孫敏杰， 安 琦

（華東理工大學機械與動力工程學院，上海 200237）

深溝球軸承的波紋度誤差是造成軸承振動繼而產(chǎn)生噪聲的重要因素，軸承的滾道波紋度具有空間三維性質。但長期以來對軸承波紋度引起的振動噪聲問題一般都是簡化成一維形式，無法實現(xiàn)精確計算。

Yhland[1]以外部激振力的形式來描述軸承波紋度的影響，并研究了軸承的線性振動問題。Aktürk[2]研究了內(nèi)圈、外圈以及滾動體波紋度對軸承振動的影響，分析了波紋度數(shù)目與振動頻率之間的關系。Harsha 等[3]研究了由軸承波紋度所導致的軸承非線性振動問題，發(fā)現(xiàn)當滾動體數(shù)目與外圈波紋度數(shù)目相同時軸承振動加劇。Sopanen 等[4]綜合考慮了波紋度和彈流潤滑的影響，建立了深溝球軸承的六自由度模型。Lynagh 等[5]通過理論和實驗對滾動體尺寸誤差、滾動體和內(nèi)外圈滾道波紋度誤差導致的軸承和轉軸振動進行了研究。

Igarashi[6]通過測量聲壓發(fā)現(xiàn)噪聲主要來自于軸承套圈與保持架。Ananthapadmanaban 等[7]通過試驗獲得了不同加工精度的軸承噪聲頻譜，并研究了在滾動和滑動狀態(tài)下其不同的聲學特性。Rho 等[8]將軸承視為無限長柱體，研究了無外載作用下圓柱滾子軸承的噪聲特性。Ban 等[9]研究了在徑向載荷作用下軸承油膜波動所產(chǎn)生的聲壓沿軸承徑向的分布，揭示了聲壓與徑向間隙、潤滑油黏度之間的關系。涂文兵[10]利用邊界元法，建立了軸承-軸承座系統(tǒng)的振動噪聲模型，研究了承載區(qū)打滑狀態(tài)下軸承的噪聲特性。何磊等[11]采用專門從事噪聲分析的CAE 軟件Virtual. Lab 9A 對軸承的結構振動噪聲進行了仿真。王培[12]提出了軸承聲振耦合的算法，實現(xiàn)了對軸承聲學特性的預估。

通過文獻歸納可以看出，以往研究所建立的波紋度模型均只反映了軸承表面的一維特性。本文將通過力學分析，從三維角度構建軸承滾道三維波紋度模型，結合聲學相關理論研究深溝球軸承的振動噪聲問題。

1 計算模型構建

1.1 不考慮滾道波紋度誤差時的力學分析

圖1 所示為徑向力作用下深溝球軸承力學模型，在徑向力Fr的作用下，滾動體和內(nèi)外圈滾道相互接觸，產(chǎn)生接觸變形。內(nèi)圈中心由點O偏移到了位置O，其徑向位移 δr在X軸、Y軸的分量為 δx、 δy，在方位角 φj處的套圈位移量（ δr,j）為：δr,j=δxsinφj+δycosφj。

圖1 深溝球軸承受力模型Fig. 1 Mechanics analysis of deep groove ball bearing

滾動體與內(nèi)外套圈接觸將會產(chǎn)生彈性接觸變形，由文獻[13]可知滾動體與內(nèi)外圈滾道產(chǎn)生的彈性變形量 δi,j、 δo,j分別為：

其中Pe為軸承的游隙。根據(jù)受力平衡條件，內(nèi)圈與滾動體之間的接觸載荷分別在豎直與水平方向與所受到的外加載荷相互平衡：

其中Q為接觸載荷，由式(1)可得：

通過式(2)、(3)、(4)、(5)可以求得理想情況下各滾動體的接觸載荷Q的大小，同時也可以確定內(nèi)圈的徑向位移 δr。

1.2 考慮滾道波紋度誤差時的力學分析

本文通過自相關函數(shù)法可以得到三維的隨機波紋度表面。根據(jù)文獻[14]取指數(shù)型自相關函數(shù)：

式中： Δh為波紋度的幅值；τr、τz為周向和軸向取樣步長，βr、βz為相關長度。生成的波紋度表面如圖2所示。

圖2 軸承滾道表面波紋度示意圖Fig. 2 Surface waviness schematic of bearing raceway

圖3 所示為滾動體軸向位置示意圖。由圖3 可知，Obj為j號滾動體圓心未發(fā)生位移時的前球心位置，O′bj為發(fā)生位移后的前球心位置，ro為滾道外圈溝曲率半徑，（Y′,Z′）為無波紋度存在時外圈滾道表面點的坐標，（Y,Z）為存在波紋度時該點相對應的坐標值。當軸承承受徑向載荷作用時，由于滾道波紋度的存在，在中間平面滾動體受力不平衡，必然會向中間平面的兩邊發(fā)生竄動，當滾動體移動到一定的軸向位置，使得滾動體所受不平衡力分量相互抵消時，即為滾動體的實際平衡位置。

圖3 滾動體軸向位置示意圖Fig. 3 Axial displacement schematic of rolling body

滾動體在滾道內(nèi)旋轉，其與滾道所接觸的輪廓隨時間不斷發(fā)生改變。在軸承旋轉的任意時刻t，滾動體的上下表面與其接觸的軸承內(nèi)外圈表面可由一組函數(shù)來描述：

考慮接觸點處內(nèi)外圈滾道波紋度誤差，在方位角φj處套圈位移量與各滾動體接觸變形量的關系為：

其中： Δhi為接觸點處內(nèi)圈波紋度幅值； Δho為接觸點處外圈波紋度幅值。

圖4 波紋度影響下滾子受力平衡條件Fig. 4 Balance condition of balls under waviness

考慮波紋度影響時深溝球軸承受力模型如圖5所示。假設軸承內(nèi)圈受到的滾動體Z向載荷分量（Q）由轉軸承擔，即內(nèi)圈沿著Z向不發(fā)生振動，根據(jù)軸承的受力平衡可知，內(nèi)圈受到滾動體在豎直方向的作用力與所施加的載荷保持平衡：

圖5 考慮波紋度影響時深溝球軸承受力Fig. 5 Mechanics analysis of deep groove ball bearing considering waviness

同理，內(nèi)圈受到鋼球在水平方向的分力相互抵消：

將各滾動體的變形協(xié)調關系代入受力平衡方程(11)、(12)中即可求得在考慮波紋度情況下各滾動體的接觸載荷Q及內(nèi)圈的徑向位移 δr，同時將徑向位移對時間求導可以獲得內(nèi)圈的運動速度。

1.3 聲源模型建立

通過將軸承內(nèi)圈和滾動體的振動進行Fourier 展開，可以得到不同幅值、頻率和相位的簡諧振動。深溝球軸承滾動體聲源采用一階球振聲源模型，其輻射聲壓如式（13）所示。

式中：B1為一階球諾伊曼函數(shù)系數(shù)；k為聲音的波數(shù)；m為不同階簡諧振動的序數(shù)； θ 為各階聲波的初始相位；L為聲壓測點至軸承中心的距離； ω 為各階聲波的振動頻率。

采用聲學邊界元方法研究內(nèi)圈的聲學特性，為了簡化計算，對軸承內(nèi)圈滾道進行簡化，如圖6 所示為離散后的內(nèi)圈網(wǎng)格模型。

圖6 軸承內(nèi)圈邊界元方法模型Fig. 6 Boundary element method model of bearing inner ring

其中：pj,m為j球的聲壓值；vj,m為j單元的外法向振速。在求得了各階簡諧頻率振動下內(nèi)圈和滾動體的輻射聲場后，復雜振動下各聲源的輻射聲壓可以通過聲壓的疊加原理求得：

在求得了各聲源的輻射聲壓以后，從聲能的角度可得軸承內(nèi)圈和滾動體總的合成聲場，如式（18）所示：

圖7 軸承聲壓球面測點Fig. 7 Sound pressure field sphere points of bearing

2 算例研究

根據(jù)本文所建立的計算模型，以608 軸承為例對其進行算例研究，軸承的具體參數(shù)如表1 所示。

表1 軸承參數(shù)Table 1 Bearing parameters

圖8 軸承振動噪聲算法流程圖Fig. 8 Calculation flow chart for vibration and noise of rolling bearing

根據(jù)軸承聲壓級測試標準[18]，軸承的旋轉速度定為3 600 r/min，聲壓球面的測點半徑L為50 mm。軸承內(nèi)圈表面波紋度的幅值為1.0 μm，內(nèi)圈表面離散為400 個單元，并且在所計算的最高頻率內(nèi)滿足最大網(wǎng)格尺寸為波長的1/8 的要求。

根據(jù)已知的軸承幾何參數(shù)和運動參數(shù)，求解得軸承內(nèi)圈旋轉頻率fi= 60 Hz，滾動體旋轉頻率fb= 22.34 Hz，內(nèi)圈相對滾動體的旋轉頻率fib=fi?fb= 37.66 Hz，滾動體通過外圈的頻率fBPF=Nbfb=156.38 Hz，滾動體通過內(nèi)圈的頻率fBPFi=Nbfbi=263.62 Hz。

圖9(a) 所示為內(nèi)圈的軸心位移軌跡，圖9(b)、9(c)分別為軸心軌跡在X軸方向和Y軸方向上的投影。由圖可知，當不考慮波紋度的影響時軸心軌跡近似于橢圓，軸承內(nèi)圈按一定的規(guī)律周期性地振動，振動頻率等于滾動體通過外圈的頻率fBPF。然而當考慮了軸承滾道的波紋度后軸承內(nèi)圈中心偏離原來的軌跡進行無序運動，且振動的幅值遠大于不考慮波紋度時的幅值。

圖9 內(nèi)圈軸心位移Fig. 9 Orbit of the inner ring center

圖10(a)所示為滾動體球心的徑向位移。由圖可知滾動體的徑向振動主要由兩部分構成，一部分為軸承在運轉過程中滾動體不斷繞軸心作圓周運動時產(chǎn)生的周期性振動，其振動頻率為滾動體的旋轉頻率fb，另一部分為由內(nèi)外圈波紋度引起的高頻分量。圖10(b)所示為由波紋度引起的滾動體的軸向位移，滾動體繞中間平面往復振動。

圖10 滾動體球心軌跡Fig. 10 Orbit of the ball center

圖11(a)、(b) 所示分別為在球面測點處內(nèi)圈X、Y方向振動分量產(chǎn)生的聲場分布，圖11（c）、（d）所示分別為滾動體徑向及軸向振動的聲場分布，圖11(e)所示為軸承的總合成聲壓分布。由圖可知內(nèi)圈和滾動體由振動所產(chǎn)生的聲壓在空間中的分布是不均勻的，沿著內(nèi)圈振動方向測得的聲壓級具有較大數(shù)值，而垂直于振動方向測得的聲壓等級較小。

圖11 軸承內(nèi)圈和滾動體的聲壓分布Fig. 11 Sound pressure level (SPL) distribution of inner ring and balls

圖12(a)、(c)分別示出了內(nèi)圈在X、Y方向振動所產(chǎn)生的聲壓信號，在對其進行傅里葉變換（FFT）后可以得到相對應的聲壓頻譜圖，如圖12(b)、(d)所示。當考慮了滾道表面三維的隨機波紋度后，聲壓頻譜的成分十分復雜，其中在頻率為157 Hz 附近出現(xiàn)了第一條峰值，此頻率對應于滾動體通過外圈的頻率fBPF。由圖12(b)、(d)可知當頻率低于fBPF時相對應的聲壓的幅值接近于零，當頻率高于fBPF時出現(xiàn)了若干個峰值，其中部分峰值所在的頻率與基頻fBPF成倍數(shù)關系，部分峰值所在頻率與外圈頻率fBPFi成倍數(shù)關系，另外的一部分由波紋度的影響而產(chǎn)生。

圖12 測點H 處內(nèi)圈的聲壓響應Fig. 12 Response of sound pressure for inner ring at point H

圖13(a)、(b) 所示分別為在測點H處由單個滾動體在徑向和軸向計算得出的聲壓信號。由圖13 可知由于滾動體在振動的同時繞著軸心作圓周運動，聲源與測點間的距離不斷發(fā)生改變，從而使聲壓隨著時間變化出現(xiàn)周期性的波動，其中徑向振動產(chǎn)生的聲壓的波動頻率為 2fb，軸向振動產(chǎn)生的聲壓的波動頻率為fb。圖13(b)、(d) 所示為對應的聲壓頻譜圖，可知在低頻段（＜500 Hz）和高頻段（＞1 000 Hz）聲壓所占比例較小，而中頻段（500～1 000 Hz）所占的比例較大。

圖13 測點H 處滾動體的聲壓響應Fig. 13 Sound pressure response for balls at point H

為了研究不同波紋度對深溝球軸承產(chǎn)生噪聲的影響，根據(jù)JB/T 9 924—2014《磨削表面波紋度》標準[19]，分別取值0.16、0.25、0.40、0.63、1.00 μm。圖14 所示為在所選取的不同波紋度誤差下測點處內(nèi)圈沿X方向的聲壓響應及聲壓頻譜，可知隨著波紋度誤差的上升，軸承內(nèi)圈產(chǎn)生的噪聲也隨之增加，且在波紋度誤差較小的情況下聲壓頻譜主要由fBPF及其倍頻所組成，而在波紋度誤差較大時出現(xiàn)了fBPFi及其他高頻成分。

圖14 測點H 處不同波紋度內(nèi)圈X 方向振動聲壓響應Fig. 14 Sound pressure response of inner ring in X direction with different waviness at point H

不同波紋度情況下深溝球軸承各噪聲成分的峰值和RMS（Root Mean Spuare）值對比如圖15 所示，其中波紋度誤差為0 表示在正常軸承激勵下得到的分析結果。由圖可知各組分的聲壓值均隨著波紋度誤差的增大而增加，增速近似于線性且波紋度誤差對滾動體軸向振動噪聲的影響略大于徑向振動噪聲。

圖15 測點H 處不同波紋度軸承聲壓響應成分對比Fig. 15 Comparsion of sound pressure for different components under different waviness at point H

3 結 論

（1）通過力學分析，建立了深溝球軸承內(nèi)外圈滾道的三維波紋度誤差模型，分析了在徑向力作用下深溝球軸承的受力狀態(tài)，建立了對內(nèi)圈軸心軌跡及滾動體運動軌跡的計算模型。采用相應的聲學理論，建立了對深溝球內(nèi)圈和滾動體振動噪聲定量計算的聲學模型。

（2）通過具體算例，運用本文提出的聲學計算模型，數(shù)值研究了深溝球軸承內(nèi)圈和滾動體噪聲的聲輻射特性。研究表明內(nèi)圈和滾動體的噪聲輻射在空間中具有一定的指向性，且沿著其振動方向的聲壓級較大；通過對測點處各軸承組分的聲壓信號及頻譜的分析，發(fā)現(xiàn)內(nèi)圈的聲壓頻譜主要出現(xiàn)了以fBPF及fBPFi為基頻的倍頻分量，并伴隨波紋度引起的隨機的高頻成分，滾動體的聲壓頻譜峰值則主要集中于500～1000 Hz 頻率段；數(shù)值研究了不同波紋度誤差對軸承各組分的聲壓響應影響，繪制了影響曲線，發(fā)現(xiàn)存在波紋度誤差時的聲壓大于正常軸承的聲壓響應，且聲壓響應的峰值和RMS 值隨著波紋度誤差的增大而逐漸增大。

符號說明：