大大節(jié)省優(yōu)化時(shí)間,且配點(diǎn)數(shù)目越多,相對(duì)效率越高。

4.2 最大橫向航程軌跡和可達(dá)區(qū)

4.2.1 最大橫向航程

最大橫向航程可以表征飛行器的再入機(jī)動(dòng)能力,為了研究變形飛行器相對(duì)固定外形飛行器機(jī)動(dòng)性能的變化,采用Gauss偽譜法離散加IPOPT優(yōu)化的求解步驟分別求解變形飛行器和固定外形飛行器的最大橫向航程,其中固定外形飛行器取為所設(shè)計(jì)的變形飛行器的原外形狀態(tài),即η=1。梯度的計(jì)算采用本文第3.2節(jié)推導(dǎo)的方法,配點(diǎn)N=60。仿真結(jié)果如圖2～圖10所示。

圖2 最大橫向航程高度變化曲線

圖3 最大橫向航程速度變化曲線

圖4 最大橫向航程地面軌跡

圖5 熱流曲線

圖6 動(dòng)壓曲線

圖7 過(guò)載曲線

圖8 最大橫向航程攻角曲線

圖9 傾斜角曲線

圖10 變形量曲線

圖2～圖10為變形飛行器和固定外形飛行器以最大橫向航程為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。圖2～圖7分別給出了高度、速度和地面軌跡等狀態(tài)變量,以及熱流、動(dòng)壓和過(guò)載等過(guò)程約束的優(yōu)化結(jié)果,離散最優(yōu)解和沿優(yōu)化控制變量積分動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值積分軌跡高度重合,表明了優(yōu)化結(jié)果的可靠性和高精度。由圖2、圖5、圖6和圖7可知,兩種飛行器初始段采用平滑軌跡以滿足熱流約束,后段通過(guò)跳躍軌跡使得橫向航程最大,再入過(guò)程嚴(yán)格滿足過(guò)程約束,再次表明優(yōu)化方法的精度。圖8～圖10分別為攻角、傾側(cè)角和變形量等控制量的優(yōu)化結(jié)果,變形飛行器的攻角和傾側(cè)角幅值整體小于固定外形飛行器,表明變形飛行器可通過(guò)增大變形量減小需用的攻角和傾側(cè)角,有利于緩解舵機(jī)壓力。圖10中,固定外形飛行器的變形量始終為1是因?yàn)楸疚娜ˇ?1為原外形,變形飛行器大部分時(shí)間處于最大變形狀態(tài),大變形能夠增加飛行器的升阻比,進(jìn)而提高飛行器的射程。飛行器再入末段,高度和速度逐漸接近相應(yīng)的約束,變形量減小,一方面減小阻力使飛行器速度緩慢減小以增加橫向航程,另一方面減小升力使飛行器下降以滿足高度約束。

變形飛行器和固定外形飛行器的優(yōu)化終端結(jié)果如表4所示。

表4 優(yōu)化結(jié)果

由表4可知,變形飛行器相對(duì)于固定外形飛行器的最大緯度增加了52.23%,其機(jī)動(dòng)能力顯著增強(qiáng)。變形飛行器的航程相對(duì)于固定外形飛行器增加了1 402.5 km,這是由于變形提高了飛行器的升阻比,使得航程增加,與上文理論分析結(jié)果一致。

4.2.2 可達(dá)區(qū)

可達(dá)區(qū)是指再入飛行器能夠到達(dá)的地球表面或者交班狀態(tài)的邊界曲線的范圍[30]。再入可達(dá)區(qū)的確定有利于任務(wù)規(guī)劃,可達(dá)區(qū)的外邊界能夠表征再入飛行器的機(jī)動(dòng)能力。

本節(jié)以第1節(jié)設(shè)計(jì)的變形飛行器為對(duì)象,利用Gauss偽譜法優(yōu)化求解其可達(dá)區(qū),并與固定外形飛行器的可達(dá)區(qū)作對(duì)比。可達(dá)區(qū)的求解可轉(zhuǎn)化為求解一系列優(yōu)化問(wèn)題,求解流程如下。

步驟 1求解射向的最大縱程,目標(biāo)函數(shù)為

J=min[-λ(tf)]

(43)

步驟 2求解射向的最小縱程,目標(biāo)函數(shù)為

J=minλ(tf)

(44)

步驟 3取最大縱程和最小縱程之間的多個(gè)縱程,分別優(yōu)化求解其最大橫向航程,目標(biāo)函數(shù)為

J=maxφ(tf)

(45)

步驟 4將上述求得的末端軌跡相連可得一側(cè)的可達(dá)區(qū),將可達(dá)區(qū)對(duì)稱可得另一側(cè)可達(dá)區(qū)(由于不考慮地球自轉(zhuǎn),兩側(cè)可達(dá)區(qū)對(duì)稱)。

仿真結(jié)果如圖11～圖13所示。

圖11 變形飛行器左半側(cè)可達(dá)區(qū)邊界軌跡示例

圖12 固定外形飛行器左半側(cè)可達(dá)區(qū)邊界軌跡示例

圖13 兩種飛行器的可達(dá)區(qū)邊界

圖11和圖12分別給出了變形飛行器和固定外形飛行器的左側(cè)可達(dá)區(qū)的若干條邊界再入軌跡,由仿真結(jié)果可知,離散最優(yōu)解與數(shù)值積分軌跡高度重合,表明優(yōu)化結(jié)果的可靠性和精度。為了便于顯示,圖11和圖12中給出了再入軌跡的平面投影軌跡和可達(dá)區(qū)邊界。

按照上述可達(dá)區(qū)求解步驟,將優(yōu)化得到的一系列落點(diǎn)相連可分別得到變形飛行器和固定外形飛行器的可達(dá)區(qū),如圖13所示。兩種飛行器的可達(dá)區(qū)均呈橢圓形,固定外形飛行器的可達(dá)區(qū)位于變形飛行器的可達(dá)區(qū)內(nèi)部,明顯小于變形飛行器的可達(dá)區(qū)。固定外形飛行器的縱向航程范圍λ=4.41°～63.97°,橫向航程范圍φ取值為-25.58°～25.58°,變形飛行器的縱向航程范圍λ取值為-0.56°～82.28°,橫向航程范圍φ取值為-38.94°～38.94°,經(jīng)計(jì)算,相對(duì)于固定外形飛行器,變形飛行器的縱向航程覆蓋范圍提高了39.1%,橫向航程覆蓋范圍提高了52.23%,可達(dá)區(qū)增大,飛行器機(jī)動(dòng)能力增強(qiáng)。

4.3 最大終端速度

滑翔段的終端速度越大越有利于末端打擊,為了研究變形飛行器相對(duì)固定外形飛行器最大終端速度的變化,在滿足終端經(jīng)度、緯度約束的前提下求解最大終端速度,優(yōu)化設(shè)置同第4.2節(jié)。優(yōu)化結(jié)果如圖14～圖19所示。

圖14 最大終端速度高度曲線

圖15 最大終端速度速度曲線

圖16 最大終端速度地面軌跡

圖17 最大終端速度攻角曲線

圖18 最大終端速度傾側(cè)角曲線

圖19 最大終端速度變形量曲線

圖14～圖19給出了以最大終端速度為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。圖14～圖16分別為高度、速度和地面軌跡曲線,離散最優(yōu)解與數(shù)值積分軌跡高度重合,表明優(yōu)化結(jié)果的可靠性和精度。圖17～圖19分別為攻角、傾側(cè)角和變形量的優(yōu)化結(jié)果。變形飛行器的終端速度為4 515.6 m/s,飛行時(shí)間為888.7 s,固定外形飛行器的終端速度為3 810 m/s,飛行時(shí)間為951.53 s,變形飛行器的終端速度提高了705.6 m/s,飛行時(shí)間減小了62.83 s,這說(shuō)明變形飛行器可以較大的速度、較短的時(shí)間飛完相同的航程,具有更加快速的到達(dá)能力。由圖17可知,變形飛行器的攻角明顯小于固定外形飛行器,說(shuō)明增加變形量這個(gè)控制量可以顯著改善攻角特性,緩解舵機(jī)控制的壓力,且有利于隔熱系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

4.4 最小飛行時(shí)間

飛行時(shí)間最小有利于飛行器的再入突防,本節(jié)以最小飛行時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解?？紤]終端經(jīng)度和終端緯度約束,優(yōu)化設(shè)置同第4.2節(jié),仿真結(jié)果如圖20～圖25所示。

圖20 最小飛行時(shí)間高度曲線

圖21 最小飛行時(shí)間速度曲線

圖22 最小飛行時(shí)間地面軌跡

圖23 最小飛行時(shí)間攻角曲線

圖24 最小飛行時(shí)間傾側(cè)角曲線

圖25 最小飛行時(shí)間變形量曲線

圖20～圖25給出了以最小飛行時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。圖20～圖22分別為高度、速度和地面軌跡曲線,離散最優(yōu)解與數(shù)值積分軌跡高度重合,表明優(yōu)化結(jié)果的可靠性和精度。圖23～圖25為攻角、傾側(cè)角和變形量的優(yōu)化結(jié)果,變形飛行器的攻角始終小于固定外形飛行器,變形量幾乎處于最大變形狀態(tài),表明變形量的引入緩解了舵機(jī)控制系統(tǒng)的壓力。變形飛行器的飛行時(shí)間為887 s,相對(duì)于固定外形飛行器的948 s減小了6.88%,說(shuō)明變形飛行器具有更加快速的到達(dá)能力。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)一種高超聲速伸縮式連續(xù)變形飛行器,采用Gauss偽譜法將高超聲速變形飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP問(wèn)題,基于偏導(dǎo)數(shù)的稀疏性推導(dǎo)了NLP目標(biāo)函數(shù)梯度和約束的Jacobian的高效計(jì)算方法,優(yōu)化求解了變形飛行器的最大橫向航程、再入可達(dá)區(qū)、最大終端速度和最小飛行時(shí)間,仿真結(jié)果表明:

(1)基于稀疏性推導(dǎo)的梯度計(jì)算方法可以很大程度地節(jié)省優(yōu)化時(shí)間,提高優(yōu)化效率;

(2)高超聲速變形飛行器相比固定外形飛行器在飛行性能方面具有顯著優(yōu)勢(shì),最大橫向航程提高了52.23%,可達(dá)區(qū)的橫向航程覆蓋范圍提高了52.23%,縱向航程覆蓋范圍提高了39.1%,最大終端速度增大了705.6 m/s,最小飛行時(shí)間減小了6.88%。