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        等量異號雙環(huán)電荷在軸線上產(chǎn)生勻強電場條件的研究*

        2021-07-26 04:52:10周群益
        物理通報 2021年8期

        周群益

        (廣州理工學(xué)院通識教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

        莫云飛

        (長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

        侯兆陽

        (長安大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710064)

        周麗麗

        (贛南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

        1 引言

        兩個半徑和電流大小方向都相同的共軸通電線圈的距離等于半徑時,中間部分接近于勻強磁場,這種線圈稱為亥姆霍茲線圈[1~3].兩個大小相同的共軸圓環(huán)帶有等量異號電荷時,簡稱為帶電雙環(huán).當(dāng)雙環(huán)很近時,在遠處產(chǎn)生的電場等效于一個電偶極子產(chǎn)生的電場[4].與亥姆霍茲線圈類似,當(dāng)兩環(huán)之間的距離等于某一臨界距離時,兩環(huán)之間的電場接近于勻強電場.文中說明了雙環(huán)之間的場強隨距離變化的規(guī)律,求出了臨界距離和臨界電場.

        2 軸線上的電場隨距離的變化

        如圖1所示,取z軸為兩環(huán)共軸,原點取在兩環(huán)正中間.設(shè)兩個圓環(huán)的半徑為a,距離為2L,均勻帶有等量異號電荷±Q.

        圖1 等量異號共軸雙環(huán)電荷的場強

        當(dāng)均勻正負(fù)圓環(huán)電荷中心位于原點時,在軸線上產(chǎn)生的場強為[2~4]

        (1)

        場強和距離無量綱化處理后關(guān)系如圖2所示,帶正電荷的圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場強用先負(fù)后正的虛線表示,帶負(fù)電荷的圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場強用先正后負(fù)的點虛線表示,當(dāng)兩環(huán)重合時,L=0,合場強為零用實線表示.

        圖2 雙環(huán)電荷軸線上的電場強度(L = 0)

        兩條曲線都有一個“峰”,E±(z)對z求導(dǎo)數(shù),可得

        (2)

        (3)

        如圖3所示,正電荷向左,負(fù)電荷向右拉開雙環(huán),當(dāng)L= 0.1a時,原點處的合場強形成一個“峰”,稱為“主峰”.“主峰”附近的電場并不均勻.

        圖3 雙環(huán)電荷軸線上的電場強度(L = 0.1a)

        繼續(xù)拉開雙環(huán),“主峰”不斷長高.如圖4所示,當(dāng)L= 0.707 11a時,兩個環(huán)的“峰”重疊,合場強的“主峰”達到最高.

        圖4 雙環(huán)電荷軸線上的電場強度(L = 0.707 11a)

        繼續(xù)拉開雙環(huán),“主峰”不斷降低.如圖5所示,當(dāng)L=a時,兩個環(huán)的“峰”錯開,“主峰”降低一些.

        圖5 雙環(huán)電荷軸線上的電場強度(L = a)

        繼續(xù)拉開雙環(huán),“主峰”將分裂為兩個對稱的“次峰”.如圖6所示,當(dāng)L= 2a時,“主峰”變成了“主谷”.“主谷”附近的電場也不太均勻.

        圖6 雙環(huán)電荷軸線上的電場強度(L = 2a)

        3 軸線上的臨界距離和臨界電場

        在“主谷”的兩側(cè)各有一個對稱的拐點.如果減少雙環(huán)之間的距離,兩個拐點將向中垂線靠攏.當(dāng)兩個拐點恰好在中垂線重合時,“主谷”消失,兩個“次峰”就合并為一個“平峰”,這個距離是臨界距離.

        在圖1中,左環(huán)正電荷在場點軸線點P處產(chǎn)生的電場強度為

        (4)

        右環(huán)負(fù)電荷在軸線上場點P處產(chǎn)生的電場強度為

        (5)

        合場強為

        E(z) =E1(z) +Ez(z)=

        (6)

        L是兩環(huán)之間的半距離,是決定場強分布規(guī)律的參數(shù).將E(z)對z求導(dǎo)數(shù)得

        (7)

        二階導(dǎo)數(shù)為

        (8)

        解得

        (9)

        2LC是兩環(huán)之間的臨界距離,LC就是臨界半距.這種雙環(huán)稱為臨界雙環(huán)或亥姆霍茲雙環(huán).臨界雙環(huán)在z= 0處的臨界場強為

        (10)

        臨界雙環(huán)的電場強度如圖7所示,在原點附近電場比較均勻.

        圖7 臨界雙環(huán)軸線上的電場強度(L = LC)

        4 公式的無量綱化和MATLAB程序

        取半徑a為長度單位,則無量綱的坐標(biāo)和距離為

        (11)

        (12)

        MATLAB的計算功能和圖形功能都很強,根據(jù)公式可設(shè)計一個簡短的程序,完成各種曲線的計算和繪制(見附錄).

        5 結(jié)束語

        靜電學(xué)和恒磁學(xué)往往有一些相似的問題.既然亥姆霍茲線圈可以在軸線上產(chǎn)生均勻磁場,也應(yīng)該存在“亥姆霍茲雙環(huán)”在軸線上產(chǎn)生均勻電場.這是一種十分有趣的聯(lián)想.利用亥姆霍茲線圈磁場的求法,即可求得臨界雙環(huán)的電場.

        利用MATLAB能夠簡單地求出臨界距離,還可以將雙環(huán)電荷所形成的電場隨距離的變化過程用動畫演示出來.

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