劉海濤, 邵松世, 張志華

(1.海軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部, 湖北 武漢 430033; 2.海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

艦船備件是確保艦船維修保障活動有效實施、遂行海上任務(wù)的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。特別是對于大型艦船,一方面由于艦船海上任務(wù)時間長、裝備運行強度高等原因,備件需求涉及的種類多、數(shù)量大;另一方面由于海上補給困難,備件需求還受到艦船自身攜行能力、艦上維修條件因素等的影響[1-2]。因此,在深入分析艦船裝備維修特點的基礎(chǔ)上,發(fā)展適合于艦船裝備的備件需求預(yù)測方法是當前艦船裝備維修保障研究的重要內(nèi)容之一[3-5]。

k/n(G)系統(tǒng)在艦船裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計中有廣泛應(yīng)用,其備件需求預(yù)測與資源配置問題受到很多學(xué)者關(guān)注[6-7]。文獻[8]采用有限源排隊論獲取備件短缺數(shù)的概率分布,并通過邊際分析算法確定k/n(G)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的備件數(shù)量。文獻[9]針對艦船編隊在航無補給的情況,建立了艦船出航期間設(shè)備冗余和外場更換件冗余系統(tǒng)任務(wù)成功概率的評估模型,通過瞬時可用度求出了任務(wù)成功概率。但上述方法均未考慮定期維修對備件需求的影響。文獻[10]則在定期維修模式下,針對故障件批量送修的大型k/n(G)系統(tǒng)資源配置問題,建立了系統(tǒng)平均備件短缺概率模型,但對于執(zhí)行海上任務(wù)的艦船裝備而言,其難以滿足批量送修對供應(yīng)鏈的要求。文獻[11-12]通過建立馬爾可夫模型研究維修模式對k/n(G)系統(tǒng)備件需求的影響,指出定期維修與事后維修相結(jié)合有助于降低維修成本,但所建立模型以系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度為決策依據(jù),不適合于艦船裝備特點。

事實上,維修模式對備件需求有重要影響[13-14]。對于執(zhí)行海上任務(wù)的艦船裝備而言,首先由于備件補給十分困難,海上期間的維修活動主要依賴隨艦攜行的備件,且以換件維修為主;其次為了提高戰(zhàn)備完好性,通常還在出航前的準備階段對裝備進行集中檢修,以保證裝備的良好初始狀態(tài);最后對于k/n(G)系統(tǒng),當部件故障不影響裝備運行時,通?？梢赃x擇待海上任務(wù)結(jié)束后對故障件進行集中修理。由此可見,其維修模式表現(xiàn)為事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合的特點。

因此,為了更好地描述艦船裝備在這一維修模式下的備件需求,本文針對其特點建立備件需求模型,為了方便理解和簡化計算,進一步給出需求模型的近似計算方法和工程解釋,并對算法有效性進行驗證。

1 基本假設(shè)與模型準備

考察由n個相互獨立工作的相同部件組成的k/n(G)系統(tǒng),即當且僅當正常工作部件不少于k個時,系統(tǒng)正常工作。為了更好地建立備件需求模型,提出如下假設(shè)。

假設(shè) 1在執(zhí)行海上任務(wù)期間,采取事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合的維修模式，即在執(zhí)行海上任務(wù)之前,對艦船裝備進行集中檢修,保證艦船裝備完好狀態(tài)。在執(zhí)行海上任務(wù)過程中,采取事后維修方式,即當部件故障不影響系統(tǒng)工作時,不進行維修,系統(tǒng)故障后立即進行維修。在執(zhí)行海上任務(wù)結(jié)束后,集中對艦船裝備進行任務(wù)后檢修,恢復(fù)裝備的正常狀態(tài)。

假設(shè) 2不考慮事后維修的維修時間。在艦船執(zhí)行海上任務(wù)期間,通常采取換件維修的方式,由于與任務(wù)時間相比,換件維修所需時間極少,因此維修時間暫且忽略不計。

假設(shè) 3各部件獨立工作,且壽命均服從指數(shù)分布E(λ)。指數(shù)分布大量存在于艦船裝備中,如印制電路板插件、電子部件、電阻、電容、集成電路等電子類裝備,因此本文針對部件壽命服從指數(shù)分布的情況建立備件需求模型,即部件壽命T的概率密度為

(1)

壽命分布函數(shù)為

F(t)=1-e-λ t,t≥0

(2)

可靠度函數(shù)為

R(t)=1-F(t)=e-λ t,t≥0

(3)

由式(3)可知,k/n(G)系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為

(4)

假設(shè) 4不考慮備件補給。由于海上補給困難,因此假設(shè)海上期間系統(tǒng)故障維修所需備件均來自于艦船自身攜帶。

圖1 一個任務(wù)期內(nèi)事后維修與任務(wù)后檢修示意圖

2 艦船備件需求的概率分布及特征

在一個海上任務(wù)周期[0,T0]內(nèi),記備件需求量為隨機變量N,如圖1所示,該需求量包含事后維修和任務(wù)后檢修所需備件,但不包含任務(wù)前檢修所需備件。顯然,需求量N是一個取非負整數(shù)的隨機變量,本節(jié)研究N的概率分布及特征。

2.1 N

首先分析故障特點:在周期[0,T0]內(nèi),當N

例如,由于N=0表示k/n(G)系統(tǒng)工作到T0時所有部件均未發(fā)生故障,因此利用式(3)可知:

P(N=0)=R(T0)…R(T0)=exp(-nλT0)

(5)

類似地,由于N=1表示k/n(G)系統(tǒng)工作到T0時有1個部件發(fā)生故障,系統(tǒng)仍正常工作,備件需求發(fā)生在任務(wù)后檢修時刻,因此

nexp[-(n-1)λT0][1-exp(-λT0)]

(6)

以此類推,由于N=n-k表示k/n(G)系統(tǒng)工作到T0時有n-k個部件發(fā)生故障,系統(tǒng)無故障,因此

(7)

綜合式(5)～式(7)可得,當j=0,1,…,n-k時，有

(8)

2.2 n -k+1≤N≤2(n -k)+1時的概率分布

當n-k+1≤N≤2(n-k)+1時,部件故障特點為:①當故障數(shù)達到n-k+1時,正常部件個數(shù)低于k,因此系統(tǒng)發(fā)生故障,需要進行事后維修,維修后所有部件均正常工作;②當故障數(shù)再增加n-k個,即故障數(shù)達到2(n-k)+1時,由于系統(tǒng)仍有k個部件正常工作,因此不需維修。

由此可見,n-k+1≤N≤2(n-k)+1表示系統(tǒng)在[0,T0]內(nèi)有且僅有1次故障。根據(jù)上述特點,可以利用概率元法[15-16]求出n-k+1≤N≤2(n-k)+1時的概率分布。

例如,由于N=n-k+1表示k/n(G)系統(tǒng)工作到T0時部件故障次數(shù)為n-k+1,因此記第n-k+1次部件故障發(fā)生時刻為t,則系統(tǒng)在t時刻發(fā)生故障,此時需對系統(tǒng)中所有故障部件進行更換,更換后在[t,T0]內(nèi)不再有部件發(fā)生故障。因此，[0,T0]周期內(nèi)的部件故障情況如圖2所示。

圖2 一個任務(wù)期內(nèi)有n-k+1個部件故障示意圖

接下來求P(N=n-k+1)。首先,在[0,t]內(nèi)有n-k個部件發(fā)生故障的概率為

(9)

然后,在t時刻,由于系統(tǒng)僅有k個部件正常工作,因此利用指數(shù)分布的“無記憶性”可知,在[t,t+dt]內(nèi)有1個部件發(fā)生故障的概率為

(10)

最后,在t+dt時刻,由于已經(jīng)對系統(tǒng)中故障部件進行了更換,即所有部件均正常工作,因此在[t+dt,T0]內(nèi)無部件發(fā)生故障的概率為

P(N(t,T0)=0)=e-nλ(T0-t)

(11)

綜合式(9)～式(11),可得

P(N=n-k+1)=

(12)

以此類推,可以求出當j=1,2,…,n-k時,系統(tǒng)在[0,T0]周期內(nèi)發(fā)生n-k+1+j次故障的概率。

事實上,由于N=n-k+1+j表示系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)有n-k個部件發(fā)生故障、在[t,t+dt]內(nèi)有1個部件發(fā)生故障、在[t+dt,T0]內(nèi)有j個部件發(fā)生故障,因此其故障情況如圖3所示。

圖3 一個任務(wù)期內(nèi)有n-k+1+j個部件故障示意圖

由此可見,當j=1,2,…,n-k時,

P(N=n-k+1+j)=

(13)

式中:P(N(t,T0)=j)表示在[t+dt,T0]內(nèi)有j個部件發(fā)生故障的概率。

又因為在t+dt時刻所有部件均正常工作,因此,

(14)

將式(9)、式(10)和式(14)代入式(13),當j=1,2,…,n-k時,整理得

P(N=n-k+1+j)=

(15)

綜合式(12)和式(15),當n-k+1≤N≤2(n-k)+1,j=0,1,2,…,n-k時,備件需求N的概率分布為

P(N=n-k+1+j)=

(16)

2.3 N>2(n -k)+1時的概率分布

當N>2(n-k)+1時,可仿照第2.2節(jié)思路求備件需求N的概率分布。但考慮到對于具備冗余設(shè)計的k/n(G)系統(tǒng),一方面隨著技術(shù)、工藝和管理水平的提高,系統(tǒng)在一個海上任務(wù)期內(nèi)故障大于1的概率應(yīng)較小;另一方面從裝備保障實踐來看,在一個海上任務(wù)期內(nèi)同一裝備發(fā)生兩次故障的情況確實極少,因此可以將備件需求N>2(n-k)+1的概率進行合并,即

(17)

綜合第2.1～第2.3節(jié)可知,在事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合的維修模式下,備件需求的概率分布可以由式(8)、式(16)和式(17)共同描述。

2.4 需求分布的特征

利用備件需求的概率分布,可以求出在[0,T0]周期內(nèi)備件需求的相關(guān)數(shù)字特征。

(1)備件需求的一、二階矩

在[0,T0]周期內(nèi)的備件需求的期望為

(18)

方差為

(19)

二階原點矩為

(20)

(2)平均維修間隔時間

記k/n(G)系統(tǒng)的壽命為Ts,系統(tǒng)兩次維修間的間隔時間為隨機變量Y,根據(jù)海上任務(wù)時間T0可知:

(21)

因此,維修間隔時間的分布函數(shù)可表示為

(22)

由此可知,維修間隔時間的期望,即平均維修間隔時間為

E(Y)=E(Y|Ts>T0)P(Ts>T0)+

E(Y|Ts≤T0)P(Ts

(23)

代入式(4),整理可得

(24)

(3)平均維修次數(shù)

利用維修平均間隔時間E(Y),可以得到在[0,T0]周期內(nèi)的平均維修次數(shù)為

(25)

(4)一次維修的平均備件需求量

利用平均維修次數(shù)RT0和備件需求的期望E(N),可以得到在[0,T0]周期內(nèi)一次維修平均備件需求量為

(26)

3 艦船備件需求的近似計算方法

由第2節(jié)可知,基于事后維修與任務(wù)后檢修的備件需求模型可以更加準確地反映k/n(G)系統(tǒng)在一次海上任務(wù)期內(nèi)的備件需求。但由于需求模型較復(fù)雜,備件需求的概率分布大多用積分形式表示且計算復(fù)雜,不便于理解和使用。為此,本節(jié)研究隨艦備件需求的近似計算方法并給出需求模型的工程解釋。

3.1 基本思路

考察某裝艦數(shù)為1的伽馬型部件,其壽命TG服從Gamma分布,TG～Gamma(a,b),概率密度函數(shù)為

(27)

分布函數(shù)為

(28)

首先,對于裝艦數(shù)為1的伽馬型部件,由文獻[17-18]可知,部件與其所配置的備件組成冷儲備系統(tǒng),因此利用Gamma分布的可加性,其備件需求的計算較為容易,滿足快速計算的要求。

其次,Gamma分布具有良好的適應(yīng)性,即當參數(shù)取不同值時可以反映不同分布類型,當a為正整數(shù)時,f(x)是愛爾蘭分布;進一步，當a=1時,f(x)是指數(shù)分布。

因此近似計算的基本思路是:若通過適當選取伽馬型備件參數(shù)a和b的取值,使得其備件需求與基于事后維修和任務(wù)后檢修的備件需求近似相同,則可以將伽馬型備件的備件需求近似作為基于事后維修與任務(wù)后檢修的備件需求。

3.2 近似計算模型及其工程解釋

由第3.1節(jié)基本思路可知,近似計算模型的核心在于如何確定Gamma分布中參數(shù)a和b的值,使得伽馬型備件需求與真實需求近似一致。本節(jié)首先給出近似計算模型,即參數(shù)a和b取值的確定方法,然后分析模型的工程解釋。

(1)近似計算模型

記k/n(G)系統(tǒng)在事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合維修模式下的備件需求N的分布列為

P(N=j)=pj,j=0,1,2,…

(29)

N的期望和方差如式(18)和式(19)所示。

另一方面,對于裝艦數(shù)為1的伽馬型部件,記其備件需求NG的分布列為

(30)

NG的期望和方差分別表示為

(31)

(32)

顯然,式(29)代表k/n(G)系統(tǒng)在事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合條件下的真實備件需求,可以利用第2節(jié)所建模型進行計算,但模型較復(fù)雜,不便于理解和使用。

而式(31)表示裝艦數(shù)為1的伽馬型部件在相同任務(wù)時間內(nèi)的備件需求,且計算簡單。由文獻[18]可知,當j=0,1,2,…時,

(33)

式中:G(j)(T0)表示Gamma分布的j重卷積,即

進一步地,由于當分布列相同時,兩者的一、二階矩也必然相同,因此近似計算模型也可表示為

(34)

參數(shù)a和b的取值也可由式(34)確定。

(2)模型的工程解釋

由式(27)可知,當a=1時,Gamma分布退化為指數(shù)分布,參數(shù)b即為該指數(shù)型備件的失效率。容易計算在[0,T0]內(nèi)的備件平均需求為

E(NE)=bT0

(35)

而在事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合的維修模式下,k/n(G)系統(tǒng)在[0,T0]內(nèi)的備件平均需求E(N)可表示為

(36)

式中:E(NR)為k/n(G)系統(tǒng)在一次維修活動中的平均備件需求量;T0/E(Y)為[0,T0]內(nèi)的平均維修次數(shù)。

由此可見,作為Gamma分布的一個特例,若采用指數(shù)型備件進行近似需求計算,則式(34)變?yōu)?/p>

(37)

觀察式(37)可以發(fā)現(xiàn):一方面,參數(shù)b反映指數(shù)型備件的失效率;另一方面,在事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合的模式下,由于E(Y)表示維修平均間隔時間,E(NR)表示在一次維修活動中的備件需求量,因此E(NR)/E(Y)恰好反映了k/n(G)系統(tǒng)在一個工作周期內(nèi)的失效率。

因此,式(37)本質(zhì)上反映了當采用指數(shù)型備件作為近似需求時,核心在于利用E(NR)/E(Y)對指數(shù)型備件的失效率進行調(diào)整,而E(NR)/E(Y)恰好反映了在事后維修與任務(wù)后檢修相結(jié)合維修模式下的備件失效率。

實際計算發(fā)現(xiàn),采用式(37)進行近似計算具備較高精度,因此作為更一般情形,式(34)表示的近似計算模型是合理的。

需要注意的是,在式(37)中,平均維修間隔時間E(Y)可以利用式(24)直接計算,但第2節(jié)給出的E(NR)計算方法較為復(fù)雜。為此,接下來給出一種E(NR)的快速估算方法。

根據(jù)全概率公式,一次維修的平均備件需求量E(NR)可近似表示為

E(NR)?E(NR|Ts>T0)P(Ts>T0)+

E(NR|Ts≤T0)P(Ts

式中:E(NR|Ts≤T0)=n-k。

由式(4)可知,

(38)

(39)

又因為當j=0,1,2,…,n-k+1時,

(40)

因此,

E(NR|Ts>T0)P(Ts>T0)=

(41)

由此可見,E(NR)可表示為

(1-Rs(T0))(n-k)

(42)

3.3 算法設(shè)計

根據(jù)第3.2節(jié)的近似計算模型,隨艦備件需求近似算法流程如下。

輸入艦船任務(wù)時間長度T0,k/n(G)系統(tǒng)參數(shù)k和n,備件失效率λ。

輸出備件需求分布列P(N=j)=pj,平均需求量E(N)。

步驟 1根據(jù)式(37)設(shè)定伽馬型備件參數(shù):即a=1,b=E(NR)/E(Y),其中E(Y)由式(24)確定,E(NR)由式(42)確定。

步驟 2利用式(33)計算伽馬型備件需求分布列:

P{NG=j}=G(j)(T0)-G(j+1)(T0)

步驟 3將伽馬型備件需求分布近似作為備件需求真實分布,即令

P(N=j)=P{NG=j}

步驟 4利用式(18)計算備件需求平均需求量E(N):

4 算法驗證

為驗證近似算法的精度,首先依據(jù)工程背景設(shè)定備件失效率、任務(wù)時間、k/n(G)系統(tǒng)等初始參數(shù)。然后,利用第3節(jié)近似算法計算備件需求的近似分布及分布特征。接下來,根據(jù)第2節(jié)建立的備件需求模型計算備件需求的真實分布和分布特征。最后,比較二者的近似程度。具體步驟如下。

步驟 1初始參數(shù)設(shè)定:依據(jù)工程背景,在適當范圍內(nèi)設(shè)定參數(shù)λ、T0、k和n的取值。

步驟 2伽馬型備件參數(shù)的確定:利用式(37)計算伽馬型備件參數(shù)a和b的值。

步驟 3伽馬型備件需求分布及特征的計算:

利用式(33)計算該伽馬型備件需求的分布,記為

利用式(31)計算該伽馬型備件的平均需求量。

步驟 4真實備件需求分布及特征的計算:

利用式(8)、式(16)和式(17),計算備件需求的真實分布,記為

P(N=j)=pj,j=0,1,2,…

利用式(18)計算備件的真實平均需求量。

步驟 5誤差比較:定義需求分布的平均誤差為

(43)

平均備件需求相對誤差為

(44)

例如,取定λ=0.000 1,T0=1 000,k=2,n=4,利用式(37)計算得到a=1,b=3.858 3×10-4。進一步,利用式(31)和式(33)計算得到,伽馬型備件需求分布如表1所示,平均需求量為E(NG)=0.385 8。另一方面,利用式(8)、式(16)～式(18)計算得到備件需求真實分布,如表2所示,平均需求量為E(N)=0.380 6。

表1 伽馬型備件需求分布

表2 伽馬型備件需求真實分布

利用式(43)和式(44)計算得到,需求分布的平均誤差為error1=0.006 6,備件平均需求量的相對誤差為error2=0.013 0,近似分布誤差的整體情況如圖4所示?？梢钥吹?對于上述取定的參數(shù),基于Gamma分布的艦船備件需求近似算法具有良好精度。

圖4 在取定參數(shù)下備件需求分布誤差示意圖

接下來,取定k=2,n=4,改變參數(shù)λ和T0的取值,計算結(jié)果如表3所示。

表3 2/4(G)系統(tǒng)在不同參數(shù)下的近似結(jié)果(k=2,n=4)

觀察表3,可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律。

(1)當λT0較小(≤1)時,需求分布誤差和平均需求誤差均較小,這說明近似算法在λT0≤1具有良好的精度。

(2)整體上隨著λT0的增大,需求分布誤差和平均需求誤差均呈現(xiàn)增大的趨勢。特別當λT0=2時，誤差達到了76.8%,保守起見,當λT0>1時,不應(yīng)采取近似算法,而使用第2節(jié)所建立模型直接計算。

(3)從備件保障實踐來看,通過調(diào)研發(fā)現(xiàn):實際中λT0超過1的部件項數(shù)極少,僅占5%左右,因此近似算法適用于絕大部分備件需求計算問題。

(4)當λT0不變,如表3中λT0=1時,參數(shù)λ和T0的變化不影響備件需求。

綜上所述,為了進一步驗證近似算法的精度,接下來分別針對λT0≤1和參數(shù)k、n的典型取值進行計算,結(jié)果如表4所示。

表4 k/n(G)系統(tǒng)在不同參數(shù)下的計算結(jié)果

觀察表4可以看到,當λT0≤1時,備件需求的近似計算方法整體上具有較高的精度,滿足近似計算的需要。

5 結(jié) 論

隨著技術(shù)水平的進步和管理水平的提高,艦船海上期間的裝備維修保障正逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槭潞缶S修與任務(wù)后檢修相結(jié)合的模式。本文針對這一維修模式特點,通過建立備件需求模型,對常見的k/n(G)系統(tǒng)在一個任務(wù)期內(nèi)的備件需求進行預(yù)測,并提出了較簡便的近似計算方法,可以為裝備備件保障提供參考。但模型僅給出了系統(tǒng)故障不超過1次時的備件需求,雖適用于95%以上的備件需求預(yù)測問題,但采用需求模型對備件需求直接計算仍較復(fù)雜,接下來還需進一步對需求分布進行完善。

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