張敬君

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生深度思維，成為現(xiàn)代教學(xué)的核心價(jià)值和教學(xué)目標(biāo)追求。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常其他學(xué)科中的問題。數(shù)學(xué)深度思維能力是指發(fā)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，它在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中主要表現(xiàn)為分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。如今的部分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)慣于死板的聽講，低級(jí)的模仿，缺乏發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí)與習(xí)慣，讓他們敢于質(zhì)疑，敢于創(chuàng)新，成為當(dāng)務(wù)之急。下面筆者就復(fù)習(xí)課"運(yùn)動(dòng)路徑問題"，探尋如何用"問題"引領(lǐng)學(xué)生深度思維。

一、適時(shí)設(shè)問 引領(lǐng)學(xué)生自主探究

教學(xué)片斷1如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，從B運(yùn)動(dòng)到C，以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE.求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)。

學(xué)生運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)路徑問題的通性通法，先確定起點(diǎn)、過程點(diǎn)和終點(diǎn)的位置，探索出點(diǎn)E的大致形狀，從而求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2[2]。教師設(shè)問：大家有沒有疑惑的地方？

學(xué)生1：怎么來說明點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段？

學(xué)生2：可以運(yùn)用“SAS”證明△ABD≌△ACE。

學(xué)生3：根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出∠ACE=∠ABD=45°，因?yàn)榫€段AC固定，而∠ACE始終等于45°，即E點(diǎn)沿著線段運(yùn)動(dòng)。

學(xué)生4： 可以通過瓜豆原理來理解，主動(dòng)點(diǎn)是D，從動(dòng)點(diǎn)是E，點(diǎn)E是點(diǎn)D繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是線段BC，所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑就是線段BC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的線段，它的路徑長(zhǎng)就等于線段BC的長(zhǎng)。

教師適時(shí)設(shè)疑，學(xué)生們你一言，我一語，引發(fā)學(xué)生自主釋疑，讓學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)路徑的感性認(rèn)知上升為理性認(rèn)識(shí)。學(xué)生之間的思維方式更接近，對(duì)知識(shí)的本質(zhì)的理解更容易接受，從而營(yíng)造全員參與、主動(dòng)探究的課堂氛圍，喚醒學(xué)生的自主意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知情感，由消極被動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)向積極主動(dòng)狀態(tài)。

二、適時(shí)合作 引領(lǐng)學(xué)生多維探究

教學(xué)片斷2 如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是BC邊上一定點(diǎn)，且CD=1，點(diǎn)E是線段DB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為斜邊在AE的右側(cè)作等腰直角△AEF.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為____。

學(xué)生分組交流后發(fā)現(xiàn)，問題的關(guān)鍵又聚焦到如何說明點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段。

方法1：全等變換

如圖，連接CF，作FM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥AC于N.先證明△FNA≌△FME（AAS），可得FM=FM，AN=EM，又由四邊形CMFN是正方形，可知∠FCN=45°是一個(gè)定角，再加上定線段CA，所以點(diǎn)F沿線段運(yùn)動(dòng)，從而求得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為[322]。

方法2：相似變換

先確定起始位置[△ADF1]和運(yùn)動(dòng)過程中任一位置△AEF，連結(jié) [F1]F，先證明△ADE和△A[F1]F相似，故∠A[F1]F=∠ADE，而∠ADE是 定角，從而∠A[F1]F是定角，再加上定線段[F1]A，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是線段。

方法3：組合變換

本題是一個(gè)雙動(dòng)點(diǎn)問題，主動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段DB，從動(dòng)點(diǎn)F是繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再以A為位似中心，按位似比[2]：1縮小得到，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑就是：線段BD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，并縮小到原來的[2]分之一，從而求得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為[322]。

通過小組釋疑，靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動(dòng)過程中不變的幾何量，從全等變換、相似變換、四點(diǎn)共圓、函數(shù)思想、組合變換等多種角度，去審視題目的本質(zhì)，從而判定出軌跡的幾何特征，潛移默化中，學(xué)生的問題意識(shí)和質(zhì)疑能力得以提升。

三、適時(shí)延伸 引領(lǐng)學(xué)生深度探究

教學(xué)片斷3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_____。

借助軌跡思想，學(xué)生先抓牢題中的不變量，很明顯平面直角坐標(biāo)系、點(diǎn)A（2，0）與點(diǎn)B（5，0）是本題中的不變?cè)?題中涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和M，其中主動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)P，從動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)M，它隨著動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。

主動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是：以定點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)整圓⊙A，如圖1所示。

每給定一個(gè)點(diǎn)P，從動(dòng)點(diǎn)P就繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，再以定點(diǎn)B為位似中心，按位似比1：[2]放大，得到點(diǎn)M，如圖2和圖3所示，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑依然是一整圓。

我們先確定點(diǎn)M所在圓的圓心，把⊙A的圓心A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，再以B為位似中心，按位似比1：[2]放大（先旋轉(zhuǎn)，后位似——捆綁變換），得到M所在的圓的圓心，記為C，則圓心C的坐標(biāo)

為（2，3）;再確定半徑，半徑是⊙A的半徑的[2]倍，故⊙C的半徑長(zhǎng)為2[2]。從而點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是：以點(diǎn)C為圓心，以2[2]為半徑的圓，如圖4所示，最后求得其運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為4[2]π。

通過本題的拓展延伸，有利于鞏固運(yùn)動(dòng)軌跡問題的通解通法，更重要的是能提煉問題本質(zhì)，深化數(shù)學(xué)思想。在此過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)創(chuàng)造，從而培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)探究能力。

四、教學(xué)啟示

關(guān)于學(xué)生探究的重要性，溫伯格曾言：最好的學(xué)生與次好的學(xué)生的區(qū)別不在于知識(shí)的多少，而在于對(duì)未知領(lǐng)域的探究能力。這就要求我們摒棄從前灌輸式的固化教學(xué)形式，合理設(shè)計(jì)問題，適時(shí)質(zhì)疑，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究、深入探究，感悟數(shù)學(xué)思維過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。讓質(zhì)疑成為一種能力，成為一種習(xí)慣，在主動(dòng)探究的數(shù)學(xué)課堂中，享受教學(xué)相長(zhǎng)的快樂。