姜封國， 郭 威， 王路曈， 裴廷瑞

(黑龍江科技大學 建筑工程學院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域中的一個重要方向。結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計是以可靠性指標作為約束條件，對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。目前，計算結(jié)構(gòu)可靠性指標的方法有驗算點法、寬界限法、窄界限法、蒙特卡羅法、概率網(wǎng)絡(luò)估算值技術(shù)等[1-4]。結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法有乘子法、罰函數(shù)法、復合形法等，這些方法可以得到很高的精度，但計算過程復雜。為了解決傳統(tǒng)優(yōu)化方法存在的困難，學者們將啟發(fā)式智能優(yōu)化方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計中。姜封國等[5]將混合遺傳算法應(yīng)用到隨機結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計中。程躍等[6]采用混沌粒子群算法研究結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計。鄭燦赫等[7]構(gòu)造了PSO-DE混合算法，將該算法應(yīng)用到可靠性優(yōu)化設(shè)計中。龍周等[8]將SMOTE算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相結(jié)合，提出了改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對船舶的可靠性優(yōu)化結(jié)果表明，該方法提高了優(yōu)化效率和優(yōu)化精度。以上學者都是將兩種算法進行混合，這是由于單一算法的不足，造成優(yōu)化結(jié)果不理想。

教與學算法(Teaching-learning-based optimization,TLBO)是印度學者Rao等[9]提出的一種新的啟發(fā)式優(yōu)化算法。與其他優(yōu)化算法相比，教與學算法具有收斂性能好，算法中參數(shù)較少，數(shù)學模型簡單等優(yōu)點。目前,在函數(shù)優(yōu)化，工程參數(shù)優(yōu)化等問題中得到了廣泛應(yīng)用[10-12]，但教與學算法存在搜索過程中容易陷入局部最優(yōu)以及收斂速度慢等不足。禁忌搜索算法(Tabu search,TS)最早是由Glover[13]在1986年提出的，該算法具有局部搜索能力強及收斂速度快等優(yōu)點，但存在對初始解有依賴性強的缺點。

針對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題，筆者將TLBO-TS混合算法與結(jié)構(gòu)可靠性分析方法相結(jié)合，提出了基于結(jié)構(gòu)可靠性TLBO-TS混合算法的優(yōu)化設(shè)計模型。該模型的特點是以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為單目標函數(shù)，以可靠性指標和截面面積為約束條件，通過六桿桁架結(jié)構(gòu)算例，驗證該混合算法在可靠性優(yōu)化設(shè)計方法的可行性與適用性。

1 混合教與學算法

1.1 基本的教與學算法

教與學算法模擬了以班級為單位老師向?qū)W生教授知識和學生之間相互學習的兩個過程。在算法中，每個班級就是一個種群，每個班級的學生人數(shù)就是種群的規(guī)模，學生學習的科目就是種群的維度，學生就是種群的個體，教師就是當中最優(yōu)的個體。TLBO算法分為兩個階段，教師對學生的教階段和學生之間的相互學習階段。

初始化種群是通過式(1)初始化每個個體，計算個體的適應(yīng)度值。

(1)

式中：rand(x)——0和1之間的隨機數(shù)；

教階段是通過式(2)得到新個體然后計算其目標函數(shù)值，與舊的個體進行比較，如果優(yōu)于舊的個體則新個體取代舊的個體。

xn=xo+rand(xt-TFxm)，

(2)

式中：xt——當前群體的全局最優(yōu)個體;

TF——教學因子，TF=round(1+rand(0.1))；

round——取整符號；

xm——群體的平均值。

學生階段是學生們?yōu)檫M一步提高自己的知識，學生之間會相互學習。這一階段的過程表示為

(3)

式中，f(x)——每個學生的適應(yīng)度函數(shù)。

1.2 改進的教與學算法

在教與學算法中,教學因子是群體平均值的參數(shù)，它的取值只能是1或者是2。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，適應(yīng)度值較小為最優(yōu)值。通過式(1)表明，取較大值，得到的新個體較小，其適應(yīng)度值也較小，說明學生學到的知識就多，反之，取較小值，說明學生學到的知識較少。體現(xiàn)到優(yōu)化算法中，取較小值，表明算法的局部搜索能力強，但是全局搜索能力弱；取較大值，表明算法的全局搜索能力強，但是局部搜索能力弱。

學生得到的知識過程是經(jīng)過一段的學習時間后，學生知識水平就會提高，與老師的知識水平差距就會縮小，但是得到的知識也會越來越少。在基本的教與學算法中，教學因子隨機取值，不能真正體現(xiàn)學生得到知識的過程，為了解決此問題，文中借鑒文獻[14]對TLBO算法中的教學因子做了非線性遞減的改進，其表達式為

(4)

式中：TFmax、TFmin——教學因子的最大值與最小值；

r——調(diào)節(jié)參數(shù)，控制TF的變化率，文中取值r=1；

t、tmax——當前的迭代次數(shù)、最大迭代次數(shù)。

由式(4)可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，教學因子由最大值向最小值靠近。說明在迭代前期取值較大，即表明在前期算法全局搜索能力強；在迭代后期取值較小，即表明在后期算法局部搜索能力強，在算法搜索后期可以得到較高精度的解，體現(xiàn)學生得到知識的過程。

1.3 禁忌搜索算法

該算法的基本思想是，首先根據(jù)優(yōu)化問題的初始解，選擇一個鄰域結(jié)構(gòu)，然后在初始解的鄰域結(jié)構(gòu)中隨機選擇出候選解。將最佳候選解與初始解的適應(yīng)度進行比較，若最佳候選解的適應(yīng)度比初始解的適應(yīng)度更優(yōu)，則最佳候選解將取代初始解。在此基礎(chǔ)上，引入了禁忌表，該禁忌表記錄了最近搜索過程中出現(xiàn)的解，禁止這些解在最近搜索過程中再次出現(xiàn)，避免陷入局部最優(yōu)解。同時，增加一個特赦準則，若禁忌表中的適應(yīng)度值優(yōu)于當前解，則將該解從禁忌表中釋放出來并代替當前解繼續(xù)進行迭代計算，這樣可以增加種群的多樣性。禁忌表的長度隨優(yōu)化問題而異，筆者將禁忌表的長度設(shè)置為5。禁忌搜索算法的基本流程分為6步。

步驟1根據(jù)問題設(shè)置初始解，置空禁忌表，設(shè)置禁忌表長度等。

步驟2將初始解作為當前解，判斷是否滿足收斂準則。若滿足收斂準則，輸出最優(yōu)結(jié)果，終止計算，若不滿足繼續(xù)步驟3。

步驟3構(gòu)造鄰域函數(shù)，利用當前解產(chǎn)生候選解集，隨機選取候選解。

步驟4選取適應(yīng)度最優(yōu)的候選解。

步驟5判斷候選解是否滿足藐視準則，若滿足，將候選解作為當前解，并將原來的當前解替換最早進入禁忌表中的變量，若不滿足，則放入到禁忌表中。

步驟6繼續(xù)步驟2。

1.4 TLBO-TS混合算法

TLBO-TS混合算法流程分為5步。

步驟1初始化種群，設(shè)置種群數(shù)量，確定優(yōu)化問題的維度，以及迭代次數(shù)及變量的取值范圍。

步驟2通過式(2)更新個體，其中式(2)中的教學因子用式(4)取代，根據(jù)適應(yīng)度最優(yōu)值進行選擇。

步驟3通過式(3)在學階段更新個體，根據(jù)適應(yīng)度最優(yōu)值進行選擇。

步驟4進入禁忌搜索階段。

步驟5判斷是否滿足最大迭代次數(shù)，若沒有，則返回步驟2；若達到終止條件，則輸出結(jié)果。

TLBO-TS混合算法利用了改進教與學算法全局搜索能力強和禁忌搜索算法局部搜索能力強的特點，提高了該混合算法跳出局部最優(yōu)解的能力。

2 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法是，在可靠性指標的約束條件下，選取各元件合理的截面使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量最小。求解該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最小質(zhì)量的優(yōu)化模型可以表示為

(5)

式中：ρi、Li、Ai——元件i的密度、長度、截面面積；

Al和Au——截面面積的上限與下限。

2.2 結(jié)構(gòu)可靠性指標和優(yōu)化設(shè)計收斂準則

首先，將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)近似成為一個串聯(lián)系統(tǒng)，將每個元件作為一個失效單元，然后，計算各元件的失效概率，最后，將各元件的失效概率之和作為系統(tǒng)的失效概率。雖然計算的結(jié)果有誤差，但是在大于容許可靠性指標的情況下是可行的，這樣既避免了尋找失效模式，又大大減少了計算量。

假設(shè)元件i的功能函數(shù)可表示為

Zi=g(xi)=R(xi)-S(xi)，

(6)

式中：R(xi)——元件i上所有抗力因素的集合；

S(xi)——元件i上承受所有荷載的集合。

可靠性指標為

(7)

式中：μZi——元件i功能函數(shù)的均值；

σZi——元件i功能函數(shù)的標準差。

元件失效概率Pfi與元件可靠性指標βi的關(guān)系為

Pfi=φ(-βi)，

(8)

式中，φ(-βi)——標準正態(tài)分布函數(shù)。

(9)

βs=-φ-1(Pf)。

(10)

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計問題通常是復雜和困難的，為了提高可靠性優(yōu)化的穩(wěn)定性和收斂速度，文中將下列收斂準則[15]應(yīng)用于TLBO-TS的可靠性優(yōu)化設(shè)計中：

(11)

(12)

(13)

其中，ε1、ε2、ε3都是遠小1的數(shù)值，在10-4～10-3范圍內(nèi)。

2.3 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程

將混合的教與學算法與結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計理論相結(jié)合，充分利用改進的教與學算法和禁忌搜索算法的優(yōu)點，對結(jié)構(gòu)進行可靠性優(yōu)化設(shè)計。其具體的優(yōu)化步驟分為8步。

步驟1設(shè)定參數(shù)，最大迭代次數(shù)，設(shè)置班級人數(shù)即種群數(shù)量，搜索的空間，置空禁忌表等。

步驟2初始化種群，通過式(1)初始化每個個體，計算個體的適應(yīng)度值。尋找班級中最優(yōu)的個體，計算班級同學平均水平。

步驟3對結(jié)構(gòu)進行可靠性分析，分析各個個體是否滿足式(5)的約束條件。若滿足約束條件，則進行步驟4，否則，將該個體的適應(yīng)度值分配一個較大的值，在優(yōu)化過程中會自動丟棄。

步驟4由式(2)、(3)更新個體，其中式(2)中的教學因子用式(4)取代。

步驟5將改進教與學算法獲得的最優(yōu)解設(shè)置為禁忌搜索算法的初始解。

步驟6進行禁忌搜索并獲得候選解集，求出各個候選解的適應(yīng)度值，找到最優(yōu)解。

步驟7更新最優(yōu)解，從候選解集中獲得最優(yōu)解，若最優(yōu)解不在禁忌表中，則更新最優(yōu)解，否則用次優(yōu)解代替，更新禁忌表。

步驟8若滿足式(11)～(13)收斂準則，則搜索結(jié)束，輸出優(yōu)化結(jié)果，否則返回到步驟3。

基于混合教與學算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程圖1所示。

圖1 基于TLBO-TS的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程 Fig. 1 Flow of structural reliability optimization based on TLBO-TS

3 數(shù)值算例

3.1 算例概況

圖2 桿桁架結(jié)構(gòu)Fig. 2 Structure of 6-bar truss

在兩種不同荷載情況下，對6桿桁架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化計算。工況Ⅰ：F1=46.225 3 kN，F(xiàn)2=28.224 7 kN、F3=16.099 5 kN;工況Ⅱ：F1=53.803 4 kN，F(xiàn)2=23.945 3 kN，F(xiàn)3=16.099 5 kN。文中的初始種群數(shù)量為10，問題的維數(shù)是6。

3.2 算例分析

基于TLBO-TS算法對結(jié)構(gòu)可靠性的進行優(yōu)化設(shè)計，在相同的條件下，對6桿桁架結(jié)構(gòu)分別結(jié)合TLBO算法和TLBO-TS算法進行可靠性優(yōu)化，情況1、2的優(yōu)化曲線如圖3所示，與文獻[7]的優(yōu)化結(jié)果進行對比，結(jié)果如表1所示。

圖3 不同荷載狀態(tài)下的優(yōu)化曲線Fig. 3 Optimization curve under different load conditions

由圖3a可知，TLBO-TS算法迭代20次后達到目標的函數(shù)值6.373 4 kg，而TLBO算法迭代20次后才達到目標的函數(shù)值6.827 kg。由圖3b可知，TLBO-TS算法迭代20次后達到目標的函數(shù)值6.407 0 kg，而TLBO算法迭代20次后才達到目標的函數(shù)值6.782 0 kg。總之，在不同的荷載情況下，TLBO-TS混合算法的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于基本的TLBO算法，優(yōu)化結(jié)果比較理想。

從表1可知，工況Ⅰ，TLBO算法、PSO-DE算法、TLBO-TS算法的目標函數(shù)分別為6.827 0、6.452 7、6.373 4 kg，表明TLBO-TS算法優(yōu)化的結(jié)果較好，較TLBO算法減少6.64%，較PSO-DE算法減少1.2%。工況Ⅱ，TLBO算法、PSO-DE算法、TLBO-TS算法 目標函數(shù)分別為6.782 0、6.459 4、6.407 0，表明TLBO-TS算法優(yōu)化的結(jié)果較好，較TLBO算法減少5.85%，較PSO-DE算法減少0.82%，說明TLBO-TS算法具有搜索效率高的特點。

表1 桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

(1)在基本的教與學算法基礎(chǔ)上，通過基本教與學算法中的教學因子進行非線性遞減改進，提高了教與學算法的收斂速度，將改進的教與學算法與禁忌搜索算法進行混合，提出了混合的TLBO-TS算法。

(2)針對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計，將混合的教與學算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性的優(yōu)化設(shè)計中，算例結(jié)果表明，TLBO-TS混合算法比基本的TLBO算法和PSO-DE混合算法能取得更優(yōu)的計算結(jié)果，在兩種模擬工況下目標函數(shù)較TLBO算法分別減少6.64%和5.53%，說明該優(yōu)化設(shè)計方法可以應(yīng)用于復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計中。