劉孝柏, 曹艷玲, 曹雪梅

(河南科技大學(xué) a. 機電工程學(xué)院；b.車輛與交通工程學(xué)院，河南 洛陽 471003)

0 引言

弧齒錐齒輪傳動平穩(wěn)，承載能力大，廣泛應(yīng)用于汽車、輪船和航空航天等領(lǐng)域，用于傳遞兩軸之間的運動和動力。在齒輪嚙合傳動過程中，承載傳動誤差作為振動的直接激勵，是產(chǎn)生振動和噪聲的主要因素[1-3]，對整個傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)性影響很大。因此，分析弧齒錐齒輪的承載振動特性，對提高齒輪傳動平穩(wěn)性具有重要意義。

文獻[4-5]基于局部綜合法和遺傳算法，對準(zhǔn)雙曲面齒輪的加工參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，進而有效地提高了齒輪副的動態(tài)特性。文獻[6]利用ease-of差齒面，結(jié)合輪齒剛度解析法，提出輪齒時變嚙合剛度算法與承載分析方法，對斜齒輪的動態(tài)嚙合性能進行了分析。文獻[7]在計算時變嚙合剛度的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了承載傳動誤差簡化計算公式，分析了齒面印痕和幾何傳動誤差對承載傳動誤差的影響。文獻[8]提出了幾何傳動誤差曲線幅值的設(shè)計，結(jié)合承載傳動誤差，使齒輪在不同載荷條件下既能具有高重合度，又保證了相對低的誤差敏感性，有效改善了齒輪的動態(tài)特性。文獻[9]研究了不同載荷下，接觸橢圓長軸長度、接觸跡線方向?qū)r變嚙合剛度和傳動誤差的影響規(guī)律。文獻[10-11]采用有限元方法對螺旋錐齒輪進行了接觸分析，討論了齒輪接觸剛度計算方法、應(yīng)力變化和振動沖擊等。

弧齒錐齒輪有限元模型通常是利用編程軟件生成單齒凸面和凹面的齒面點，然后導(dǎo)入CAD軟件生成全齒三維模型，通過手動調(diào)整主從動輪的裝配位置來模擬滾檢，很可能產(chǎn)生裝配誤差和輪齒干涉現(xiàn)象[12]。CAD裝配模型通過CAE軟件中的實體切分、網(wǎng)格劃分等操作生成有限元模型，不僅工作量大，還導(dǎo)致齒面的精度損失，齒面拓撲形狀微米量級的變化就能對齒輪嚙合性能產(chǎn)生較大的影響[13-14]，因此，基于CAD軟件建立的齒輪副有限元模型難以滿足高精度建模的要求。

本文根據(jù)加工參數(shù)計算齒面點，直接以齒面點為網(wǎng)格節(jié)點，建立高精度的輪齒有限元模型。采用輪齒接觸分析，精準(zhǔn)計算大小輪齒面嚙合位置，從而建立精確的齒輪副有限元裝配模型。

采用靜態(tài)分析方法計算輪齒的齒面接觸應(yīng)力、接觸印痕及不同負載下的承載傳動誤差曲線，并將承載傳動誤差作為激勵，研究了弧齒錐齒輪副承載振動特性，為提升齒輪副承載動態(tài)特性奠定基礎(chǔ)。

1 弧齒錐齒輪有限元分析前處理

1.1 有限元模型的建立

根據(jù)弧齒錐齒輪的基本參數(shù)和機床加工參數(shù)求解大輪齒面方程，建立大輪的旋轉(zhuǎn)投影平面[15]。圖1為大輪網(wǎng)格節(jié)點在旋轉(zhuǎn)投影面上的位置分布。

圖1 大輪網(wǎng)格節(jié)點在旋轉(zhuǎn)投影面上的位置分布

齒面上每一個節(jié)點坐標(biāo)都滿足：

(1)

其中：L為旋轉(zhuǎn)投影面的橫坐標(biāo)軸；R為旋轉(zhuǎn)投影面的縱坐標(biāo)軸；m為沿齒長方向劃分的網(wǎng)格節(jié)點個數(shù)；n為沿齒高方向劃分的網(wǎng)格節(jié)點個數(shù)；u和v為齒面方程的兩個變量。

齒輪的承載傳動是高度復(fù)雜的幾何非線性和邊界條件非線性的接觸問題，齒面不可避免地會受到?jīng)_擊甚至產(chǎn)生扭曲變形，由于六面體網(wǎng)格抗扭曲能力強，計算效率和計算精度高，所以對齒輪進行網(wǎng)格劃分時選用高質(zhì)量的六面體網(wǎng)格，對齒輪的性能分析意義重大[16]。通過位置方程求解齒面上任一個網(wǎng)格節(jié)點的位矢和法矢；根據(jù)凸面和凹面對應(yīng)的節(jié)點，合理地設(shè)計齒厚方向網(wǎng)格節(jié)點密度。

考慮到齒輪的工作壽命與最大彎曲應(yīng)力值的六次方成反比，即彎曲應(yīng)力略微減小，就會使得齒輪的工作壽命大幅度的提高[17]。在齒根過渡曲線處，齒輪形體發(fā)生突變，產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，模型沿齒根過渡曲線進行網(wǎng)格加密處理，劃分6個節(jié)點。

弧齒錐齒輪的基本參數(shù)如表1所示，表2為大輪和小輪加工參數(shù)。

表1 弧齒錐齒輪的基本參數(shù)

表2 大輪、小輪加工參數(shù)

圖2為通過輪齒接觸分析得到的齒輪副工作面齒面印痕和傳動誤差圖?；谟嬎愕膫鲃诱`差，求得嚙合路徑每一瞬時接觸點上的主從動齒輪嚙合轉(zhuǎn)角，通過坐標(biāo)變換得到弧齒錐齒輪單齒有限元裝配模型。

(a) 大輪齒面接觸印痕

按照inp文件格式，將有限元裝配模型節(jié)點及網(wǎng)格信息儲存在inp文件中，導(dǎo)入有限元軟件，可得到在正確裝配位置下的有限元模型，五齒有限元裝配模型如圖3所示。

圖3 弧齒錐齒輪五齒有限元裝配模型

1.2 有限元模型前處理

在ABAQUS軟件中進行有限元接觸分析，對裝配好的五齒模型設(shè)置如下：

材料屬性：齒輪大小輪材料均為合金鋼，楊氏模量E為2.1×105MPa、泊松比σ為0.3、密度ρ為7.9×10-9t/mm3。

接觸對：定義接觸面，包括輪齒凸面和凹面、相鄰齒間的齒根過渡區(qū)域、齒頂過渡區(qū)域。齒輪在嚙合過程中會出現(xiàn)相互浸透現(xiàn)象，這將直接影響求解器計算的進程和精度[18]。為避免浸透現(xiàn)象的發(fā)生，按照主面和從面的選擇規(guī)則[19-20]，大輪齒面為從面，小輪齒面為主面，建立接觸對。

耦合點：取大輪、小輪旋轉(zhuǎn)軸線上一點為參考點，將齒輪內(nèi)圈和輪轂斷面耦合在參考點上，方便邊界條件的施加。

分析步：采用隱式靜力學(xué)分析方法，為保證有限元分析計算收斂，設(shè)置2個分析步。第1個分析步消除齒側(cè)間隙，使兩嚙合齒面接觸，保證初始接觸迭代計算收斂，時間為1 s。第2個分析步時間設(shè)置為3 s。

邊界條件和載荷：小輪全約束，大輪開放繞自身旋轉(zhuǎn)自由度，并施加扭矩。

2 承載接觸分析

2.1 接觸應(yīng)力

圖4為大輪施加30 N·m時各接觸位置的齒面接觸應(yīng)力分布云圖。齒輪在正常嚙合過程中，單齒嚙合時接觸應(yīng)力值最大，雙齒嚙合時，兩對齒都分擔(dān)載荷，此時齒面的接觸應(yīng)力就會減小。

通過圖4分析每一瞬時齒輪的嚙合運動，根據(jù)應(yīng)力分布云圖和接觸印痕，可以看出大輪接觸橢圓從大端齒頂向小端齒根逐漸移動，最大主應(yīng)力位于接觸橢圓的中心位置。由圖4a可知：接觸區(qū)域位于工作面中間部位。由圖4b可以看出：大輪中間齒在退出嚙合時，齒面最大接觸應(yīng)力位于齒頂線下側(cè)，齒輪嚙合過程中并未出現(xiàn)邊緣接觸。

2.2 承載傳動誤差

承載傳動誤差是指受載狀態(tài)下，當(dāng)主動輪勻速回轉(zhuǎn)時，從動輪實際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的差值，主要由于齒輪受載后彈性變形導(dǎo)致，包括輪齒的彎曲變形、齒面接觸變形及輪體變形等[21-22]。任意小輪轉(zhuǎn)角位置轉(zhuǎn)角φ下，承載傳動誤差EL可表示為：

EL=δφ+ET，

(2)

其中：ET為齒面接觸分析得到的轉(zhuǎn)角φ的幾何傳動誤差；δφ為承載變形量，可通過有限元軟件提取。

(a) 大輪中間齒單齒嚙合應(yīng)力分布云圖

不同負載下的承載傳動誤差曲線如圖5所示。由圖5可知：負載分別為10 N·m、30 N·m和50 N·m時，承載傳動誤差由線波動幅值分別為18.64 μrad、11.18 μrad和31.24 μrad。承載傳動誤差波動先減小后增大，當(dāng)負載達到50 N·m時，承載傳動誤差最大幅值為259.15 μrad，曲線位于幾何傳動誤差曲線右端端點上方，處于邊緣接觸的臨界狀態(tài)。嚴(yán)重的邊緣接觸會使最大接觸應(yīng)力發(fā)生在齒輪齒頂或齒根處，引起輪齒強度破壞，使傳動不平穩(wěn)，承載傳動誤差曲線波動幅值較大。當(dāng)負載為30 N·m時，該對齒輪副對應(yīng)的承載傳動誤差波動最小，為11.18 μrad，傳動最平穩(wěn)。

圖5 不同負載下的承載傳動誤差曲線

3 振動分析

承載傳動誤差的時變性會產(chǎn)生動態(tài)嚙合力，從而引起齒輪系統(tǒng)的振動噪聲[23]。為了評估齒輪副的動態(tài)嚙合性能，以承載傳動誤差為激勵，利用MASTA軟件進行振動分析。

圖6是負載分別為10 N·m、30 N·m和50 N·m下，齒輪副前3階嚙合頻率振動加速度瀑布圖，第1階嚙合頻率的振動加速度最大，對齒輪副整體振動的貢獻度最大。

負載30 N·m的第1階嚙合頻率振動加速度最大值明顯最小，如圖6b所示。10 N·m、50 N·m的振動加速度最大值依次增大，如圖6a和圖6c所示。以負載30 N·m為例，在第1階嚙合頻率下，第1階和第3階固有頻率1.66 kHz和2.19 kHz處出現(xiàn)較為明顯的峰值，振動加速度分別為131.91 m/s2和128.93 m/s2，說明齒輪嚙合頻率與固有頻率相同，產(chǎn)生共振；在第2階固有頻率2.10 kHz處，未引起齒輪副劇烈振動。

圖7a為負載30 N·m工況下，動態(tài)嚙合力隨頻率變化的曲線圖；圖7b為負載30 N·m工況下，相位隨頻率變化的曲線圖；圖7c為負載30 N·m工況下，柔度隨頻率變化的曲線圖。從圖7a中可以看出：動態(tài)嚙合力出現(xiàn)兩次峰值，分別位于1.66 kHz和2.19 kHz處。相位波動為0°～180°，如圖7b所示。在圖7c中，兩條柔度曲線有3個交點，分別位于頻率1.66 kHz、2.10 kHz和2.19 kHz處。

(a) 10 N·m負載下振動加速度瀑布圖

(a) 負載30 N·m工況下動態(tài)嚙合力隨頻率變化曲線圖

從圖7中可以看出：當(dāng)嚙合頻率為1.66 kHz和2.19 kHz時，齒輪副柔度絕對值相等，相位相反，動態(tài)嚙合力出現(xiàn)峰值；嚙合頻率為2.10 kHz時，齒輪副柔度絕對值不相等，且相位相差不為180°，雖然嚙合頻率等于固有頻率，但未引起齒輪副劇烈振動。結(jié)合圖6和圖7，通過嚙合頻率和固有頻率相等可以找出潛在共振發(fā)生的區(qū)域，只有當(dāng)齒輪副柔度絕對值相等、相位相反時，齒輪動態(tài)嚙合力出現(xiàn)峰值，才引起齒輪副的劇烈振動。結(jié)合圖5中齒輪在不同負載下的承載傳動誤差波動曲線，齒輪發(fā)生共振時，降低承載傳動誤差波動，可以有效地降低齒輪振動加速度幅值。

4 試驗驗證

基于錐齒輪閉功率流疲勞壽命試驗臺，使用M+P動態(tài)信號分析儀，對弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)進行振動試驗。M+P動態(tài)信號分析儀適用于所有振動噪聲、聲學(xué)和一般動態(tài)信號測量，可提供試驗測試方案。圖8為錐齒輪閉功率流試驗臺，將傳感器固定在距離嚙合位置較近的主動輪軸上方，圖9為傳感器放置位置。

圖8 錐齒輪閉功率流試驗臺

圖9 傳感器放置位置

設(shè)置輸入軸轉(zhuǎn)速為540 r/min，從動輪負載分別為10 N·m、30 N·m和50 N·m，測得的軸向振動信號如圖10所示。

(a) 轉(zhuǎn)速540 r/min、負載10 N·m

由圖10可以看出：不同工況的頻譜圖中都包括弧齒錐齒輪的嚙合頻率和諧波分量，并且第1階嚙合頻率處的振動加速度值最大，與圖6的振動加速度瀑布圖分析結(jié)論一致。在轉(zhuǎn)速相同的條件下，分析第1階嚙合頻率處的振動加速度，可以看出：30 N·m負載下的振動加速度幅值最小，為0.109 7 m/s2，而50 N·m負載下的振動加速度幅值最大，為0.180 2 m/s2，隨著負載從10 N·m增加到30 N·m和50 N·m，振動加速度先減小后增大，與圖5的承載傳動誤差分析規(guī)律一致。為保證弧齒錐齒輪副具有較好的動態(tài)嚙合性能，應(yīng)使負載工況下的承載傳動誤差幅值波動最小。

5 結(jié)論

(1)通過齒面承載接觸分析，計算了不同負載下的承載傳動誤差，隨著負載的不斷增加，承載傳動誤差曲線波動幅值先減小后增大。

(2)通過嚙合頻率和固有頻率相等可以找出潛在共振發(fā)生的區(qū)域，只有當(dāng)齒輪副柔度絕對值相等、相位相反時，齒輪動態(tài)嚙合力出現(xiàn)峰值，才會引起齒輪副的劇烈振動。

(3)以承載傳動誤差作為激勵，對齒輪傳動系統(tǒng)進行振動分析。承載傳動誤差波動幅值越大，產(chǎn)生的振動加速度越大。在齒面設(shè)計時應(yīng)考慮工況載荷，設(shè)計的幾何傳動誤差幅值應(yīng)使相應(yīng)的承載傳動誤差曲線波動最小，齒輪副處于最佳工況傳動，振動最小。