鄭彩紅，申 強(qiáng)，鄧思勉，何小兵

(1.重慶交通大學(xué) 土木工工程學(xué)院，重慶 400074;2.山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074; 3.交通運(yùn)輸部公路科學(xué)研究院，北京 100088)

0 引言

橋梁狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)中實(shí)時(shí)撓度數(shù)據(jù)的溫度效應(yīng)分離是監(jiān)測信息處理的一個(gè)關(guān)鍵問題，國內(nèi)外學(xué)者對橋梁撓度成分分離進(jìn)行了大量的研究[1-3]。Moyo等[4]利用小波變換對大跨度橋梁時(shí)間序列信號進(jìn)行處理，以識別監(jiān)測數(shù)據(jù)中的異常信號；李明等[5]根據(jù)信號的頻譜特征利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)提取主梁撓度中的溫度效應(yīng)，通過建立溫度與撓度的SVR模型計(jì)算撓度溫度效應(yīng)；劉綱等[6]使用粒子群算法，采用自適應(yīng)調(diào)整濾波器的日溫差信號和日溫差響應(yīng)信號的通帶、阻帶頻率帶寬方式消除溫度效應(yīng)；劉夏平等[7]采用LS-SVM建立以溫度作為輸入、撓度溫度效應(yīng)作為輸出的非線性模型，分離出動態(tài)撓度中的溫度效應(yīng)。上述研究主要是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等機(jī)器算法和小波分析、Hilbert-Huang變換等信號分析方法來進(jìn)行處理，其中小波分析需要考慮小波基的選擇，自適應(yīng)性差，不能做到在時(shí)域和頻域上同時(shí)精確；EMD分解的自適應(yīng)性強(qiáng)，但是存在端點(diǎn)效應(yīng)及模態(tài)混疊現(xiàn)象[8]，同時(shí)還會產(chǎn)生虛假模態(tài)分量；EEMD在EMD基礎(chǔ)上添加高斯白噪聲以減輕EMD的模態(tài)混疊，但是添加噪聲后信號會失真，正交性下降[9]。

Dragomiretskiy等[10]提出的變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition，VMD)方法，其自適應(yīng)性強(qiáng)，能夠有效避免模態(tài)混疊現(xiàn)象，對采樣和噪聲都有較強(qiáng)的魯棒性，已經(jīng)被學(xué)者們用于信號去噪以及故障診斷等領(lǐng)域[11-13]，但在實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理方面仍存在端點(diǎn)效應(yīng)，影響處理效果。本研究提出3段交叉分解VMD端點(diǎn)效應(yīng)改進(jìn)方法，利用中心頻率變化特征對VMD參數(shù)K，α進(jìn)行優(yōu)化，消除VMD分解所存在的端點(diǎn)效應(yīng)；采用上述優(yōu)化VMD算法對橋梁實(shí)測撓度進(jìn)行信號分離，結(jié)合各個(gè)模態(tài)的中心頻率和溫度變化12 h和24 h的周期特性判定溫度效應(yīng)模態(tài)，將分離出的撓度溫度效應(yīng)和溫度進(jìn)行關(guān)聯(lián)性分析，驗(yàn)證優(yōu)化VMD算法運(yùn)用于橋梁監(jiān)測信息分離的有效性，實(shí)現(xiàn)橋梁實(shí)測撓度溫度效應(yīng)的精確分離。

1 VMD原理及優(yōu)化算法

1.1 VMD原理

VMD方法摒棄了EMD中模態(tài)分量的循環(huán)篩選過程，將固有模態(tài)函數(shù)重新定義為幅頻調(diào)制信號，其表達(dá)式如下[14]：

uk(t)=Dk(t)cos(φk(t))，

(1)

式中，uk(t)為第k個(gè)本征模態(tài)函數(shù)；Dk(t)為uk(t) 的瞬時(shí)幅值；ωk(t)為uk(t)的瞬時(shí)頻率：φk(t)為uk(t)相位。

(2)

首先，將信號分解過程轉(zhuǎn)移到變分框架，并通過不斷迭代求其最佳值來確定每個(gè)模態(tài)分量的中心頻率和帶寬[15]。然后，使用逆傅立葉變換將各個(gè)分量返回到時(shí)域。最后，將原始信號的頻域分解為K個(gè)頻率帶寬較窄的分量。變分問題的構(gòu)造模型可以描述如下[16]：

(3)

式中，{uk}={u1,…,uk}代表VMD分解得到的K個(gè)IMF分量； {ωk}={ω1,…,ωk}表示各IMF分量的頻率中心；δ(t)為單位沖激函數(shù)。

引入增廣拉格朗日函數(shù)，以得到變分問題的最優(yōu)解，多次迭代變分后使K個(gè)模態(tài)分量的帶寬之和最小，從而得到VMD算法的最終結(jié)果[17-18]。具體步驟如下：

(2)n=n+1，執(zhí)行整個(gè)循環(huán)；

(4)

(5)

(4)k=k+1，重復(fù)步驟(3)，直至k=K；

1.2 VMD算法端點(diǎn)效應(yīng)消除

對于連續(xù)性信號，采用時(shí)間窗口在時(shí)間序列上滑動交叉進(jìn)行VMD分解，原理上利用重疊部分分離效果較好段替換中間段端點(diǎn)部分，達(dá)到消除端點(diǎn)效應(yīng)的作用。其具體構(gòu)造步驟如下：

(1)分別對時(shí)間序列信號X1n={x1,x2,…,xn}，X2n={x1,x2,…,xn}，X3n={x1,x2,…,xn}進(jìn)行VMD分解，其中X1n，X2n，X3n在時(shí)間上的排序如圖1所示，圖中橢圓區(qū)為對X2n進(jìn)行VMD分解時(shí)出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)的部位。

圖1 信號時(shí)間分布Fig.1 Distribution of signals with time

(2)假設(shè)對目標(biāo)信號X2n進(jìn)行VMD分解后，信號兩端各有m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)，分別用X1n，X3n經(jīng)VMD分解后同部位的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換。具體公式如下：

(6)

式中，IMFk為對目標(biāo)信號X2n各模態(tài)分量去端點(diǎn)效應(yīng)后的第k個(gè)IMF分量；u1k(t1)，u2k(t2)，u3k(t3)分別是對X1n，X2n，X3n進(jìn)行VMD分解后所獲得的第k個(gè)本征模態(tài)函數(shù)。

(3)考慮到目標(biāo)信號數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的不同是否會引起m值的變化，選擇不同的采樣長度n，對其進(jìn)行VMD分解，得到不同數(shù)據(jù)長度下不同頻率模態(tài)出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)的m值，見表1。

表1 不同n值對應(yīng)的m

觀察表1發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)據(jù)長度n的增長，m值沒有出現(xiàn)大幅度變化；隨著頻率的增加，m值逐漸減??；總體m值一直穩(wěn)定在10～80之間，說明利用VMD進(jìn)行分解時(shí)，端點(diǎn)效應(yīng)主要出現(xiàn)在數(shù)據(jù)長度為10～80的兩端。為了盡可能地保證數(shù)據(jù)分離精度，故擬定m值為100。

1.3 優(yōu)化VMD算法的計(jì)算流程

消除端點(diǎn)效應(yīng)的優(yōu)化VMD算法的具體步驟如下：

(1)用VMD算法進(jìn)行信號分解時(shí)，不同的分解模態(tài)個(gè)數(shù)K和懲罰因子α?xí)Ψ纸獾男Чa(chǎn)生影響，從而影響后續(xù)的分析結(jié)果。所以在進(jìn)行VMD分解之前，首先根據(jù)中心頻率的變化特征對關(guān)鍵參數(shù)K，α值進(jìn)行優(yōu)化。

(2)將優(yōu)化后的參數(shù)代入3段不同時(shí)間段數(shù)據(jù)的VMD計(jì)算流程，結(jié)束循環(huán)后，每段數(shù)據(jù)被分成K個(gè)IMF分量。

(3)中間段數(shù)據(jù)各模態(tài)分量前后的100個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)由前后時(shí)間段同模態(tài)重疊部分?jǐn)?shù)據(jù)所替代，達(dá)到去除端點(diǎn)效應(yīng)的目的。

(4)根據(jù)實(shí)際研究要求，選擇合適的數(shù)據(jù)長度作為時(shí)間窗口，以同樣的數(shù)據(jù)長度作為滑動步長，重復(fù)步驟(1)～(3)，達(dá)到實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的在線處理。

2 基于優(yōu)化VMD的仿真與實(shí)測信號處理

2.1 3段交叉分解優(yōu)化VMD仿真信號處理

對仿真信號進(jìn)行3段交叉VMD分解，以驗(yàn)證前文所提出優(yōu)化算法的有效性。定義一個(gè)合成信號x(t)如式(7)所示，采樣頻率fs=1 000 Hz，采樣時(shí)間為1 s，在x(t)基礎(chǔ)上加上信噪比為10的高斯白噪聲，構(gòu)成仿真信號x(t)(圖2)。分別采用VMD，EMD對x(t)進(jìn)行分解，結(jié)果如圖3～圖4所示。

(7)

圖2 仿真信號組成Fig.2 Simulation signal composition

圖3 VMD分解圖Fig.3 VMD decomposition

圖4 EMD分解Fig.4 EMD decomposition

圖3表明，VMD將輸入信號分解成4個(gè)模態(tài)分量，其中IMF2，IMF3，IMF4分別對應(yīng)于合成信號中的x1，x2，x3，噪聲被分解成IMF1和殘差。設(shè)各個(gè)模態(tài)分量IMFi+1=ui(i=1，2，3)，把VMD分解的各模態(tài)分量u1，u2，u3以及u(u=u1+u2+u3)與輸入信號中的x1，x2，x3及x作對比。對比圖5，u1，u2，u3以及u分別與x1，x2，x3及x在幅值以及頻率大小上都相差不大，VMD分解有效避免了模態(tài)混疊現(xiàn)象，但是在分解信號的兩端依然存在端點(diǎn)效應(yīng)。觀察圖4，EMD將輸入信號分解成7個(gè)模態(tài)分量，分量IMF2，IMF3，IMF4對應(yīng)原信號中的x1，x2，x3，其余分量為虛假模態(tài)，由于噪聲干擾，各模態(tài)分量被大量污染，分量之間出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，兩端有明顯端點(diǎn)效應(yīng)，信號分離效果較差。

圖5 仿真信號與各模態(tài)對比Fig.5 Comparison of simulated signals with modes

綜上，VMD分解雖然改善了EMD分解過程中的模態(tài)混疊現(xiàn)象，但仍存在端點(diǎn)效應(yīng)。利用優(yōu)化VMD算法對仿真信號進(jìn)行處理，結(jié)果如圖6所示。端點(diǎn)效應(yīng)基本被消除，信號分離結(jié)果良好，驗(yàn)證了優(yōu)化VMD算法對抑制端點(diǎn)效應(yīng)的有效性。

圖6 改進(jìn)VMD各模態(tài)分量對比Fig.6 Comparison of modal components of improved VMD

2.2 橋梁監(jiān)測數(shù)據(jù)分析2.2.1 工程背景

某長江大橋?yàn)殇撓淞簡慰鐟宜鳂?，跨徑布置?250+880+250)m，兩主纜中心距39.2 m；主塔為門式框架結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)采用分離式承臺；兩岸錨碇均為重力式錨碇，明挖擴(kuò)大基礎(chǔ)；加勁梁采用扁平流線型封閉鋼箱梁，總寬42 m，梁高3.5 m。

本研究擬采用優(yōu)化VMD算法對背景橋梁關(guān)鍵部位的實(shí)測撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行分離，驗(yàn)證該方法用于撓度與溫度關(guān)聯(lián)性分析的有效性。由于環(huán)境溫度只在跨中截面有一個(gè)溫濕度測點(diǎn)，樣本數(shù)太少，不足以說明問題。觀察結(jié)構(gòu)溫度與環(huán)境溫度的時(shí)程曲線圖，見圖7，結(jié)構(gòu)溫度與環(huán)境溫度的變化趨勢基本一致。計(jì)算其相關(guān)性，環(huán)境溫度與頂板溫度相關(guān)系數(shù)達(dá)到97.01%，與底板溫度相關(guān)系數(shù)達(dá)到99.09%，故決定采用結(jié)構(gòu)溫度來代替環(huán)境溫度，對懸索橋撓度與溫度進(jìn)行關(guān)聯(lián)性分析。

圖7 溫度時(shí)程曲線Fig.7 Temperature-time curves

本研究共選取了3個(gè)關(guān)鍵截面的測點(diǎn)，分別為1/4，1/2，3/4截面；撓度共選取了6個(gè)關(guān)鍵截面的測點(diǎn)，分別為1/8，1/4，3/8，1/2，5/8，3/4截面，溫度和撓度測點(diǎn)布置如圖8所示。

圖8 測點(diǎn)布置Fig.8 Layout of measuring points

2.2.2 VMD算法的參數(shù)優(yōu)化

VMD算法本質(zhì)上相當(dāng)于自適應(yīng)維納濾波器組，當(dāng)分解模態(tài)個(gè)數(shù)K較少時(shí)，頻率相近的模態(tài)會疊加在一起，即出現(xiàn)“模態(tài)混疊”現(xiàn)象；當(dāng)模態(tài)個(gè)數(shù)較多時(shí)，會出現(xiàn)虛假分量，并且這些虛假模態(tài)還會影響到真實(shí)模態(tài)的分解效果。懲罰因子α是決定了信號重構(gòu)的保真度，α越小，數(shù)據(jù)保真度越高，但是受噪聲影響也越大；相反α越大，有用信號的完整度就得不到保證。因此，在VMD分解之前，需進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，具體步驟如下：

(1)結(jié)合小波分析對原數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，以信噪比SNR、均方根誤差RMSE判定去噪效果[19]；

(2)計(jì)算不同K，α值下的中心頻率；

(3)根據(jù)中心頻率變化特征選擇合適的K，α值。

擬選取跨中截面下游測點(diǎn)ND42一月份的實(shí)測撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行VMD分解，不同模態(tài)個(gè)數(shù)K值、不同懲罰因子α值下的中心頻率如表2所示。

表2 不同K值、α值對應(yīng)的中心頻率

從表中可以發(fā)現(xiàn)，隨著模態(tài)個(gè)數(shù)的增加，頻率帶寬逐漸變窄，高階頻率分解得越來越精細(xì)，前3階頻率隨著模態(tài)個(gè)數(shù)的增加數(shù)值基本穩(wěn)定。1階頻率為2.4，對應(yīng)低頻趨勢項(xiàng)；2階頻率為28.5，接近1個(gè)月30 d，對應(yīng)于24 h溫度變化；3階頻率為55.5，接近2階頻率的兩倍，對應(yīng)于12 h溫度變化；其他更高階頻率對應(yīng)與汽車、風(fēng)荷載等隨機(jī)荷載。鋼箱梁懸索橋?qū)崪y撓度數(shù)據(jù)溫度效應(yīng)低頻特性顯著，K選取需滿足低頻信息的有效分離。實(shí)測撓度數(shù)據(jù)預(yù)處理后的FFT變換(圖9)表明，懸索橋低階頻率與文章中所分析的3階低頻模態(tài)頻率相符合(表2)。因此，K值的取值只需滿足前3階低頻模態(tài)的分離即可。表2顯示，當(dāng)模態(tài)數(shù)大于等于5時(shí)，前3階模態(tài)中心頻率逐漸穩(wěn)定，推薦K值至少取5。如關(guān)注高頻信息，K值可取更大(需根據(jù)研究需求，進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化)。

圖10 不同K的中心頻率變化曲線Fig.10 Central frequency curves corresponding to different K values

圖9 撓度FFT頻譜圖Fig.9 FFT spectrum of deflection

懲罰因子α用于噪聲抑制。當(dāng)α過小，噪聲未被有效抑制，會導(dǎo)致中心頻率的波動(見表2，α=1 000)；當(dāng)α過大，更多有用信息被抑制，同樣會出現(xiàn)波動(見表2，α=2 000)，需要進(jìn)行反復(fù)試算優(yōu)化。優(yōu)化表明，當(dāng)α=1 500，高階中心頻率規(guī)律顯著，噪聲抑制效果好。同時(shí)，分別計(jì)算不同α取值下第3階模態(tài)和第4階模態(tài)之間的中心頻率之差，發(fā)現(xiàn)α=1 500時(shí)中心頻率之差最大，頻率帶寬更窄，滿足前3階分離要求，故推薦α=1 500。

綜上所述，上述推薦的K與α取值滿足鋼箱梁懸索橋?qū)崪y撓度溫度效應(yīng)分離(低頻效應(yīng))。α=1 500時(shí)，隨著模態(tài)個(gè)數(shù)的增加，中心頻率的變化曲線見圖10，從圖中也可看出，模態(tài)個(gè)數(shù)越大，曲線變化越平緩，高階頻率分解得越精細(xì)，可見優(yōu)化VMD算法可能也有利于后面對高頻信息的分析，本研究不做過多探討。α=1 500、K=5的中心頻率變化曲線見圖11，各分離模態(tài)的中心頻率變化曲線獨(dú)立，未出現(xiàn)相交情況，分離效果可以得到保證。

圖11 中心頻率的變化曲線Fig.11 Central frequency change curves

2.2.3 實(shí)測撓度數(shù)據(jù)的各成分分離

為驗(yàn)證本方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，采集背景橋梁實(shí)時(shí)監(jiān)測撓度和溫度3個(gè)月的數(shù)據(jù)，利用優(yōu)化VMD對橋梁的各撓度成分進(jìn)行分離。采集時(shí)間段為2019年1月1日00:00:00至2019年4月1日00:00:00，采樣間隔為10 min/次。撓度和溫度每一個(gè)月的數(shù)據(jù)各形成一組樣本，撓度和溫度分別有3組樣本。溫度每組樣本中包含3個(gè)截面12個(gè)溫度傳感器的數(shù)據(jù)，撓度每組樣本中包含6個(gè)截面12個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)。運(yùn)用優(yōu)化VMD算法對各測點(diǎn)30 d的撓度信號進(jìn)行分離，去端點(diǎn)效應(yīng)后的分離結(jié)果如圖12所示。

如圖所示，原始撓度信號分離成5個(gè)IMF分量以及一個(gè)殘差項(xiàng)，其中殘差項(xiàng)是高頻噪聲，IMF1和IMF2為平穩(wěn)高頻信息，應(yīng)是汽車荷載或其他隨機(jī)荷載引起；IMF3和IMF4所對應(yīng)的周期分別是12 h和24 h，結(jié)合前文的中心頻率可以判斷IMF3和IMF4都是由溫度引起的，即溫度效應(yīng)，IMF5為由長期溫度引起的趨勢項(xiàng)。為了進(jìn)一步證明所分離結(jié)果的準(zhǔn)確性，分別提取分量IMF3，IMF4，IMF5以及它們的組合IMF45(IMF45=IMF4+IMF5)，IMF345(IMF345(=IMF3+IMF4+IMF5)與所對應(yīng)的同時(shí)段的頂板溫度進(jìn)行對比，求其相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而判斷其相關(guān)性。經(jīng)計(jì)算對比，只有將3個(gè)模態(tài)分量組合起來其相關(guān)系數(shù)最高，各截面溫度與撓度分離信號相關(guān)系數(shù)見表3，撓度分離信號與溫度對比圖見圖13。

圖12 實(shí)測撓度數(shù)據(jù)VMD分解圖Fig.12 VMD decomposition diagram of measured deflection data

其中，Cov(X，Y)為X與Y的協(xié)方差，Var[X]為X的方差，Var[Y]為Y的方差。

表3中，各測點(diǎn)分離結(jié)果與溫度的相關(guān)系數(shù)基本都在90%～99.51%之間，觀察圖13，也可以說明分離效果良好，基本印證前面所提出的判斷，即IMF3～I(xiàn)MF5均是由溫度引起的撓度。在表中有幾處測點(diǎn)的分離數(shù)據(jù)與溫度的相關(guān)系數(shù)低于90%，可能是由于傳感器故障或者計(jì)算誤差造成。

表3 撓度分離信號與溫度相關(guān)系數(shù)

圖13 撓度數(shù)據(jù)分離結(jié)果與溫度對比Fig.13 Comparison of separated deflection data and temperatures

2.2.4 同截面實(shí)測撓度分離溫度效應(yīng)對比

由于只取了1/4，1/2，3/4截面的溫度數(shù)據(jù)，故1/8，3/8，5/8截面的溫度效應(yīng)分離準(zhǔn)確性由同截面上下游兩處測點(diǎn)的分離結(jié)果來進(jìn)行判定，因?yàn)橥孛娴膬蓚?cè)點(diǎn)處于對稱位置上，理論上應(yīng)該處于同一溫度場，兩側(cè)點(diǎn)的溫度效應(yīng)應(yīng)該相同[20]，將1/8，3/8，5/8截面兩側(cè)點(diǎn)處分離出的溫度效應(yīng)進(jìn)行對比，其相關(guān)系數(shù)見表4，撓度分離信號對比見圖14。觀察表4和圖14，可得出結(jié)論：同截面兩側(cè)測點(diǎn)實(shí)測撓度溫度效應(yīng)相關(guān)系數(shù)均達(dá)到98%以上，接近100%，對比圖中，兩側(cè)撓度溫度效應(yīng)線型基本相似，可以說明優(yōu)化VMD分離效果良好。

表4 同截面撓度分離信號相關(guān)系數(shù)

圖14 同截面兩側(cè)撓度數(shù)據(jù)分離結(jié)果對比Fig.14 Comparison of separated deflection data on both sides of the same section

懸索橋?qū)崪y撓度數(shù)據(jù)的分離結(jié)果證明：鋼箱梁懸索橋溫度撓度效應(yīng)非常顯著，長期溫度荷載作用下的橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)大于活載效應(yīng)，活載作用下的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)及結(jié)構(gòu)損傷信息極易被“淹沒”，橋梁健康監(jiān)測信息處理研究中進(jìn)行溫度效應(yīng)分離對評價(jià)結(jié)構(gòu)的健康狀況評價(jià)至關(guān)重要。優(yōu)化VMD分解方法適用于鋼箱梁懸索橋撓度實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)溫度效應(yīng)分離，識別活載效應(yīng)及其損傷狀況，并且可以用于撓度溫度效應(yīng)的趨勢預(yù)測。

3 結(jié)論

采用本研究提出的優(yōu)化VMD方法對某長江大橋?qū)崪y撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行了分離，對懸索橋主梁撓度與結(jié)構(gòu)溫度進(jìn)行了關(guān)聯(lián)性分析，主要結(jié)論如下：

(1)VMD信號分離減輕了EMD和EEMD分解信號所存在的模態(tài)混疊問題，研究得到了不同數(shù)據(jù)長度下VMD分解出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)的m值，并利用3段交叉分解對其進(jìn)行消除。

(2)對改進(jìn)3段交叉分解VMD方法，采用中心頻率進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，成功實(shí)現(xiàn)不同頻率信號的分離，可用于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的處理。

(3)以某懸索橋?yàn)檠芯勘尘?，進(jìn)行了實(shí)測數(shù)據(jù)分離，得到了撓度溫度效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)溫度產(chǎn)生的撓度比隨機(jī)荷載產(chǎn)生的撓度要大2個(gè)數(shù)量級，并對其進(jìn)行撓度-溫度相關(guān)性分析，驗(yàn)證了論文所提出的方法能夠用來分離信號，反映各響應(yīng)與各因素之間的關(guān)聯(lián)性。

(4)在對VMD算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著模態(tài)數(shù)的增加，高頻信息被分離得更加精細(xì)，是否能把VMD算法運(yùn)用到由汽車等隨機(jī)荷載引起的高頻信息中，還有待進(jìn)一步的研究。