何錫聰 寧麗紅

《6.3.1實(shí)數(shù)》是新人教版七年級(jí)下冊(cè)第六章第三節(jié)《實(shí)數(shù)》第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，是在數(shù)的開(kāi)方的基礎(chǔ)上引進(jìn)無(wú)理數(shù)概念，將數(shù)從有理數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍.該課在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有承上啟下的作用，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)整式、方程、不等式及函數(shù)的基礎(chǔ).這節(jié)課主要學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念、實(shí)數(shù)的分類(lèi)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，向?qū)W生滲透類(lèi)比、分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、概括能力和解決問(wèn)題的能力.

一、情境導(dǎo)入，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

師：這節(jié)課我們一起走進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó)，開(kāi)啟今天的學(xué)習(xí)之旅！請(qǐng)同學(xué)們先看視頻.（播放數(shù)字故事視頻《神秘?cái)?shù)之謎》，大意如下：有一天，數(shù)學(xué)王國(guó)來(lái)了一位神秘訪(fǎng)客，有理數(shù)向它炫耀說(shuō)：“我是數(shù)中之王，所有的數(shù)都?xì)w我管.”神秘訪(fǎng)客不服氣地說(shuō)：“吹牛，你跟我平級(jí)，怎么可能所有的數(shù)都?xì)w你管？一會(huì)兒司令來(lái)了讓它評(píng)評(píng)理.”）

師：故事中的“有理數(shù)”認(rèn)為自己是數(shù)中之王，所有的數(shù)都?xì)w它管，你們同意嗎？

生：不同意.

師：“神秘訪(fǎng)客”認(rèn)為有理數(shù)跟自己平級(jí)，自己不歸有理數(shù)管.那么，“神秘訪(fǎng)客”是什么數(shù)，它口中的“司令”又是誰(shuí)呢？

生各抒己見(jiàn)，有的說(shuō)是有理數(shù)，有的說(shuō)是實(shí)數(shù)，有的說(shuō)是無(wú)理數(shù)，對(duì)“神秘訪(fǎng)客”和“司令”的身份充滿(mǎn)好奇.

師：這節(jié)課我們一起來(lái)揭開(kāi)這個(gè)謎底.（板書(shū)課題：6.3.1實(shí)數(shù)）

生齊讀“學(xué)習(xí)目標(biāo)”：①了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，能對(duì)實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行分類(lèi);②了解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無(wú)理數(shù).

【評(píng)析】以故事創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，導(dǎo)入新課，牢牢吸引了學(xué)生的注意力;執(zhí)教者讓學(xué)生齊讀“學(xué)習(xí)目標(biāo)”，使學(xué)生從上課開(kāi)始就知道將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和所要達(dá)成的目標(biāo).

二、探究新知，引出無(wú)理數(shù)

師：什么叫有理數(shù)？

生：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).

師：還記得有理數(shù)的分類(lèi)嗎？

生1：按定義進(jìn)行分類(lèi).

生2：按性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi).

師板書(shū)如下：

（1）按定義分類(lèi)? ? （2）按性質(zhì)分類(lèi)

[有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)] [有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)0負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)]

【評(píng)析】執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)有理數(shù)的定義、分類(lèi)，有利于學(xué)生在類(lèi)比舊知的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的自然過(guò)渡.

（一）探究無(wú)理數(shù)的定義

師：3，[-35，478，911，119，59]這些數(shù)都是有理數(shù)嗎？

生：都是.

師：你能把有理數(shù)[3，-35，478，911，119，59]寫(xiě)成小數(shù)的形式嗎？

生寫(xiě)出小數(shù)如下：

3=3.0，[-35]=-0.6，[478]=5.875，[911]=[0.81，][119=1.2，59=][0.5]

師：觀察這些小數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).

師：是的.事實(shí)上，任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).（課件出示有理數(shù)的新定義：有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)）

生齊讀有理數(shù)的定義.

師：除了有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，想一想，還有其他類(lèi)型的小數(shù)嗎？

生：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，比如π.

師：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)除了π之外，你還能說(shuō)出哪些數(shù)？

生：[2=1.414…，3=1.732…]

師：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù).（課件出示無(wú)理數(shù)的新定義，播放解析無(wú)理數(shù)定義的視頻）

生觀看視頻，進(jìn)一步理解無(wú)理數(shù)的概念.

師：觀看視頻后，你有什么收獲？

生1：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù).

生2：無(wú)理數(shù)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，一是無(wú)限小數(shù)，二是不循環(huán)小數(shù).

師：下列各組數(shù)是不是無(wú)理數(shù)？這些數(shù)分別有什么特點(diǎn)？[課件出示：①[-3，53，2-1];②π，-3π，[π2];③0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0），

-17.3232232223…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)2）]

生1：第①組都是無(wú)理數(shù)，都含有根號(hào).

生2：第②組都是無(wú)理數(shù)，都含有π.

生3：第③組都是無(wú)理數(shù)，都有一定規(guī)律但不循環(huán).

師：是的，從中我們可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)理數(shù)有以下常見(jiàn)類(lèi)型.①根號(hào)型，即開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù);②含π型;③構(gòu)造型，即構(gòu)造出的有一定規(guī)律但不循環(huán)的無(wú)限小數(shù).

【評(píng)析】執(zhí)教者讓學(xué)生參與無(wú)理數(shù)概念的建立和數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和發(fā)現(xiàn)能力.

（二）探究實(shí)數(shù)的分類(lèi)

課件出示練習(xí)題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi).（檢測(cè)學(xué)生能否區(qū)分有理數(shù)和無(wú)理數(shù)）

[227，3，][-83，]0.101，[π3，93，64，][2.15，][1916，]

0.3737737773…

有理數(shù)集合? ? ? ?無(wú)理數(shù)集合

師：帶根號(hào)的數(shù)一定是無(wú)理數(shù)嗎？

生：不一定，[-83=-2]是有理數(shù).

師生共同討論后得出結(jié)論：判定一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)應(yīng)該先進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算.

師：學(xué)習(xí)了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，你認(rèn)為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)屬于哪一類(lèi)數(shù)的范疇呢？（課件出示實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)）

師：類(lèi)比有理數(shù)的分類(lèi)方法，我們?nèi)绾螌?shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)？

生討論，有的說(shuō)按定義分類(lèi)，有的說(shuō)按性質(zhì)分類(lèi)，有的說(shuō)按大小分類(lèi).

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的想法，將實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

學(xué)生代表上臺(tái)板書(shū)實(shí)數(shù)的分類(lèi)，其余學(xué)生分小組討論，在導(dǎo)學(xué)案中寫(xiě)出實(shí)數(shù)的分類(lèi).師收集各小組的導(dǎo)學(xué)案，投影呈現(xiàn)具有代表性的分類(lèi)方法，學(xué)生辨析正誤.

師生總結(jié)實(shí)數(shù)的分類(lèi)如下：

（1）按定義進(jìn)行分類(lèi)

（2）按正負(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)

師：我們對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，要做到“不重”“不漏”.現(xiàn)在，我們知道數(shù)字王國(guó)里的“神秘訪(fǎng)客”和“司令”分別是誰(shuí)了嗎？

生：“神秘訪(fǎng)客”是無(wú)理數(shù)，“司令”是實(shí)數(shù).

師：正確！通過(guò)學(xué)習(xí)，我們知道數(shù)的范疇擴(kuò)大到了實(shí)數(shù).下面我們通過(guò)做練習(xí)來(lái)鞏固新學(xué)的知識(shí).

課件出示習(xí)題：裝扮“數(shù)字樹(shù)”.要求：拿到“樹(shù)干”的同學(xué)上臺(tái)裝扮“數(shù)字樹(shù)”，其余同學(xué)把手中的數(shù)字貼在“數(shù)字樹(shù)”的相應(yīng)位置.

[2π3，]3.141592，[53，]20，

[36，][63，]-3.33，[273，]

-11，1.5151151115…（每?jī)蓚€(gè)5之間多一個(gè)1），[14]]

【評(píng)析】執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，明確分類(lèi)的基本原則是“不重”“不漏”，滲透了分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想.在這個(gè)過(guò)程中，執(zhí)教者善于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，促使學(xué)生加深對(duì)無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念的理解.最后，執(zhí)教者揭開(kāi)數(shù)字王國(guó)里“神秘訪(fǎng)客”和“司令”的神秘面紗，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的關(guān)系.教學(xué)中設(shè)計(jì)的小游戲、小練習(xí)，提高了學(xué)生參與課堂的積極性，有利于學(xué)生鞏固新知識(shí).

（三）探究實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系

課件出示練習(xí)題：找出下列有理數(shù)0，3.6，[-113]在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如圖2）.

師：有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示嗎？

生：可以.

師：反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)都表示有理數(shù)嗎？請(qǐng)認(rèn)真觀察下面的演示（如圖3），你有什么發(fā)現(xiàn)？

課件演示：從原點(diǎn)出發(fā)，圓分別向數(shù)軸的左邊和右邊滾動(dòng)一周（圓的直徑為1），觀察終點(diǎn)落在的位置對(duì)應(yīng)的是什么數(shù)？

生：直徑為1的圓的周長(zhǎng)是π，所以，當(dāng)圓向數(shù)軸的左邊滾動(dòng)一周，終點(diǎn)落在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)表示-π，向數(shù)軸的右邊滾動(dòng)一周，終點(diǎn)落在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)表示π.

師：通過(guò)演示，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上的點(diǎn)除了可以表示有理數(shù)，還可以表示什么數(shù)？

生：無(wú)理數(shù).

課件出示習(xí)題：剪一剪，拼一拼.你能用兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形嗎？拼接出來(lái)的面積為2的大正方形的邊長(zhǎng)是多少？

生動(dòng)手操作，拼出面積為2的大正方形（如圖4），邊長(zhǎng)為[2].

師：大正方形的邊長(zhǎng)和邊長(zhǎng)為1的小正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)有什么關(guān)系？

學(xué)：邊長(zhǎng)為1的小正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為[2].

師：你能在數(shù)軸上表示出[2，][-2]嗎？

生分小組探究，師用動(dòng)畫(huà)演示（如圖5）.

生得出結(jié)論：無(wú)理數(shù)[2]和[-2]也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.

師：每個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示.如果將全部有理數(shù)都標(biāo)注在數(shù)軸上，數(shù)軸會(huì)不會(huì)被填滿(mǎn)？

生：不會(huì)，因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù).

師：將全部無(wú)理數(shù)都標(biāo)注在數(shù)軸上，數(shù)軸會(huì)被填滿(mǎn)嗎？

生：不會(huì)，因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù).

師：將所有的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都標(biāo)注在數(shù)軸上，數(shù)軸會(huì)被填滿(mǎn)嗎？

生：填滿(mǎn)了.

師生總結(jié)歸納得出結(jié)論：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示;反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

課件出示習(xí)題如下：

請(qǐng)將數(shù)軸上的各點(diǎn)與實(shí)數(shù)[2，]-1.5，[5，]π，3對(duì)應(yīng)起來(lái)，然后比較它們的大?。ㄓ谩?”連接，如圖6）.

師：在做練習(xí)過(guò)程中你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

【評(píng)析】執(zhí)教者設(shè)計(jì)習(xí)題，請(qǐng)學(xué)生在數(shù)軸上表示π，[±2]的位置，從而明確無(wú)理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，最后得出實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的結(jié)論.借助數(shù)軸研究無(wú)理數(shù)，有利于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)遷移運(yùn)用.

三、課堂小測(cè)，總結(jié)歸納

師出示習(xí)題如下.

1.判斷下列說(shuō)法是否正確，在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”.

（1）實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù).（? ）

（2）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).（? ）

（3）帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù).（? ）

（4）無(wú)理數(shù)一定都帶根號(hào).（? ）

（5）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).（? ）

（6）無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù).（? ）

2.在[53，][3.17，]0.12，[-32，]0，[643]這6個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)表達(dá)正確的是（? ）.

A.1個(gè)? ?B.2個(gè)? ?C.3個(gè)? ?D.4個(gè)

3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（? ）.

A.沒(méi)有最小的正數(shù).

B.無(wú)理數(shù)分為正無(wú)理數(shù)、0、負(fù)無(wú)理數(shù).

C.無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示.

D.正分?jǐn)?shù)既是有理數(shù)又是實(shí)數(shù).

4.把-π，[-13，][7，]-1.5，[9，][503，]3這些數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.

（1）正有理數(shù)集合：

（2）正無(wú)理數(shù)集合：

（3）負(fù)有理數(shù)集合：

（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合：

【評(píng)析】學(xué)生通過(guò)做練習(xí)，回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，加深了對(duì)新知識(shí)的理解，提高了運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些新知識(shí)？談?wù)勀愕氖斋@.

生1：學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，掌握了實(shí)數(shù)的分類(lèi)方法，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

生2：我明白了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，知道利用類(lèi)比有理數(shù)的分類(lèi)方法對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

師：當(dāng)數(shù)由有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，相反數(shù)和絕對(duì)值的意義以及運(yùn)算法則對(duì)于實(shí)數(shù)來(lái)說(shuō)是否還適用呢？請(qǐng)同學(xué)們課后思考這個(gè)問(wèn)題.

【評(píng)析】課尾，執(zhí)教者請(qǐng)學(xué)生回顧、總結(jié)、梳理所學(xué)知識(shí)，將新知與舊知緊密聯(lián)系，這樣做有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.最后，執(zhí)教者留下思考題，促使學(xué)生繼續(xù)保持學(xué)習(xí)和探索的欲望.

【總評(píng)】

這節(jié)課堅(jiān)持“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則，以教師的“導(dǎo)”和學(xué)生的“究”作為課堂教學(xué)主線(xiàn)，滲透了數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)中，執(zhí)教者熟練運(yùn)用微視頻、幾何畫(huà)板、手機(jī)投屏、智慧課堂等信息化教學(xué)手段輔助教學(xué)，使課堂教學(xué)生動(dòng)靈活，增添了教學(xué)的趣味性，擴(kuò)大了課堂容量，是一堂高效率的數(shù)學(xué)課，體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

第一，以“趣”激“學(xué)”.執(zhí)教者先利用數(shù)字故事創(chuàng)設(shè)情境，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的求知欲，然后以小視頻解析無(wú)理數(shù)的定義，使知識(shí)難點(diǎn)變得直觀、形象，易于學(xué)生理解，“拼數(shù)字樹(shù)”游戲活躍了課堂氛圍，調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的積極性.

第二，教學(xué)目標(biāo)明確，課堂主線(xiàn)清晰.這節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)是使學(xué)生了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，能對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi);能力目標(biāo)是使學(xué)生通過(guò)類(lèi)比有理數(shù)，探究無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，培養(yǎng)分析、推理、總結(jié)、歸納的能力.教學(xué)中，執(zhí)教者首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有理數(shù)的概念，然后引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)，再設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比有理數(shù)的分類(lèi)方法探究無(wú)理數(shù)的定義、特征以及實(shí)數(shù)的分類(lèi).整個(gè)課堂教學(xué)脈絡(luò)清晰，學(xué)生思維活躍.

第三，滲透類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)無(wú)理數(shù)的定義和實(shí)數(shù)的分類(lèi)時(shí)，執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生利用類(lèi)比的方法探究新知，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的內(nèi)化與遷移.另外，通過(guò)幾何畫(huà)板演示π，[±2]等無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系，使學(xué)生能夠直觀形象地理解無(wú)理數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法學(xué)習(xí)新知識(shí).

第四，執(zhí)教者基本功扎實(shí)，善于駕馭課堂.課堂教學(xué)過(guò)渡自然，選題有層次，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.執(zhí)教者在教學(xué)中能夠熟練運(yùn)用信息化教學(xué)設(shè)備和教學(xué)手段，增添了教學(xué)的趣味性，提高了教學(xué)效率.

（該課例曾獲評(píng)廣西2019年“一師一優(yōu)課、一課一名師”活動(dòng)自治區(qū)級(jí)“優(yōu)課”）

（責(zé)編 歐孔群）