姜封國， 郭 威， 王路曈， 裴廷瑞

(黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域中的一個重要方向。結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計是以可靠性指標作為約束條件，對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。目前，計算結(jié)構(gòu)可靠性指標的方法有驗算點法、寬界限法、窄界限法、蒙特卡羅法、概率網(wǎng)絡(luò)估算值技術(shù)等[1-4]。結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法有乘子法、罰函數(shù)法、復(fù)合形法等，這些方法可以得到很高的精度，但計算過程復(fù)雜。為了解決傳統(tǒng)優(yōu)化方法存在的困難，學(xué)者們將啟發(fā)式智能優(yōu)化方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計中。姜封國等[5]將混合遺傳算法應(yīng)用到隨機結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計中。程躍等[6]采用混沌粒子群算法研究結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計。鄭燦赫等[7]構(gòu)造了PSO-DE混合算法，將該算法應(yīng)用到可靠性優(yōu)化設(shè)計中。龍周等[8]將SMOTE算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相結(jié)合，提出了改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對船舶的可靠性優(yōu)化結(jié)果表明，該方法提高了優(yōu)化效率和優(yōu)化精度。以上學(xué)者都是將兩種算法進行混合，這是由于單一算法的不足，造成優(yōu)化結(jié)果不理想。

教與學(xué)算法(Teaching-learning-based optimization,TLBO)是印度學(xué)者Rao等[9]提出的一種新的啟發(fā)式優(yōu)化算法。與其他優(yōu)化算法相比，教與學(xué)算法具有收斂性能好，算法中參數(shù)較少，數(shù)學(xué)模型簡單等優(yōu)點。目前,在函數(shù)優(yōu)化，工程參數(shù)優(yōu)化等問題中得到了廣泛應(yīng)用[10-12]，但教與學(xué)算法存在搜索過程中容易陷入局部最優(yōu)以及收斂速度慢等不足。禁忌搜索算法(Tabu search,TS)最早是由Glover[13]在1986年提出的，該算法具有局部搜索能力強及收斂速度快等優(yōu)點，但存在對初始解有依賴性強的缺點。

針對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題，筆者將TLBO-TS混合算法與結(jié)構(gòu)可靠性分析方法相結(jié)合，提出了基于結(jié)構(gòu)可靠性TLBO-TS混合算法的優(yōu)化設(shè)計模型。該模型的特點是以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為單目標函數(shù)，以可靠性指標和截面面積為約束條件，通過六桿桁架結(jié)構(gòu)算例，驗證該混合算法在可靠性優(yōu)化設(shè)計方法的可行性與適用性。

1 混合教與學(xué)算法

1.1 基本的教與學(xué)算法

教與學(xué)算法模擬了以班級為單位老師向?qū)W生教授知識和學(xué)生之間相互學(xué)習的兩個過程。在算法中，每個班級就是一個種群，每個班級的學(xué)生人數(shù)就是種群的規(guī)模，學(xué)生學(xué)習的科目就是種群的維度，學(xué)生就是種群的個體，教師就是當中最優(yōu)的個體。TLBO算法分為兩個階段，教師對學(xué)生的教階段和學(xué)生之間的相互學(xué)習階段。

初始化種群是通過式(1)初始化每個個體，計算個體的適應(yīng)度值。

(1)

式中：rand(x)——0和1之間的隨機數(shù)；

教階段是通過式(2)得到新個體然后計算其目標函數(shù)值，與舊的個體進行比較，如果優(yōu)于舊的個體則新個體取代舊的個體。

xn=xo+rand(xt-TFxm)，

(2)

式中：xt——當前群體的全局最優(yōu)個體;

TF——教學(xué)因子，TF=round(1+rand(0.1))；

round——取整符號；

xm——群體的平均值。

學(xué)生階段是學(xué)生們?yōu)檫M一步提高自己的知識，學(xué)生之間會相互學(xué)習。這一階段的過程表示為

(3)

式中，f(x)——每個學(xué)生的適應(yīng)度函數(shù)。

1.2 改進的教與學(xué)算法

在教與學(xué)算法中,教學(xué)因子是群體平均值的參數(shù)，它的取值只能是1或者是2。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，適應(yīng)度值較小為最優(yōu)值。通過式(1)表明，取較大值，得到的新個體較小，其適應(yīng)度值也較小，說明學(xué)生學(xué)到的知識就多，反之，取較小值，說明學(xué)生學(xué)到的知識較少。體現(xiàn)到優(yōu)化算法中，取較小值，表明算法的局部搜索能力強，但是全局搜索能力弱；取較大值，表明算法的全局搜索能力強，但是局部搜索能力弱。

學(xué)生得到的知識過程是經(jīng)過一段的學(xué)習時間后，學(xué)生知識水平就會提高，與老師的知識水平差距就會縮小，但是得到的知識也會越來越少。在基本的教與學(xué)算法中，教學(xué)因子隨機取值，不能真正體現(xiàn)學(xué)生得到知識的過程，為了解決此問題，文中借鑒文獻[14]對TLBO算法中的教學(xué)因子做了非線性遞減的改進，其表達式為

(4)

式中：TFmax、TFmin——教學(xué)因子的最大值與最小值；

r——調(diào)節(jié)參數(shù)，控制TF的變化率，文中取值r=1；

t、tmax——當前的迭代次數(shù)、最大迭代次數(shù)。

由式(4)可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，教學(xué)因子由最大值向最小值靠近。說明在迭代前期取值較大，即表明在前期算法全局搜索能力強；在迭代后期取值較小，即表明在后期算法局部搜索能力強，在算法搜索后期可以得到較高精度的解，體現(xiàn)學(xué)生得到知識的過程。

1.3 禁忌搜索算法

該算法的基本思想是，首先根據(jù)優(yōu)化問題的初始解，選擇一個鄰域結(jié)構(gòu)，然后在初始解的鄰域結(jié)構(gòu)中隨機選擇出候選解。將最佳候選解與初始解的適應(yīng)度進行比較，若最佳候選解的適應(yīng)度比初始解的適應(yīng)度更優(yōu)，則最佳候選解將取代初始解。在此基礎(chǔ)上，引入了禁忌表，該禁忌表記錄了最近搜索過程中出現(xiàn)的解，禁止這些解在最近搜索過程中再次出現(xiàn)，避免陷入局部最優(yōu)解。同時，增加一個特赦準則，若禁忌表中的適應(yīng)度值優(yōu)于當前解，則將該解從禁忌表中釋放出來并代替當前解繼續(xù)進行迭代計算，這樣可以增加種群的多樣性。禁忌表的長度隨優(yōu)化問題而異，筆者將禁忌表的長度設(shè)置為5。禁忌搜索算法的基本流程分為6步。

步驟1根據(jù)問題設(shè)置初始解，置空禁忌表，設(shè)置禁忌表長度等。

步驟2將初始解作為當前解，判斷是否滿足收斂準則。若滿足收斂準則，輸出最優(yōu)結(jié)果，終止計算，若不滿足繼續(xù)步驟3。

步驟3構(gòu)造鄰域函數(shù)，利用當前解產(chǎn)生候選解集，隨機選取候選解。

步驟4選取適應(yīng)度最優(yōu)的候選解。

步驟5判斷候選解是否滿足藐視準則，若滿足，將候選解作為當前解，并將原來的當前解替換最早進入禁忌表中的變量，若不滿足，則放入到禁忌表中。

步驟6繼續(xù)步驟2。

1.4 TLBO-TS混合算法

TLBO-TS混合算法流程分為5步。

步驟1初始化種群，設(shè)置種群數(shù)量，確定優(yōu)化問題的維度，以及迭代次數(shù)及變量的取值范圍。

步驟2通過式(2)更新個體，其中式(2)中的教學(xué)因子用式(4)取代，根據(jù)適應(yīng)度最優(yōu)值進行選擇。

步驟3通過式(3)在學(xué)階段更新個體，根據(jù)適應(yīng)度最優(yōu)值進行選擇。

步驟4進入禁忌搜索階段。

步驟5判斷是否滿足最大迭代次數(shù)，若沒有，則返回步驟2；若達到終止條件，則輸出結(jié)果。

TLBO-TS混合算法利用了改進教與學(xué)算法全局搜索能力強和禁忌搜索算法局部搜索能力強的特點，提高了該混合算法跳出局部最優(yōu)解的能力。

2 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法是，在可靠性指標的約束條件下，選取各元件合理的截面使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量最小。求解該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最小質(zhì)量的優(yōu)化模型可以表示為

(5)

式中：ρi、Li、Ai——元件i的密度、長度、截面面積；

Al和Au——截面面積的上限與下限。

2.2 結(jié)構(gòu)可靠性指標和優(yōu)化設(shè)計收斂準則

首先，將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)近似成為一個串聯(lián)系統(tǒng)，將每個元件作為一個失效單元，然后，計算各元件的失效概率，最后，將各元件的失效概率之和作為系統(tǒng)的失效概率。雖然計算的結(jié)果有誤差，但是在大于容許可靠性指標的情況下是可行的，這樣既避免了尋找失效模式，又大大減少了計算量。

假設(shè)元件i的功能函數(shù)可表示為

Zi=g(xi)=R(xi)-S(xi)，

(6)

式中：R(xi)——元件i上所有抗力因素的集合；

S(xi)——元件i上承受所有荷載的集合。

可靠性指標為

(7)

式中：μZi——元件i功能函數(shù)的均值；

σZi——元件i功能函數(shù)的標準差。

元件失效概率Pfi與元件可靠性指標βi的關(guān)系為

Pfi=φ(-βi)，

(8)

式中，φ(-βi)——標準正態(tài)分布函數(shù)。

(9)

βs=-φ-1(Pf)。

(10)

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計問題通常是復(fù)雜和困難的，為了提高可靠性優(yōu)化的穩(wěn)定性和收斂速度，文中將下列收斂準則[15]應(yīng)用于TLBO-TS的可靠性優(yōu)化設(shè)計中：

(11)

(12)

(13)

其中，ε1、ε2、ε3都是遠小1的數(shù)值，在10-4～10-3范圍內(nèi)。

2.3 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程

將混合的教與學(xué)算法與結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計理論相結(jié)合，充分利用改進的教與學(xué)算法和禁忌搜索算法的優(yōu)點，對結(jié)構(gòu)進行可靠性優(yōu)化設(shè)計。其具體的優(yōu)化步驟分為8步。

步驟1設(shè)定參數(shù)，最大迭代次數(shù)，設(shè)置班級人數(shù)即種群數(shù)量，搜索的空間，置空禁忌表等。

步驟2初始化種群，通過式(1)初始化每個個體，計算個體的適應(yīng)度值。尋找班級中最優(yōu)的個體，計算班級同學(xué)平均水平。

步驟3對結(jié)構(gòu)進行可靠性分析，分析各個個體是否滿足式(5)的約束條件。若滿足約束條件，則進行步驟4，否則，將該個體的適應(yīng)度值分配一個較大的值，在優(yōu)化過程中會自動丟棄。

步驟4由式(2)、(3)更新個體，其中式(2)中的教學(xué)因子用式(4)取代。

步驟5將改進教與學(xué)算法獲得的最優(yōu)解設(shè)置為禁忌搜索算法的初始解。

步驟6進行禁忌搜索并獲得候選解集，求出各個候選解的適應(yīng)度值，找到最優(yōu)解。

步驟7更新最優(yōu)解，從候選解集中獲得最優(yōu)解，若最優(yōu)解不在禁忌表中，則更新最優(yōu)解，否則用次優(yōu)解代替，更新禁忌表。

步驟8若滿足式(11)～(13)收斂準則，則搜索結(jié)束，輸出優(yōu)化結(jié)果，否則返回到步驟3。

基于混合教與學(xué)算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程圖1所示。

圖1 基于TLBO-TS的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程 Fig. 1 Flow of structural reliability optimization based on TLBO-TS

3 數(shù)值算例

3.1 算例概況

圖2 桿桁架結(jié)構(gòu)Fig. 2 Structure of 6-bar truss

在兩種不同荷載情況下，對6桿桁架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化計算。工況Ⅰ：F1=46.225 3 kN，F(xiàn)2=28.224 7 kN、F3=16.099 5 kN;工況Ⅱ：F1=53.803 4 kN，F(xiàn)2=23.945 3 kN，F(xiàn)3=16.099 5 kN。文中的初始種群數(shù)量為10，問題的維數(shù)是6。

3.2 算例分析

基于TLBO-TS算法對結(jié)構(gòu)可靠性的進行優(yōu)化設(shè)計，在相同的條件下，對6桿桁架結(jié)構(gòu)分別結(jié)合TLBO算法和TLBO-TS算法進行可靠性優(yōu)化，情況1、2的優(yōu)化曲線如圖3所示，與文獻[7]的優(yōu)化結(jié)果進行對比，結(jié)果如表1所示。

圖3 不同荷載狀態(tài)下的優(yōu)化曲線Fig. 3 Optimization curve under different load conditions

由圖3a可知，TLBO-TS算法迭代20次后達到目標的函數(shù)值6.373 4 kg，而TLBO算法迭代20次后才達到目標的函數(shù)值6.827 kg。由圖3b可知，TLBO-TS算法迭代20次后達到目標的函數(shù)值6.407 0 kg，而TLBO算法迭代20次后才達到目標的函數(shù)值6.782 0 kg?？傊?，在不同的荷載情況下，TLBO-TS混合算法的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于基本的TLBO算法，優(yōu)化結(jié)果比較理想。

從表1可知，工況Ⅰ，TLBO算法、PSO-DE算法、TLBO-TS算法的目標函數(shù)分別為6.827 0、6.452 7、6.373 4 kg，表明TLBO-TS算法優(yōu)化的結(jié)果較好，較TLBO算法減少6.64%，較PSO-DE算法減少1.2%。工況Ⅱ，TLBO算法、PSO-DE算法、TLBO-TS算法 目標函數(shù)分別為6.782 0、6.459 4、6.407 0，表明TLBO-TS算法優(yōu)化的結(jié)果較好，較TLBO算法減少5.85%，較PSO-DE算法減少0.82%，說明TLBO-TS算法具有搜索效率高的特點。

表1 桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

(1)在基本的教與學(xué)算法基礎(chǔ)上，通過基本教與學(xué)算法中的教學(xué)因子進行非線性遞減改進，提高了教與學(xué)算法的收斂速度，將改進的教與學(xué)算法與禁忌搜索算法進行混合，提出了混合的TLBO-TS算法。

(2)針對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計，將混合的教與學(xué)算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性的優(yōu)化設(shè)計中，算例結(jié)果表明，TLBO-TS混合算法比基本的TLBO算法和PSO-DE混合算法能取得更優(yōu)的計算結(jié)果，在兩種模擬工況下目標函數(shù)較TLBO算法分別減少6.64%和5.53%，說明該優(yōu)化設(shè)計方法可以應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計中。