王紅娟,劉 芳

(內(nèi)江師范學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100)

1 引言

洪澇災(zāi)害會(huì)沖毀農(nóng)田，造成農(nóng)民的經(jīng)濟(jì)損失，因此需要修筑堤壩來防洪。 多屬性決策方法就是從多種方案中選出最優(yōu)方案，專家可以通過模糊集對(duì)建筑公司進(jìn)行評(píng)價(jià)選擇最好的建筑公司來修建堤壩， 這是因?yàn)閷＜液茈y通過精確的值來表達(dá)他們對(duì)建筑公司的評(píng)價(jià)。Zadeh[1]提出了模糊集的理論。Atanassov[2]提出了直覺模糊集的理論，其特征是隸屬度和非隸屬度的和小于等于1。 Yager[3]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集，其特征是隸屬度的平方與非隸屬度平方的和小于等于1。 當(dāng)專家給出的隸屬度的平方與非隸屬度的平方和大于1，但三次或更高冪次的和小于等于1時(shí)，直覺模糊集和畢達(dá)哥拉斯集無法處理這類信息。因此，Yager[4]提出了q階orthopair模糊集的概念， 它要求隸屬度的q次冪和非隸屬度的q次冪的和小于或等于1?？梢钥吹疆?dāng)q=1和q=2時(shí)，q階orthopair模糊數(shù)分別簡(jiǎn)化為直覺模糊數(shù)和畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)。近年來，q階orthopair模糊數(shù)受到越來越多的關(guān)注[5～9]。

在實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象服從正態(tài)分布[10,11]，如“燈泡使用壽命”和“股票價(jià)格”等。對(duì)于此，Yang和 Ko[11]介紹了正則模糊數(shù)。正則模糊數(shù)要更接近于人類的決策思考比三角形和梯形模糊數(shù)。許多學(xué)者對(duì)正則模糊數(shù)進(jìn)行研究。Wang等[10]和Wang等[12]提出了直覺正則模糊數(shù)和運(yùn)算規(guī)則以及聚合算子。在此基礎(chǔ)上，一系列聚合算子被提出基于直覺正則模糊[14～16]。Yang等[17]提出了q階orthopair正則模糊數(shù)，介紹了q階orthopai正則模糊加權(quán)平均和q階orthopair正則模糊加權(quán)幾何等算子。

在q階orthopair模糊環(huán)境中提出的許多屬性決策問題沒有將專家對(duì)方案的熟悉度納入信息聚合中。多屬性決策問題中專家根據(jù)屬性只給出了對(duì)方案的偏好，也就是專家對(duì)方案的熟悉度(叫做置信水平)沒有包括。因此，Joshi和Gegov[18]提出了基于置信水平的置信q階orthopair模糊加權(quán)平均，置信q階orthopair模糊有序加權(quán)平均，置信q階orthopair模糊加權(quán)幾何，置信q階orthopair模糊有序加權(quán)幾何。在q階orthopair正則模糊環(huán)境中提出的許多屬性決策問題沒有將專家對(duì)方案的熟悉度納入信息聚合中。 因此，本文提出了置信q階orthopair正則模糊加權(quán)平均(CNFWA)和置信q階orthopair正則模糊加權(quán)幾何(CNFWG)基于置信水平在q階orthopair正則模糊環(huán)境中。

本文主要由以下幾方面構(gòu)成：第二部分給出了正則模糊數(shù)、q階orthopair模糊集、q階orthopair正則模糊數(shù)、q階orthopair正則模糊數(shù)比較大小的方法、q階orthopair正則模糊加權(quán)平均和q階orthopair正則模糊加權(quán)幾何；第三部分介紹了置信q階orthopair正則模糊加權(quán)平均和置信q階orthopair正則模糊加權(quán)幾何以及各自的冪等性和單調(diào)性，且有兩個(gè)例子；第四部分介紹了一個(gè)多屬性群決策方法基于置信水平，并且通過一個(gè)實(shí)例將提出的方法和現(xiàn)有的方法進(jìn)行比較說明提出的方法更有效；第五部分給出結(jié)束語。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 正則模糊數(shù)

2.2 q階orthopair模糊集

定義2[4]假設(shè)Z是一個(gè)給定的集合，定義在Z上的q階orthopair模糊集合Ξ表示為：

Ξ={〈z,ηΞ(z),μΞ(z)〉|z∈Z},

其中0≤ηΞ(z),μΞ(z)≤分別表示z的隸屬度和非隸屬度滿足0≤(ηΞ(z))q+(μΞ(z))q≤1,?z∈Z(q≥1)。

一般地, 把(ηΞ(z),μΞ(z))叫做一個(gè)q階orthopair模糊數(shù)，表示為ζ=(η,μ)。

定義 3[17]設(shè)Z是一個(gè)給定的集合,(η,μ)∈H,Θ=〈(α,σ),(ηΘ,μΘ)〉是一個(gè)q階orthopair正則模糊集，當(dāng)它的隸屬度和非隸屬度分別為：

其中0≤ηΘ(z)≤1,0≤μΘ(z)≤1,0≤(ηΘ(z))q+(μΘ(z))q≤1(q≥1)。

為了方便，將Θ=〈(α,σ),(η,μ)〉稱為一個(gè)q階orthopair正則模糊數(shù)。

Yang等[17]介紹比較q階orthopair正則模糊數(shù)的方法。設(shè)Θ=〈(α,σ),(η,μ)〉,稱S1(Θ)=α(ηq-μq)和S2(Θ)=σ(ηq-μq),H1(Θ)=α(ηq+μq)和HH2(Θ)=σ(ηq+μq),分別為Θ的得分函數(shù)和精確函數(shù)。

設(shè)Θ1和Θ2為兩個(gè)q階orthopair正則模糊數(shù)，則

(1)如果S1(Θ1)>S1(Θ2),則Θ1>Θ2;

(2)如果S1(Θ1)=S1(Θ2)并且H1(Θ1)>H1(Θ2),則Θ1>Θ2;

(3)如果S1(Θ1)=S1(Θ2)并且H1(Θ1)=H1(Θ2)則如果S2(Θ1)Θ2;

如果S2(Θ1)=S2(Θ2)并且H2(Θ1)Θ2;如果S2(Θ1)=S2(Θ2)并且H2(Θ1)=H2(Θ2),則Θ1=Θ2。

q-RONFWA(Θ1,…,Θm)

q-RONFWA(Θ1,…,Θm)=

3 q階orthopair正則模糊聚合算子基于置信水平

下面將提出置信q階orthopair正則模糊加權(quán)平均和置信q階orthopair正則模糊加權(quán)幾何算子。將專家的置信水平與評(píng)價(jià)方案融合在一起。

則稱CNFWA為置信q階orthopair正則模糊加權(quán)平均算子。

例1設(shè)Θ1=〈((0.4,0.03),(0.6,0.5)),0.3〉,Θ2=〈((0.7,0.04),(0.5,0.5)),0.6〉,Θ3=〈((0.6,0.04),(0.7,0.1)),0.5〉和Θ4=〈((0.5,0.02),(0.4,0.3)),0.8〉是4個(gè)q階orthopair正則模糊數(shù)和它們的置信水平，令w=(0.25,0.2,0.3,0.25)T為它們的權(quán)重向量，q=3，則：

CNFWAq(〈Θb,lb〉,…,〈Θ4,l4〉)

CNFWA算子有冪等性和單調(diào)性：

(1)冪等性: 如果〈Θb,lb〉=〈Θ,l〉，?b,即αb=α,σb=σ,ηb=η,μb=μ,lb=l，則：

CNFWAq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θm,lm〉)=lΘ

CNFWAq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θ,lm〉)≥C

則稱CNFWG為置信q階orthopair正則模糊加權(quán)幾何算子。

例2設(shè)Θ1=〈((0.5,0.06),(0.5,0.4),0.5〉,Θ2=〈((0.1,0.07),(0.6,0.4),0.6〉,Θ3=〈((0.8,0.06),(0.5,0.5),0.6〉和Θ4=〈((0.7,0.01).(0.5,0.6),0.8〉是4個(gè)q階orthopair正則模糊數(shù)和它們的置信水平，令w=(0.24,0.26,0.3,0.2)T為它們的權(quán)重向量，q=3，則：

CNFWGq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θ4,l4〉)

CNFWG算子有冪等性和單調(diào)性：

(1)冪等性:如果〈Θb,lb〉=〈Θ,l〉，?b,即αb=α,σb=σ,ηb=η,μb=μ,lb=l，則

CNFWGq(〈Θ1,l1〉,…，〈Θm,lm〉)=Θl。

4 多屬性決策方法基于置信水平

下面給出關(guān)于CNFWG和CNFWG算法的步驟。

步驟3： 分別用q-RONFWA和q-RONFWG對(duì)γ=(Θrb)p×m每一行進(jìn)行聚合得到Θr=((αr,σr),(ηr,μr))(r=1,…,p)；

步驟4：根據(jù)q階orthopair正則模糊數(shù)比較大小的方法，得到最優(yōu)方案。

例：某地農(nóng)民通過專家的評(píng)價(jià)要從{Ψ1,…,Ψ4}這4家建筑公司里選一家來修筑堤壩，3位專家{Φ1,Φ2,Φ3}和他們的權(quán)重為0.3,0.35,0.35，公司的屬性為技術(shù)(?1)、經(jīng)驗(yàn)(?2)和成本(?3)且權(quán)重為0.4,0.3,0.3，專家用q階orthopair正則模糊數(shù)對(duì)建筑公司進(jìn)行評(píng)價(jià)和他們的置信水平得到專家矩陣，如表1。

表1 專家矩陣

表2 決策矩陣

表3 決策矩陣

步驟3：用q-RONFWA和q-RONFWG對(duì)γ=(Θrb)p×m每一行進(jìn)行聚合分別得到：

Θ1=〈(0.608,0.608),(0.644,0.411)〉,Θ2=〈(0.557,0.557),(0.698,0.359)〉,Θ3=〈(0.601,0.601),(0.679,0.400)〉,Θ4=〈(0.513,0.513),(0.615,0.394)〉,

Θ1=〈(0.787,0.099),(0.727,0.357)〉,Θ2=〈(0.751,0.123),(0.765,0.295)〉,Θ3=〈(0.770,0.084),(0.711,0.395)〉,Θ4=〈(0.721,0.086),(0.689,0.315)〉。

計(jì)算得分值分別為S1(Θ1)=0.149,S1(Θ2)=0.200,S1(Θ3)=0.181,S1(Θ4)=0.114,S1(Θ1)=0.315,S1(Θ2)=0.375,S1(Θ3)=0.269,S1(Θ4)=0.271。

根據(jù)步驟3四種方案的排序分別為Ψ2>Ψ3>Ψ1>Ψ4和Ψ2>Ψ1>Ψ4>Ψ3，雖然排序略微不同，但方案Ψ2是最優(yōu)方案。

表4 不同方法的排序結(jié)果(q=3)

表4給出了不同方法的排序結(jié)果。 從中可以看到不同方法的排序結(jié)果有些不同，但是都是最優(yōu)方案。 Yang等[17]介紹的方法是假設(shè)專家對(duì)所有方法都百分百熟悉的情況下對(duì)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)在q階orthopair正則模糊環(huán)境中，但是在實(shí)際問題中由于各種限制專家不可能對(duì)所有方法都是百分百熟悉，這篇文章介紹的方法考慮了專家不完全對(duì)各家建筑公司都完全熟悉的問題在q階orthopair正則模糊環(huán)境中，因此介紹的方法要更實(shí)用和有效。

5 結(jié)語

在q階orthopair正則模糊情況下，現(xiàn)有的各種群決策方法都是假設(shè)專家對(duì)所有方案都百分百熟悉的情況下對(duì)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，但是由于各種限制專家不可能對(duì)所有方案都是百分百熟悉。根據(jù)置信水平和q階orthopair正則模糊數(shù)提出了CNFWA和CNFWG算子；進(jìn)一步介紹了CNFWA和CNFWG各自的冪等性和單調(diào)性，將多屬性群決策方法應(yīng)用到實(shí)例中， 和Yang等[17]介紹的進(jìn)行比較，說明本文所述方法更適用于決策問題。同樣基于上述理由，在今后的工作中，將置信水平應(yīng)用到語言環(huán)境中，這將是今后要做的工作。