李歐雪， 周宇生

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽 550025)

0 引 言

無人船技術(shù)及其產(chǎn)品具有廣闊的市場前景[1]，如在海面污染狀況檢測、清污作業(yè)、水面遠(yuǎn)程醫(yī)療服務(wù)和特殊海洋環(huán)境作業(yè)等領(lǐng)域具有不可替代的作用。無人船系統(tǒng)是一種典型的二階非完整約束動力系統(tǒng)，其輸入控制量為前向推力和旋轉(zhuǎn)力矩。為了使三自由度欠驅(qū)動無人船在復(fù)雜的環(huán)境中具有靈活的航行能力，則需要解決欠驅(qū)動無人船的精確軌跡跟蹤控制問題。然而，由于非完整約束和欠驅(qū)動因素的影響，導(dǎo)致其軌跡跟蹤問題變得困難。關(guān)于欠驅(qū)動無人船的軌跡跟蹤控制問題，國內(nèi)外已經(jīng)積累了大量的控制方法，如PID控制、反饋線性化控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、自適應(yīng)控制、滑?？刂坪虰ackstepping控制等。但這些方法在欠驅(qū)動和非完整約束下控制精度難以滿足需求。例如：文獻(xiàn)[2-3]為實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動船舶在模型參數(shù)不確定和外界風(fēng)浪流干擾情況下水平面的航跡跟蹤控制， 提出了滑模魯棒控制方法，實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動船舶在模型參數(shù)不確定和外界風(fēng)浪流干擾情況下水平面的航跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[4]針對船舶航向非線性系統(tǒng)，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的魯棒跟蹤控制器，仿真結(jié)果表明其具有較好的控制性能。文獻(xiàn)[5-6]主要設(shè)計(jì)Backstepping控制律，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明船舶位置信息的全局指數(shù)穩(wěn)定，對船舶進(jìn)行軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[7-8]研究了船舶控制的PID控制算法，通過仿真計(jì)算結(jié)果說明了PID控制算法的有效性。文獻(xiàn)[9]為了實(shí)現(xiàn)船舶航跡控制，提出了一種魯棒自適應(yīng)控制算法，并通過仿真驗(yàn)證了所提出的控制器的有效性。然而，這些文獻(xiàn)中的控制方法有些僅僅考慮了運(yùn)動學(xué)方程；有些雖然同時(shí)考慮了運(yùn)動學(xué)方程和動力學(xué)方程，但需要建立精確的動力學(xué)模型才能獲得較高的控制精度，而欠驅(qū)動無人船的動力學(xué)模型復(fù)雜，難以精確建模。因此，為了從根本上解決軌跡跟蹤精確性問題，必須深入理解無人船運(yùn)動規(guī)律，將其運(yùn)動學(xué)方程和動力學(xué)方程有機(jī)結(jié)合起來設(shè)計(jì)控制器。

主要針對三自由度欠驅(qū)動無人船的軌跡跟蹤控制問題進(jìn)行研究。通過從理論上分析欠驅(qū)動無人船在非完整約束下的運(yùn)動規(guī)律[10]，設(shè)計(jì)曲率跟蹤目標(biāo)。將其與欠驅(qū)動無人船的數(shù)學(xué)模型相結(jié)合設(shè)計(jì)基于逆動力學(xué)的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器。所提出的控制方法充分利用了欠驅(qū)動無人船在非完整約束下的運(yùn)動規(guī)律，從根本上解決了軌跡跟蹤的精確性問題。

1 欠驅(qū)動無人船運(yùn)動學(xué)方程

欠驅(qū)動無人船的狀態(tài)由其重心O在慣性坐標(biāo)系的位置(x，y)及偏航角φ來表示。

p=(x，y，φ)T，q=(υ，ω)T

由于欠驅(qū)動無人船只有控制輸入前向推力Tυ和旋轉(zhuǎn)力矩Tω，所以欠驅(qū)動無人船的運(yùn)動狀態(tài)依靠前向速度υ和偏航轉(zhuǎn)速ω。

圖1 欠驅(qū)動無人船結(jié)構(gòu)簡圖Fig. 1 Schematic diagram of the underactuated unmanned ship

若重心O的軌跡曲線連續(xù)光滑，則Yb方向上的速度為0。反之，若在某時(shí)刻t0，Yb方向上的速度不為0，則該時(shí)刻會產(chǎn)生不可導(dǎo)點(diǎn)，導(dǎo)致軌跡曲線不光滑。因此欠驅(qū)動無人船做光滑軌跡運(yùn)動時(shí)需要滿足條件

(1)

由式(1)可知，點(diǎn)O的軌跡切向量υ就是前向速度。將式(1)轉(zhuǎn)化可以得到

2 欠驅(qū)動無人船動力學(xué)方程

利用文[11]介紹的小型SUV三自由度MMG模型，文獻(xiàn)[12-15]介紹的相關(guān)模型系數(shù)，得到欠驅(qū)動無人船的動力學(xué)方程為

對附加質(zhì)量mbx和附加慣性矩Ibz的圖譜多元回歸分析，得到：

I=m×[0.35×B]2

因此欠驅(qū)動無人船的動力學(xué)方程為

(2)

3 軌跡跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 動態(tài)跟蹤目標(biāo)設(shè)計(jì)

(3)

對式(3)關(guān)于t求導(dǎo)得

前兩式交叉相乘并相減得到

則點(diǎn)O的速度和軌跡位姿的關(guān)系為

(4)

其中α>0，β>0，r>0。

(5)

由式(5)可知α=l2β，r=l。

φ(η)=-(βη+1)le-βη+l

其中l(wèi)為軌跡長度，若以s為新變量可得到

(6)

其中υ是實(shí)際前向速度。

稱式(6)為動態(tài)跟蹤目標(biāo)，由式(6)可知，其前向速度目標(biāo)可減小開始時(shí)刻的速度誤差，提高動態(tài)軌跡跟蹤控制效果。

3.2 偏航轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)

由動力學(xué)方程式(2)可知

設(shè)計(jì)基于逆動力學(xué)的自適應(yīng)控制律

(7)

為調(diào)整系數(shù)k1使系統(tǒng)穩(wěn)定，上式寫為

V=X1TD1X1+Y12TD1eTΓ1D1eY12

(8)

其中Γ1為正定對稱矩陣,對V關(guān)于t求導(dǎo)

則有

(9)

為了提高偏航轉(zhuǎn)速系統(tǒng)魯棒性，設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)基礎(chǔ)部分u10和切換控制部分u11為

其中S1(ω(0))=0，G1是合適的常數(shù)，ε是外部擾動最大幅度，μ是滑模控制參數(shù)。

因此，可以得到u1=u10+u11。

3.3 前向速度控制系統(tǒng)

由動力學(xué)方程式(2)可知

設(shè)計(jì)基于逆動力學(xué)的自適應(yīng)控制律

(10)

為調(diào)整系數(shù)k2使系統(tǒng)穩(wěn)定，上式寫為

V=X2TD2X2+Y22TD2eTΓ2D2eY22

(11)

其中Γ2為正定對稱矩陣,對V關(guān)于t求導(dǎo)

則有

(12)

類似地，控制系統(tǒng)基礎(chǔ)部分u20和切換控制部分u21設(shè)計(jì)為

其中S2(υ(0))=0，G2是合適的常數(shù)，

則可以設(shè)計(jì)u2=u20+u21。

4 仿真實(shí)現(xiàn)

由式(4)設(shè)計(jì)靜態(tài)速度目標(biāo)

(13)

由式(6)設(shè)計(jì)動態(tài)跟蹤目標(biāo)為

(14)

假設(shè)參數(shù)[16]：KR=0.35，AR=1.14 m2，D=0.18 m，λ=1.3，L=2.6 m，CB=0.765，τ=0.25，S=3.3 m2，KF=0.6，B=1.2 m，d=0.1 m，ρ=1 000 kg/m3。

如圖2，圖3所示，采用靜態(tài)跟蹤目標(biāo)式(13)時(shí)累積速度誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于采用動態(tài)軌跡跟蹤目標(biāo)式(14)時(shí)的累積速度誤差。而累積速度誤差會影響累積位姿誤差，使得實(shí)際軌跡位姿和目標(biāo)軌跡位姿產(chǎn)生誤差。

圖2 欠驅(qū)動無人船的前向速度誤差Fig. 2 Forward speed error of the underactuated unmanned ship

圖3 欠驅(qū)動無人船的偏航轉(zhuǎn)速誤差Fig. 3 Yaw rotation speed error of the underactuated unmanned ship

如圖4所示，采用靜態(tài)目標(biāo)式(13)時(shí)，累積位姿誤差越來越大，其原因在于開始時(shí)刻的速度誤差值很大，又不能調(diào)節(jié)其累積位姿誤差。但是采用動態(tài)軌跡跟蹤目標(biāo)式(14)，其前行速度目標(biāo)是根據(jù)實(shí)際需求來設(shè)計(jì)的，在開始時(shí)刻的速度誤差為0，而且能調(diào)節(jié)累積速度速度誤差，從而避免累積位姿誤差較大，因此，采用動態(tài)軌跡跟蹤目標(biāo)可以使欠驅(qū)動無人船更加精確地沿著目標(biāo)軌跡運(yùn)動。

圖4 欠驅(qū)動無人船在平面上的實(shí)際運(yùn)動軌跡Fig. 4 Actual motion trajectory of the underactuated unmanned ship on the plane

5 小 結(jié)

先從運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)兩方面推導(dǎo)了欠驅(qū)動無人船的數(shù)學(xué)模型，分析欠驅(qū)動無人船在非完整約束下的運(yùn)動規(guī)律。然后，將欠驅(qū)動無人船的目標(biāo)軌跡轉(zhuǎn)化為由相對曲率設(shè)計(jì)與欠驅(qū)動無人船動力學(xué)方程匹配的動態(tài)軌跡跟蹤目標(biāo)，這樣原問題就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的軌跡跟蹤控制問題。該方法能夠減少了誤差系統(tǒng)在初始時(shí)刻的速度誤差，并且能動態(tài)地調(diào)整了誤差系統(tǒng)的累積速度誤差，使整個(gè)運(yùn)動過程中累積位姿誤差盡量小。最后設(shè)計(jì)基于逆動力學(xué)的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器，將動態(tài)跟蹤目標(biāo)設(shè)計(jì)為積分滑模面，增加積分滑模切換控制部分，使得最終設(shè)計(jì)的力矩控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。從仿真結(jié)果可以看出采用本文方法能夠極大地減少速度誤差，并且使得實(shí)際運(yùn)動軌跡與目標(biāo)軌跡基本能夠重合。

本文所提出的方法能夠從根本上解決欠驅(qū)動無人船軌跡跟蹤的精確性問題，并具有很強(qiáng)的魯棒性，對解決其他欠驅(qū)動非完整機(jī)械結(jié)構(gòu)的精確運(yùn)動控制問題具有一定的啟發(fā)和參考價(jià)值。