亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一種嚴(yán)格成立的懲罰函數(shù)法及其求解

        2021-07-27 06:27:06侯小秋
        關(guān)鍵詞:懲罰優(yōu)化

        侯小秋

        (黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院, 哈爾濱 150022)

        0 引 言

        懲罰函數(shù)法求解約束最優(yōu)化問題,將問題的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù),即懲罰函數(shù),將約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題求解。根據(jù)懲罰函數(shù)構(gòu)造的思想不同,分為內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法[1]、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法[2]和混合懲罰函數(shù)法[3],還可分為靜態(tài)懲罰函數(shù)法[4]、動(dòng)態(tài)懲罰函數(shù)法[4]、退火懲罰函數(shù)法[4]和自適應(yīng)懲罰函數(shù)法[4]。各種懲罰函數(shù)法都有自己的優(yōu)缺點(diǎn)。筆者分析一種外點(diǎn)懲罰函數(shù)法[2]解析解和數(shù)值解在可行域內(nèi)成立的條件,針對(duì)具有偏置量的外點(diǎn)懲罰函數(shù)法,同樣分析其數(shù)值解和解析解在可行域內(nèi)的條件,當(dāng)偏置量滿足允許誤差限的限制條件時(shí),偏置量外點(diǎn)懲罰函數(shù)法具有嚴(yán)格成立性,提出一種高數(shù)值穩(wěn)定性的改進(jìn)DFP擬牛頓法,應(yīng)用文中求解偏置量外點(diǎn)懲罰函數(shù)法。

        1 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法

        1.1 解析解

        一般約束最優(yōu)化問題為

        式中:x——優(yōu)化變量;

        f(x)——優(yōu)化函數(shù);

        gj(x)——等式約束;

        cm(x)——不等式約束。

        構(gòu)造懲罰函數(shù)[2]為

        (1)

        式中:F(…)——懲罰函數(shù);

        M(k)——懲罰因子,且有,0

        式(1)的解析解x*為

        (2)

        由式(2)求得的x*,若

        cm(x*)≤0,m=1,2,…,M。

        (3)

        (4)

        則,解析解x*在可行域外,外點(diǎn)懲罰函數(shù)法解無效。

        1.2 數(shù)值解

        數(shù)值解可采用無約束最優(yōu)化的最速下降法和牛頓法及擬牛頓法等求解,當(dāng)

        cm(xk+1)≤0,m=1,2,…,M,

        (5)

        式中:xk+1——k+1步數(shù)值解;

        k+1——迭代步數(shù)。

        (6)

        則,數(shù)值解在可行域外,外點(diǎn)懲罰函數(shù)法解無效。

        2 偏置量外點(diǎn)懲罰函數(shù)法

        2.1 解析解

        在文獻(xiàn)[2]的外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰函數(shù)中加入偏置量,構(gòu)造懲罰函數(shù)為

        (7)

        μ——偏置量,μ>0。

        針對(duì)式(7)求解可構(gòu)成偏置量外點(diǎn)懲罰函數(shù)法,由式(7)可得其解析解為

        同樣,具有式(3)、(4)的解,在可行域內(nèi)或可行域外的問題。

        2.2 數(shù)值解

        分析表明,其數(shù)值解形式與式(5)、(6)一致的結(jié)論。

        2.3 偏置量外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的嚴(yán)格成立

        fm(x,μ)=cm(x)+μ。

        (8)

        選取終止條件為

        f1(xk+1,μ),…,fM(xk+1,μ)‖p≤ε,

        (9)

        式中:ε——允許誤差限,ε>0適當(dāng)正數(shù);

        ‖…‖p——范數(shù),p=1或2。

        則由式(9)得

        -ε1/p≤fm(xk+1,μ)≤ε1/p。

        (10)

        將式(8)代入式(10)得

        -ε1/p≤cm(xk+1)+μ≤ε1/p,

        (11)

        則由式(11)得

        -ε1/p-μ≤cm(xk+1)≤ε1/p-μ,

        選取

        μ≥ε1/p,

        (12)

        則有

        cm(xk+1)≤ε1/p-μ≤0。

        (13)

        滿足不等式(13)約束,偏置量外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的嚴(yán)格成立。可采用無約束最優(yōu)化的最速下降法[5]、修正牛頓法[6]、共軛梯度法[7]和擬牛頓法[8]等算法求解,文中采用改進(jìn)的DFP擬牛頓法求解。

        3 改進(jìn)的DFP擬牛頓法

        3.1 改進(jìn)的DFP擬牛頓法的推導(dǎo)

        文獻(xiàn)[9]的DFP擬牛頓法的迭代矩陣為

        Hk+1=Hk+ΔHk,

        (14)

        式中:Hk——近似矩陣;

        ΔHk——校正矩陣。

        (15)

        式中:Zk——近似解增量;

        Yk——梯度增量。

        Zk=xk-xk-1,

        Yk=?f(xk)-?f(xk-1),

        式中:f(…)——目標(biāo)函數(shù);

        ?f(xk)——梯度。

        Hk+1應(yīng)滿足的擬牛頓條件

        Hk+1Yk=Zk,

        (16)

        將式(14)代入式(16)得

        ΔHkYk=Zk-HkYk。

        (17)

        文獻(xiàn)[9]的DFP校正公式為

        改進(jìn)為

        (18)

        式中:λ1——權(quán)重矩陣;

        λ2——輔助矩陣。

        式(18)右乘Yk得

        (19)

        比較式(19)和式(17)得

        (20)

        (21)

        由式(21)得

        (22)

        可取

        (23)

        Uk=αk(Zk+δ1Yk),

        (24)

        Vk=βk(HkYk+δ2Yk),

        (25)

        式中:δ1——權(quán)重因子;

        δ2——權(quán)重因子;

        αk——加權(quán)因子;

        βk——加權(quán)因子。

        由式(24)代入式(20)得

        (26)

        由式(26)可得

        由式(25)代入式(23)得

        (27)

        由式(27)得

        由文獻(xiàn)[6]可知,

        當(dāng)Yk不是零向量時(shí),只要適當(dāng)選取δ1和δ2,即可使αk和βk的分母不趨于零,提高了算法的數(shù)值穩(wěn)定性。

        式(24)、(25)、(22)代入式(18),再代入式(14)、(15)得

        (28)

        由式(28)可知,Hk+1不對(duì)稱,要使改進(jìn)的DFP擬牛頓法有效,需保證Hk+1廣義正定,由文獻(xiàn)[11]的引理2,若Hk+1廣義正定,其對(duì)稱分量

        正定。

        式中:n——SA的維數(shù);

        SA(i,j)——SA的元素。

        式中,b——適當(dāng)?shù)恼龜?shù)。

        下面討論式(28)的2個(gè)簡化算法。

        算法1

        λ2=λ3Hk,

        式中,λ3——對(duì)角矩陣。

        算法2

        δ1=δ2=0,

        λ2=λ4Hk,

        式中,λ4——加權(quán)因子。

        則,式(28)退化為

        (29)

        下面證明式(29)的算法,因引入加權(quán)因子λ4,可提高算法的數(shù)值穩(wěn)定性。此時(shí),Hk+1對(duì)稱,引入Hk=QTQ,Q非奇異矩陣,代入式(29)得,?Y∈Rn,且Y≠0,有

        YTHk+1Y=YTHkY(1+λ4)+

        記QY=w,QYk=q,則

        (30)

        選取λ4>0,則式(30)的第二項(xiàng)與文獻(xiàn)[13]的證明擴(kuò)大1+λ4倍,加強(qiáng)了算法的數(shù)值穩(wěn)定性。

        3.2 改進(jìn)的DFP擬牛頓法求解

        由式(7)可得

        (31)

        (32)

        式(31)、(32)代入式(28)求解

        4 算例的數(shù)值分析

        待優(yōu)化問題

        s.t.g1(x)=x2+x4-x5-1=0,

        g2(x)=x1+x2+x3+x4+x5-2=0,

        g3(x)=2x1-0.5x3+x4-x5-1.5=0,

        初始化x1(0)=0.5,x2(0)=0.4,x3(0)=0.1,x4(0)=0.15,x5(0)=0.1。選取ε=1M(k)=2×1.1k,H0=I,λ2=diag[2,3,4,3,2]。

        采用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析,選取μ=ε1/2=1,嚴(yán)格成立的具有偏置量的懲罰函數(shù)法的優(yōu)化過程如表1所示。由表1可知,在優(yōu)化步驟k=3時(shí),得優(yōu)化解,且c1(x3)=-1.270 9<0,不等式約束滿足,其最優(yōu)解合理有效。選取μ=0.1,具有偏置量的懲罰函數(shù)法的優(yōu)化過程如表2所示。

        表1 嚴(yán)格成立的具有偏置量懲罰函數(shù)法的優(yōu)化過程

        表2 具有偏置量的懲罰函數(shù)法的優(yōu)化過程

        由表2可知,在優(yōu)化步驟k=4時(shí)停止優(yōu)化,此時(shí),c1(x4)=0.111 6>0,不等式約束不滿足,其最優(yōu)解也是不合理的無效。

        5 結(jié) 論

        (1)理論分析表明,外點(diǎn)懲罰函數(shù)法和具有偏置量的外點(diǎn)懲罰函數(shù)法其解析解和數(shù)值解有時(shí)不滿足不等式約束。當(dāng)偏置量和允許誤差限滿足式(12)時(shí),具有偏置量的外點(diǎn)懲罰函數(shù)法得數(shù)值解滿足不等式約束,嚴(yán)格成立。

        (2)在DFP擬牛頓法的校正公式中引入輔助矩陣和權(quán)重矩陣,獲得了改進(jìn)的DFP擬牛頓法,式(24)、(25)對(duì)Uk和VK進(jìn)行改進(jìn),使αk和βk的分母中引入了δ1‖Yk‖2和δ2‖Yk‖2項(xiàng),合理地選取δ1和δ2,可使αk和βk的分母不趨于零,提高了算法的數(shù)值穩(wěn)定性。給出了改進(jìn)后DFP擬牛頓法的兩個(gè)簡化算法,其簡化算法2具有提高算法數(shù)值穩(wěn)定性的性能。

        猜你喜歡
        懲罰優(yōu)化
        超限高層建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化思考
        民用建筑防煙排煙設(shè)計(jì)優(yōu)化探討
        關(guān)于優(yōu)化消防安全告知承諾的一些思考
        一道優(yōu)化題的幾何解法
        由“形”啟“數(shù)”優(yōu)化運(yùn)算——以2021年解析幾何高考題為例
        神的懲罰
        小讀者(2020年2期)2020-03-12 10:34:06
        懲罰
        趣味(語文)(2018年1期)2018-05-25 03:09:58
        真正的懲罰等
        基于低碳物流的公路運(yùn)輸優(yōu)化
        如此懲罰
        亚洲欧美国产精品久久| 日韩精品一级在线视频| 亚洲女同系列在线观看| 午夜成人理论福利片| 国产精品午夜无码av天美传媒| 视频国产精品| 精品国产三级a在线观看| 免费无遮挡毛片中文字幕| 中文字幕久久精品一区二区| 国产欧美日韩va另类在线播放| 日韩a无v码在线播放| 亚洲av高清在线观看三区| 国产在线一区二区三区不卡| 亚洲欧美日韩综合一区二区| 中文字幕一区二区三区精彩视频 | 亚洲a∨天堂男人无码| 国产精品专区一区二区av免费看| 亚洲av五月天一区二区| 亚洲中文字幕在线第二页| 欧美精品中文字幕亚洲专区| 国产蜜臀精品一区二区三区| 日本一级特黄aa大片| 天天综合网天天综合色| 国产精品无码久久久一区蜜臀| 国产成人亚洲精品一区二区三区| 亚洲国产婷婷六月丁香| 亚洲综合精品成人| 久久亚洲精彩无码天堂| 一级黄色一区二区三区| 亚洲精品国产suv一区88| 亚洲国产一区二区三区网| 一区二区三区人妻在线| 日本三级吃奶头添泬| 欧美巨大性爽| 国产精品玖玖资源站大全| 亚洲av男人的天堂一区| 末成年女a∨片一区二区| 国产在线精品一区二区在线看| av大片网站在线观看| 成 人片 黄 色 大 片| 极品熟妇大蝴蝶20p|