季曄，宗曉明，高飛，權(quán)思佳，盧陽(yáng)

(1.洛陽(yáng)理工學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023；2.中航光電科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471003；3.洛陽(yáng)軸承研究所有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；4.河南科技大學(xué)，河南 洛陽(yáng) 471003；5.高端軸承摩擦學(xué)技術(shù)與應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471003)

摩擦力矩是評(píng)價(jià)和影響軸承質(zhì)量的重要參數(shù)，摩擦對(duì)軸承性能研究的重要性日益得到重視，摩擦學(xué)也成為軸承研發(fā)的基礎(chǔ)理論，各國(guó)學(xué)者在Palmgren[1]軸承摩擦力矩計(jì)算公式的基礎(chǔ)上開展了大量研究[2-3]。文獻(xiàn)[4]研究了角接觸球軸承溝曲率半徑系數(shù)對(duì)摩擦力矩的影響；文獻(xiàn)[5]建立了推力球軸承動(dòng)力學(xué)模型和摩擦力矩?cái)?shù)學(xué)模型，得到了不同工況對(duì)軸承摩擦力矩的影響。近些年，國(guó)外學(xué)者研究了軸承摩擦力矩與潤(rùn)滑油性質(zhì)、溫度、載荷等因素之間的關(guān)系，研制了針對(duì)性的軸承摩擦力矩測(cè)量系統(tǒng)[6]。文獻(xiàn)[7]基于傳遞測(cè)量法研制了帶密閉容腔的軸承摩擦力矩測(cè)試儀；文獻(xiàn)[8]研制了雙杠桿式軸承摩擦力矩測(cè)量系統(tǒng)；文獻(xiàn)[9]研制了M992微型軸承轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩測(cè)量?jī)x；文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了圓錐滾子軸承摩擦力矩測(cè)量?jī)x。

滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承主要用于精密機(jī)械，要求具備零間隙、高運(yùn)動(dòng)精度、高剛度和低阻尼等特點(diǎn)，與之配套的摩擦力矩等性能參數(shù)測(cè)量裝置在國(guó)內(nèi)未見(jiàn)報(bào)道，有必要進(jìn)行相關(guān)研究。根據(jù)滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，其摩擦力矩測(cè)量?jī)x器需具備3個(gè)獨(dú)立的空間轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，可以采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)[11-13]。文獻(xiàn)[14]研究了3-PSU&S三轉(zhuǎn)動(dòng)自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題，分析了閉環(huán)矢量法建立機(jī)構(gòu)位置逆解模型，推導(dǎo)出關(guān)節(jié)空間與操作空間的速度映射模型；文獻(xiàn)[15]以一種三轉(zhuǎn)動(dòng)自由度數(shù)控臺(tái)為對(duì)象,研究了該機(jī)構(gòu)的奇異位形、工作空間及尺度綜合；文獻(xiàn)[16-17]對(duì)三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)類型綜合，設(shè)計(jì)了一種能輔助實(shí)現(xiàn)人體踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；文獻(xiàn)[18]基于G_F集理論提出了一種具有三轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)特征的四支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型方法。

綜上分析，本文設(shè)計(jì)了一種用于滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承摩擦力矩測(cè)量的混聯(lián)機(jī)構(gòu)。針對(duì)測(cè)量裝置的核心單元——三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用螺旋理論分析了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理，建立機(jī)構(gòu)輸入、輸出關(guān)系方程并推導(dǎo)出輸入、輸出運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系表達(dá)式。給定尺度參數(shù)，分析了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)工作空間、位置正解方法，并根據(jù)某一摩擦力矩檢測(cè)路徑得到了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)變化規(guī)律。

1 滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承結(jié)構(gòu)

如圖1所示，滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承由推力桿、軸承座、滾動(dòng)體和保持架組成。軸承座上有4個(gè)用于連接固定的螺栓孔，推力桿末端通過(guò)外螺紋與其他桿件相連，另一端為球頭，安放于保持架內(nèi)。目前，該類軸承主要由日本企業(yè)生產(chǎn)，國(guó)內(nèi)仍缺乏此類軸承性能檢測(cè)的相關(guān)設(shè)備。

1—保持架；2—滾動(dòng)體；3—軸承座；4—螺栓孔；5—推力桿

2 滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承摩擦力矩檢測(cè)裝置

滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承摩擦力矩檢測(cè)裝置如圖2所示，由三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)、移動(dòng)平臺(tái)、光杠、絲杠、固定平臺(tái)等部分構(gòu)成。

1—底座；2—移動(dòng)平臺(tái)；3—右立柱；4—上壓板；5—滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承；6—凸緣；7—三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；8—左立柱圖2 摩擦力矩檢測(cè)裝置機(jī)械結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Mechanical structure diagram of friction torque measuring device

滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承通過(guò)軸承座上的螺栓孔與并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連，推力桿通過(guò)末端螺紋與凸緣相連，凸緣與上壓板連接，并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)球面副與移動(dòng)平臺(tái)鉸接。立柱支承移動(dòng)平臺(tái)，通過(guò)調(diào)整立柱高度向軸承施加不同的預(yù)緊力，等同于拉壓試驗(yàn)機(jī)。

滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承摩擦力矩檢測(cè)裝置的機(jī)構(gòu)原理如圖3所示，待檢測(cè)軸承的推力桿通過(guò)凸緣與上固定平臺(tái)相連，移動(dòng)副調(diào)整移動(dòng)平臺(tái)高度至合適位置，軸承座與并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)固定連接。三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)支鏈運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承任意方向轉(zhuǎn)動(dòng)。摩擦力矩檢測(cè)完成后，將軸承從檢測(cè)設(shè)備中取下。

1—移動(dòng)副；2—移動(dòng)平臺(tái)；3—三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；4—滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承

3 三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)是檢測(cè)裝置的核心單元，其構(gòu)型取決于各支鏈結(jié)構(gòu)，支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋和約束螺旋則決定著運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的自由度。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)具有三轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，需要支鏈限制其3個(gè)移動(dòng)自由度，且具有3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈。因此，選用SRRR結(jié)構(gòu)為驅(qū)動(dòng)支鏈，其中S為球面副，R為轉(zhuǎn)動(dòng)副。如圖4所示，支鏈S1處為S副，與地面相連；A1，B1，R1處為3個(gè)R副，其轉(zhuǎn)動(dòng)軸線平行。

圖4 SRRR支鏈結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of SRRR-limb

在S副處建立笛卡爾坐標(biāo)系，支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋為

(1)

支鏈的約束螺旋為

(2)

式中：L1,L2,M1,M2為非零實(shí)數(shù)。

支鏈提供一個(gè)約束運(yùn)動(dòng)平臺(tái)沿z方向的移動(dòng)自由度。選取同樣的3條SRRR支鏈，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)喪失1個(gè)移動(dòng)自由度；增加1條從動(dòng)支鏈，該支鏈只有1個(gè)位于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)幾何中心的S副，設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)為3-SRRR/S，如圖5所示。

圖5 3-SRRR/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.5 Parallel mechanism of 3-SRRR/S

3-SRRR/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，S1，S2，S3與檢測(cè)裝置移動(dòng)平臺(tái)相連，待檢測(cè)軸承的軸承座與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上的螺紋孔相連。顯然，由于僅存在1個(gè)S副，從動(dòng)支鏈具有空間3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度運(yùn)動(dòng)螺旋，3個(gè)約束移動(dòng)的反螺旋。

機(jī)構(gòu)各支鏈均約束平臺(tái)沿z軸的移動(dòng)自由度，存在一個(gè)公共約束，因此機(jī)構(gòu)階數(shù)降為5；SiAi(i=1,2,3)構(gòu)件可以繞自身旋轉(zhuǎn)，為局部自由度。根據(jù)修正的Kutzbach-Grübler公式，機(jī)構(gòu)的自由度為

5×(11-13-1)+21-3=3，

(3)

式中：F為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；λ為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；n為構(gòu)件數(shù)；g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；ν為去除公共約束后的冗余約束數(shù)(機(jī)構(gòu)中不存在)；ζ為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度數(shù)。

綜上所述，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)空間三轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

4.1 位置關(guān)系分析

根據(jù)圖5所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)，以S1A1B1R1驅(qū)動(dòng)支鏈為分析對(duì)象，在△A1B1R1中定義

θ1=∠A1B1R1，

(4)

根據(jù)余弦定理可得

(5)

絞點(diǎn)S1與R1之間的距離記為l1，根據(jù)支鏈幾何關(guān)系和機(jī)構(gòu)學(xué)原理可得

(6)

同理，其余2條驅(qū)動(dòng)支鏈也存在上述幾何關(guān)系，則

。(7)

(8)

T=TzTyTx，

(9)

式中：P為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)矢量，即O′x′y′z′坐標(biāo)系在Oxyz坐標(biāo)系下的位置矢量；Tx，Ty，Tz為旋轉(zhuǎn)變換矩陣；α，β，γ分別為滾動(dòng)(Roll)、俯仰(Pitch)、偏轉(zhuǎn)(Yaw)角的RPY角表示。

li(i=1,2,3)在Oxyz坐標(biāo)系下的矢量可以表示為

li=ri-Si，

(10)

式中：Si為與地面連接的球面副在Oxyz坐標(biāo)系下的位置矢量。

(11)

機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)為θi，輸出參數(shù)為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角α，β,γ。通過(guò)(7)式和(11)式即可得到機(jī)構(gòu)的輸入、輸出位姿關(guān)系。

4.2 速度關(guān)系方程

將(7)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(12)

機(jī)構(gòu)速度逆雅可比矩陣Jinv為

將(11)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(13)

機(jī)構(gòu)速度正雅可比矩陣Jdir為

根據(jù)(12)式和(13)式可以得到機(jī)構(gòu)輸入角與姿態(tài)角變化率之間的關(guān)系。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)角速度與姿態(tài)角和姿態(tài)角變化率滿足

(14)

式中：ωx，ωy，ωz為Oxyz坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)平臺(tái)繞x軸、y軸和z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

4.3 加速度關(guān)系方程

將(12)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(15)

將(13)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(16)

將(14)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)角加速度為

(17)

5 三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)設(shè)計(jì)與數(shù)值算例

5.1 工作空間分析

運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角受O′處S副運(yùn)動(dòng)范圍的限制，約束條件為[19]

(18)

驅(qū)動(dòng)支鏈Si處S副的約束條件為[20]

(19)

式中：φ1，φ2，φ3分別為S1，S2，S3處運(yùn)動(dòng)副的傾斜角。

除Bi外，機(jī)構(gòu)中的R副可以不約束轉(zhuǎn)動(dòng)角度。Bi為驅(qū)動(dòng)副，控制θi的角度變化。受桿長(zhǎng)和干涉條件限制，θi的約束條件為

(20)

α-β和α-γ姿態(tài)角的工作空間如圖6所示，計(jì)算結(jié)果顯示，姿態(tài)角工作空間呈球面狀，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)工作空間連續(xù)，內(nèi)部無(wú)空洞。

圖6 工作空間截面圖Fig.6 Cross section of workspace

5.2 位置正解分析

機(jī)構(gòu)輸入、輸出參數(shù)關(guān)系表達(dá)式為強(qiáng)耦合非線性方程組，可采用粒子群優(yōu)化算法(PSO)處理此類高維非線性問(wèn)題[21]。前期采用較大的權(quán)重因子w有利于提高算法的探索能力以得到合適的種子，后期采用較小的w則傾向于局部搜索[22-23]。因此，提出一種動(dòng)態(tài)變權(quán)重的PSO算法，w的動(dòng)態(tài)變化值定義為

(21)

式中：wmin為最小權(quán)重因子，一般為[0.2,0.5]；wmax為最大權(quán)重因子，一般為[0.8,1]；kmax為最大迭代次數(shù)；k為當(dāng)前迭代次數(shù)。

在工作空間內(nèi)，將輸入θi代入(7)式得到li，建立適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)為

ffitness(α,β,γ)=

(22)

改進(jìn)PSO算法求得min{ffitness(α,β,γ)}時(shí)的X=(αβγ)T即為位置正解初值，再用擬牛頓(Broyden)法進(jìn)行迭代計(jì)算[24]，結(jié)果作為位置正解終值。算法的計(jì)算區(qū)間為整個(gè)工作空間，在工作空間內(nèi)選取10組姿態(tài)角進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 姿態(tài)角計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results of attitude angle rad

經(jīng)過(guò)多次計(jì)算可知，改進(jìn)PSO算法受隨機(jī)初始粒子的影響會(huì)使優(yōu)化結(jié)果有所波動(dòng)，經(jīng)過(guò)一次Broyden迭代計(jì)算后精度大大提高，迭代不超過(guò)5次即可收斂。

5.3 摩擦力矩測(cè)量路徑運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)計(jì)算

模擬軸承任一運(yùn)動(dòng)路徑，并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)從姿態(tài)X0(0.034 907，-0.122 17，-0.157 08)T轉(zhuǎn)動(dòng)到姿態(tài)Xf(0.087 266，-0.087 27，-0.104 72)T，單位為rad。要求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5 s，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的角速度和角加速度均為零，采用五次多項(xiàng)式軌跡，運(yùn)動(dòng)方程為

X=s0+s1t+s2t2+s3t3+s4t4+s5t5，

(23)

用X表示(αβγ)T，則

(24)

根據(jù)X0到Xf姿態(tài)的軌跡條件，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角變化方程為

(25

將(25)式代入(11)式得到li的變化曲線，根據(jù)(7)式推導(dǎo)可得

(26)

將li計(jì)算結(jié)果代入(26)式可以得到輸入角的變化規(guī)律，根據(jù)已推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可得輸入角角速度和角加速度的變化規(guī)律，如圖7所示。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角變化過(guò)程中，機(jī)構(gòu)輸入角滿足工作空間約束條件，角速度和角加速度曲線初始時(shí)刻和終止時(shí)刻為0，曲線變化平穩(wěn)。

圖7 轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)發(fā)生器運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)變化曲線Fig.7 Variation curve of kinematic parameters of rotational motion generator

6 結(jié)束語(yǔ)

1)設(shè)計(jì)了用于滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承摩擦力矩測(cè)量的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)包括實(shí)現(xiàn)一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)平臺(tái)和實(shí)現(xiàn)三轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

2)建立了三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入、輸出運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，計(jì)算了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)工作空間和位置正解，隨機(jī)選取一條摩擦力矩檢測(cè)路徑得到了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的變化規(guī)律。

3)機(jī)構(gòu)分析計(jì)算結(jié)果為摩擦力矩檢測(cè)系統(tǒng)控制策略研究和軟件開發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)。

除用于軸承摩擦力矩測(cè)量外，該裝置也可以用于旋轉(zhuǎn)精度等軸承性能指標(biāo)的測(cè)量。工業(yè)生產(chǎn)對(duì)設(shè)備精度要求越來(lái)越高，能耗要求越來(lái)越低，滾動(dòng)關(guān)節(jié)軸承可以在大幅度空間靈活轉(zhuǎn)動(dòng)，且能量損失明顯小于滑動(dòng)關(guān)節(jié)軸承，開發(fā)相應(yīng)的測(cè)量設(shè)備保證產(chǎn)品質(zhì)量和使用性能有顯著意義。