李陶深，孫莉，王哲

（1.廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.南寧學(xué)院信息工程學(xué)院，廣西 南寧 530299；3.廣西民族大學(xué)人工智能學(xué)院，廣西 南寧 530005）

1 引言

無線通信網(wǎng)絡(luò)的性能受到設(shè)備電池壽命限制，電池的手動(dòng)更換或充電導(dǎo)致無線設(shè)備的頻繁中斷。能量收集技術(shù)可以從周圍環(huán)境中源源不斷地收集能量，并將這些能量用于無線通信系統(tǒng)中，大大延長(zhǎng)了無線設(shè)備的壽命，降低了維護(hù)成本，提高了無線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能[1-3]。在能量收集網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，由于能量收集的間歇性和不穩(wěn)定性，某些節(jié)點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)能量消耗殆盡的情況，因此需要考慮節(jié)點(diǎn)電池容量受限的約束[4]。針對(duì)電池容量受限的能量收集網(wǎng)絡(luò)中的功率和速率分配問題，人們基于簡(jiǎn)單的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了比較深入具體的研究。然而在點(diǎn)對(duì)點(diǎn)傳輸中，信道環(huán)境的不穩(wěn)定性可能會(huì)導(dǎo)致某個(gè)時(shí)隙（短期）的傳輸狀態(tài)極差，從而影響后續(xù)（長(zhǎng)期）的傳輸狀態(tài)。為此，本文考慮將點(diǎn)對(duì)點(diǎn)模型拓展為菱形信道模型，即在源節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)中間添加2 個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)，從而提高傳輸?shù)姆€(wěn)定性。

本文針對(duì)無線通信網(wǎng)絡(luò)中源節(jié)點(diǎn)電池容量有限的條件，研究源節(jié)點(diǎn)電池容量受限情況下基于能量收集和能量協(xié)作的雙中繼通信信道的最優(yōu)功率和速率分配策略，解決系統(tǒng)端到端的吞吐量最大化問題。本文的主要貢獻(xiàn)包括以下幾個(gè)方面。

1) 基于傳輸節(jié)點(diǎn)間能量因果關(guān)系約束、數(shù)據(jù)因果約束關(guān)系及電池能量無溢出約束，構(gòu)建系統(tǒng)中端到端吞吐量最大化的優(yōu)化模型，提出一種最優(yōu)的離線傳輸功率和速率分配策略。

2) 將最優(yōu)傳輸問題轉(zhuǎn)化為求解左側(cè)廣播信道的最優(yōu)傳輸問題，然后根據(jù)廣播信道吞吐量最大化問題中的截止功率水平，分析求解源節(jié)點(diǎn)到各中繼節(jié)點(diǎn)的吞吐量，最后根據(jù)中繼節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)到達(dá)迭代中繼節(jié)點(diǎn)的電池能量求解源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)總功率和中繼節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)最優(yōu)傳輸功率，并通過擴(kuò)展多址接入信道最優(yōu)速率滿足條件求解最優(yōu)速率問題。

3) 通過模擬仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提優(yōu)化策略的可行性和正確性。

2 相關(guān)工作

近年來，能量收集無線網(wǎng)絡(luò)中電池容量受限的節(jié)點(diǎn)功率分配問題和最優(yōu)傳輸策略得到了廣泛的研究，取得了一定的研究成果[5]。

文獻(xiàn)[6]考慮了具有有限容量電池的發(fā)射機(jī)的情況，證明了傳輸時(shí)間最小化問題等價(jià)于吞吐量最大化問題，研究了可充電節(jié)點(diǎn)的傳輸策略，給出了解決有限的時(shí)間范圍內(nèi)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量最大化問題和給定數(shù)據(jù)量的傳輸完成時(shí)間最小化問題的2 個(gè)最優(yōu)解決方案。文獻(xiàn)[7]研究了利用具有受限容量電池的能量收集發(fā)射機(jī)在無線衰落信道中進(jìn)行通信來優(yōu)化點(diǎn)對(duì)點(diǎn)數(shù)據(jù)傳輸，提出了最優(yōu)離線和在線策略。其中，最優(yōu)離線策略證明了對(duì)于吞吐量最大化問題，可利用自適應(yīng)定向注水算法與吞吐量最大化對(duì)應(yīng)的等價(jià)性來解決傳輸時(shí)間最小化問題；最優(yōu)在線策略在隨機(jī)衰落和能量到達(dá)的過程中，可根據(jù)信道狀態(tài)反饋，使用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法最大化在截止期限傳送的數(shù)據(jù)平均值。

文獻(xiàn)[8-9]分別考慮在雙用戶加性白高斯噪聲（AWGN,additive white gaussian noise）廣播信道和多用戶AWGN 廣播信道中使用有限容量電池的能量收集發(fā)射機(jī)的最小傳輸完成時(shí)間。鑒于能量的收集是在隨機(jī)時(shí)刻到達(dá)發(fā)射機(jī)的，且發(fā)射機(jī)的電池容量有限使溢出的能量不能用于數(shù)據(jù)的傳輸，作者使用雙重問題分析最優(yōu)傳輸策略的結(jié)構(gòu)特性，通過定向注水算法求解最優(yōu)總發(fā)射功率序列，然后通過截止功率電平分析分配功率。

文獻(xiàn)[10]證明了在系統(tǒng)中引入半雙工放大和轉(zhuǎn)發(fā)中繼節(jié)點(diǎn)將導(dǎo)致凸優(yōu)化問題，提出了以最大化吞吐量為目標(biāo)的最優(yōu)分配策略，通過將問題表述為2 個(gè)凹函數(shù)之間的差異，把問題放大到具有線性目標(biāo)函數(shù)的圖問題來降低邊界計(jì)算的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[11]研究了能量收集中繼節(jié)點(diǎn)電池容量有限通信網(wǎng)絡(luò)中端到端系統(tǒng)吞吐量最大化問題，提出了在離線優(yōu)化框架下求解最優(yōu)離線時(shí)間調(diào)度和功率分配傳輸策略，將吞吐量最大化問題表示為在線優(yōu)化框架下的隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，并基于能量到達(dá)和信道狀態(tài)的隨機(jī)知識(shí)，通過求解一系列凸優(yōu)化問題獲得最優(yōu)的在線時(shí)間調(diào)度和功率分配。文獻(xiàn)[12]考慮了具有有限電池容量和衰落信道的單個(gè)發(fā)射器的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)無線通信系統(tǒng)，引入了能量中斷概率的概念，設(shè)計(jì)了一種封閉形式的最優(yōu)功率分配方案，解決了在線能量收集約束的速率最大化問題。

以上文獻(xiàn)重點(diǎn)考慮了能量收集技術(shù)，提出了一些有效的離線或在線的功率分配傳輸策略。但是，由于能量收集存在不穩(wěn)定性和隨機(jī)性，因此不同節(jié)點(diǎn)收集到的能量可能存在很大的差異，有些能量收集節(jié)點(diǎn)可能會(huì)由于收集能量過少造成數(shù)據(jù)的丟失或傳輸中斷。另外，收集能量的隨機(jī)性、可用性對(duì)確定最優(yōu)傳輸策略提出了很大的挑戰(zhàn)，尤其是網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點(diǎn)由于能量收集條件而變得能量不足，將會(huì)影響整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的性能。為解決這個(gè)問題，研究者提出了無線能量協(xié)作的概念，節(jié)點(diǎn)在傳輸數(shù)據(jù)的同時(shí)將其收集能量的一部分無線傳輸給另一個(gè)能量收集節(jié)點(diǎn)，這使能量接收節(jié)點(diǎn)處能量到達(dá)的形成和優(yōu)化成為可能。盡管能量轉(zhuǎn)移會(huì)損失少量的能量，但是可以改善系統(tǒng)的整體性能。

按照能量轉(zhuǎn)移的方向，可將能量協(xié)作無線網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)傳輸策略分為單向能量協(xié)作和雙向能量協(xié)作。單向能量協(xié)作是指能量收集節(jié)點(diǎn)可接收來自其他節(jié)點(diǎn)的能量用于數(shù)據(jù)協(xié)作數(shù)據(jù)傳輸，但不能向其他能量收集節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移能量。雙向能量轉(zhuǎn)移是指能量收集節(jié)點(diǎn)既可以接收其他能量收集節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移的能量，也可以向其他節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移能量用于協(xié)作傳輸數(shù)據(jù)。

在單向能量協(xié)作系統(tǒng)最優(yōu)策略研究方面，文獻(xiàn)[13-14]考慮了幾種具有能量收集和無線能量轉(zhuǎn)移能力的基本多用戶網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：中繼信道、雙向通信信道和多址接入信道，確定了能量管理策略，并使用拉格朗日公式和產(chǎn)生的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）最優(yōu)條件，在給定的持續(xù)時(shí)間內(nèi)最大化系統(tǒng)的吞吐量。文獻(xiàn)[15]通過能量協(xié)作研究每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)能量管理問題以及節(jié)點(diǎn)之間的最優(yōu)能量路由，提出了一種迭代算法來確定網(wǎng)絡(luò)中的最優(yōu)能量路徑。文獻(xiàn)[16]對(duì)于固定的數(shù)據(jù)和能量路由拓?fù)?，根?jù)流量和能量守恒約束確定最優(yōu)數(shù)據(jù)速率、傳輸功率和能量轉(zhuǎn)移，以解決能量收集通信網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)延最小化問題。文獻(xiàn)[17]研究了由源節(jié)點(diǎn)、中繼節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)組成的三節(jié)點(diǎn)中繼網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)協(xié)作和能量協(xié)作的權(quán)衡問題，并在數(shù)據(jù)協(xié)作場(chǎng)景中使用現(xiàn)有的優(yōu)化方案來優(yōu)化系統(tǒng)性能。文獻(xiàn)[18]考慮了中繼多輸入多輸出（MIMO,multiple-input multiple-output）高斯菱形信道，確定了在多跳多址解碼轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議的多址狀態(tài)下每個(gè)中繼要使用的傳輸協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)[19]研究了節(jié)點(diǎn)配備無限容量電池的情形下，基于能量收集的高斯菱形信道模型的功率和速率分配問題。文獻(xiàn)[20]考慮了基于能量收集和雙向能量協(xié)作的菱形信道通信系統(tǒng)，其中假設(shè)源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)都是從環(huán)境中收集能量，然后存儲(chǔ)在相應(yīng)的容量不受限制的電池中，并在此條件下提出了一種實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)端到端的吞吐量最大化的功率分配和能量轉(zhuǎn)移策略。

經(jīng)過研究分析發(fā)現(xiàn)，盡管單向能量協(xié)作系統(tǒng)在一定程度上可以提高系統(tǒng)端到端吞吐量，但也存在一些不足。例如，如果系統(tǒng)中能量收集的節(jié)點(diǎn)比較少，那么不同時(shí)間收集的能量在數(shù)量上可能是不同的。此時(shí)，可以通過雙向能量協(xié)作的方式來實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)間能量的相互轉(zhuǎn)移和補(bǔ)給[20]。

在雙向能量協(xié)作系統(tǒng)最優(yōu)策略研究方面，文獻(xiàn)[21]考慮了具有能量收集發(fā)射機(jī)節(jié)點(diǎn)的多終端網(wǎng)絡(luò)，提出了雙向、兩跳和多址接入信道的聯(lián)合最優(yōu)傳輸功率和能量轉(zhuǎn)移策略，以最大化總吞吐量。文獻(xiàn)[22]考慮了一種點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的無線通信系統(tǒng)，提出了一種基于能量協(xié)作的先節(jié)能后發(fā)射方案，通過最小化中斷概率實(shí)現(xiàn)能量協(xié)作功率的優(yōu)化。文獻(xiàn)[23]研究了對(duì)稱雙用戶高斯干擾信道，通過證明平均速率區(qū)域上的每個(gè)拐角點(diǎn)都是以適當(dāng)?shù)墓β史峙浼s束的總和速率，提出了2 個(gè)發(fā)射機(jī)之間的能量協(xié)作和功率分配的最優(yōu)策略，以求取平均速率區(qū)域的邊界點(diǎn)。文獻(xiàn)[24]推導(dǎo)了有能量收集發(fā)射機(jī)的多用戶多址接入信道（MAC,multiple access channel）的容量區(qū)域，并說明了每個(gè)用戶可使用能量緩沖存儲(chǔ)和調(diào)度隨機(jī)到達(dá)的能量，還可以通過向其他用戶轉(zhuǎn)移能量或從它們接收能量來進(jìn)行能量協(xié)作。文獻(xiàn)[25]考慮了具有能量收集發(fā)射機(jī)的雙用戶協(xié)作多址接入信道，提出了在有限電池容量和能量存儲(chǔ)損失下解決發(fā)射域最大化問題的技術(shù)方案，分析了時(shí)延約束和時(shí)延容忍協(xié)作場(chǎng)景下最優(yōu)傳輸功率和速率分配對(duì)電池限制和存儲(chǔ)低效率的依賴性。文獻(xiàn)[26]研究具有無線信息和功率傳輸能力的兩跳中繼網(wǎng)絡(luò)中的中繼選擇問題，提出了基于時(shí)間切換（TS,time splitting）的無線攜能通信優(yōu)化方案和基于功率分裂（PS,power splitting）的無線攜能通信優(yōu)化方案，以實(shí)現(xiàn)用戶的總收獲功率最大化。

由于源節(jié)點(diǎn)能量是從環(huán)境中收集的，而存儲(chǔ)能量的電池容量有限，因此可能導(dǎo)致能量溢出，而含有能量溢出的策略都不是最優(yōu)的，因此需要添加限制能量溢出的條件。對(duì)于兩跳的通信網(wǎng)絡(luò)，需要協(xié)調(diào)源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的傳輸，涉及的約束條件比較多，難以求解。目前的研究還沒有很好地考慮上述的因素并有效地解決這些問題。

為此，本文在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際生活中電池容量都是有限的狀況，研究基于能量收集和雙向能量協(xié)作的高斯菱形信道通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。其中，系統(tǒng)中的源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)從環(huán)境中收集能量，然后將收集的能量存儲(chǔ)在相應(yīng)的電池中，源節(jié)點(diǎn)的電池容量有限，中繼節(jié)點(diǎn)的電池容量不受限制。在數(shù)據(jù)和能量條件約束下，提出一種實(shí)現(xiàn)端到端吞吐量最大化的功率和速率分配策略，通過構(gòu)建系統(tǒng)吞吐量?jī)?yōu)化模型，求解信道的最優(yōu)離線傳輸功率和速率分配，解決最大化端到端吞吐量問題。

3 系統(tǒng)模型

本文考慮如圖1 所示的源節(jié)點(diǎn)電池容量受限的能量收集菱形信道的系統(tǒng)模型。其中，源節(jié)點(diǎn)S 與中繼節(jié)點(diǎn)R1、R2均從環(huán)境中收集能量。假設(shè)源節(jié)點(diǎn)S 的電池容量有限，其所能存儲(chǔ)的最大容量用Emax表示。假設(shè)R1和R2的電池容量為無窮大[19-20]且與源節(jié)點(diǎn)S 之間無能量傳輸。目標(biāo)節(jié)點(diǎn)D 通過接收來自R1和R2轉(zhuǎn)發(fā)的信息，以實(shí)現(xiàn)對(duì)于源節(jié)點(diǎn)發(fā)送信息的接收與解碼。系統(tǒng)以時(shí)隙作為最小傳輸時(shí)間單位，一個(gè)傳輸周期包含多個(gè)等長(zhǎng)的時(shí)隙。在時(shí)隙i中，源節(jié)點(diǎn)總傳輸功率用Ps,i表示，R1和R2收集的總能量分別用E1,i和E2,i表示，R1和R2到目的節(jié)點(diǎn)的傳輸功率分別用和表示，源節(jié)點(diǎn)到R1和R2的傳輸速率分別用r1,i和r2,i表示，R1和R2到目的節(jié)點(diǎn)的傳輸速率分別用和表示。源節(jié)點(diǎn)總傳輸功率為Ps，R1和R2到目的節(jié)點(diǎn)的傳輸功率分別用和表示，源節(jié)點(diǎn)到R1和R2的傳輸速率分別用r1和r2表示，R1和R2到目的節(jié)點(diǎn)的傳輸速率分別用和表示。功率和速率的矢量序列為Ps,,,r1,r2,r1,r2。

圖1 源節(jié)點(diǎn)電池容量受限的能量收集菱形信道系統(tǒng)模型

在模型中，源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)將收集的能量存儲(chǔ)在相應(yīng)的電池中。假設(shè)中繼節(jié)點(diǎn)R1是更強(qiáng)的數(shù)據(jù)信息接收者，信道噪聲的方差為，具有傳輸功率P的高斯廣播信道容量分區(qū)為

其中，CBC(P)是傳輸功率為P的信道容量，BC 是廣播信道，α是用于中繼節(jié)點(diǎn)1 傳輸數(shù)據(jù)的功率分?jǐn)?shù)，。

兩用戶廣播信道容量區(qū)域的關(guān)系如圖2 所示，其中橫坐標(biāo)表示源節(jié)點(diǎn)S 至中繼節(jié)點(diǎn)R1的信道容量C1，縱坐標(biāo)表示源節(jié)點(diǎn)S 至中繼節(jié)點(diǎn)R2的信道容量C2。圖2 說明了C1和C2的關(guān)系。

圖2 兩用戶廣播信道容量區(qū)域的關(guān)系

定義函數(shù)g(r1,r2)是以速率(r1,r2)傳輸所需的最小能量[19]，其物理含義是中繼節(jié)點(diǎn)R1和R2分別以速率r1和r2工作時(shí)所消耗的單位能量（即功率）之和。在本文的系統(tǒng)模型中，將時(shí)段進(jìn)行了單位化處理，因此單位時(shí)段內(nèi)的能量即等價(jià)為功率。g(r1,r2)[19]可表示為

其中，和是中繼節(jié)點(diǎn)R1和R2的分布方差。顯然，g(r1,r2)是一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù)。

由于R1相對(duì)于R2是衰減的，因此R2可以解碼R1的消息，因此第二跳是具有公共數(shù)據(jù)的擴(kuò)展多址接入信道。具有傳輸節(jié)點(diǎn)功率的擴(kuò)展多址接入信道的容量分區(qū)和高斯噪聲功率的關(guān)系為

本文用圖3 來清晰地表示以上2 個(gè)表達(dá)式的含義。圖3 中的橫坐標(biāo)表示時(shí)隙，即系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)段中均勻分割成的諸多連續(xù)周期；縱坐標(biāo)表示源節(jié)點(diǎn)S的能量消耗。圖3 說明了能量總消耗曲線在任意時(shí)隙都不能超過能量收集曲線。為了防止由于溢出造成的能量損失，收集的能量減去消耗的能量后得到的剩余能量在任意時(shí)隙都不能超過電池的最大容量。

圖3 源節(jié)點(diǎn)滿足能量因果約束關(guān)系且無能量溢出的能耗

中繼節(jié)點(diǎn)R1和R2還應(yīng)滿足能量和數(shù)據(jù)的因果關(guān)系約束，即在前n個(gè)時(shí)隙未達(dá)到的數(shù)據(jù)不能轉(zhuǎn)發(fā)，未收集的能量不能夠使用。約束條件為

對(duì)于速率，每個(gè)信道可用的約束條件為

綜上所述，系統(tǒng)中端到端的最大吞吐量就是本文要解決的優(yōu)化問題，可以表示為

4 功率和速率分配策略

定義(B1,B2)分別為在任意固定時(shí)間T，滿足能量因果約束和源節(jié)點(diǎn)電池能量無溢出約束條件下R1和R2接收到的信息總比特?cái)?shù)，則，。D(T)為最大分離域，即R(B1,B2)={(b1,b2):0≤b1≤B1；0≤b2≤B2}的并集，r1,i和r2,i分別是源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)R1和R2的傳輸速率。D(T)的計(jì)算式為

其中,（r1,i,r2,i）滿足以下能量因果和源節(jié)點(diǎn)能量無溢出約束條件

因?yàn)槿魏卧斐赡芰恳绯龅姆蛛x域策略都可由不允許能量溢出的策略代替，所以最優(yōu)策略必須滿足式(5)中能量不允許溢出的條件。因此，最優(yōu)問題式(12)可轉(zhuǎn)化為

定理1存在一種最優(yōu)總源功率序列與基于能量到達(dá)Es,i的單用戶傳輸序列相同。

證明最優(yōu)問題式(16)的Lagrangian 函數(shù)為

式(17)中包括了Lagrange 乘數(shù)的其他約束條件，但是證明中并不需要，所以為簡(jiǎn)單起見，可以省略這些約束條件。于是，Lagrange 乘數(shù)的互補(bǔ)條件為

對(duì)L進(jìn)行相對(duì)于r1,i、r2,i的求導(dǎo)，可得

由式(21)和式(22)，可得

證畢。

引理1D(T)是一個(gè)凸區(qū)域。

證明假設(shè)(B1,B2)和(,)是滿足能量因果約束條件和源電池能量無溢出約束條件下，實(shí)現(xiàn)速率分配策略中的2 個(gè)點(diǎn)，即

下面需要證明的是，當(dāng)λ'=1?λ時(shí)，存在一個(gè)速率分配策略實(shí)現(xiàn)(λB1+,λB2+)。

由于g(r1,r2)是一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù)，則有

由于聯(lián)合傳輸(B1,B2)和比分別傳輸(B1,B2)和需要更少的能量，因此速率分配可能不滿足式(14)中能量無溢出的條件，所以可以通過增加能量的消耗來提高源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的吞吐量得到一個(gè)滿足能量無溢出和因果約束條件的的速率分配策略。定義新的速率分配策略為，，則有

由于g(r1,r2)是嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)的點(diǎn)，因此一定存在最優(yōu)的，表示為，則

由于任何(B1,B2)和的聯(lián)合傳輸都可以被遵守能量因果約束和無能量溢出的策略實(shí)現(xiàn)，因此可證明D(T)是凸函數(shù)。證畢。

最大分離域D(T)是一個(gè)凸區(qū)域的證明結(jié)果如圖4 所示，其中，橫坐標(biāo)表示中繼節(jié)點(diǎn)R1接收到的來自源節(jié)點(diǎn)的信息總比特?cái)?shù)，縱坐標(biāo)表示中繼節(jié)點(diǎn)R2接收到的來自源節(jié)點(diǎn)的信息總比特?cái)?shù)。

圖4 最大分離域D(T)是一個(gè)凸區(qū)域的證明結(jié)果

由于D(T)是凸區(qū)域，因此存在一個(gè)正實(shí)矢量可以將式(16)表示的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為

式(32)的問題是具有線性目標(biāo)函數(shù)的約束最大化問題。由于無能量溢出約束條件不等式的方向，約束集是非凸的，因此即使存在2 個(gè)策略本身不會(huì)導(dǎo)致能量溢出，但是它們的凸組合可能會(huì)導(dǎo)致能量的溢出，所以原則上存在多個(gè)極值。假設(shè)實(shí)際上存在一個(gè)針對(duì)這個(gè)問題的唯一的全局最優(yōu)解，則可將可能的速率分配策略擴(kuò)展到包含允許能量溢出的策略。于是，式(32)的最優(yōu)化問題式可以轉(zhuǎn)化為

文獻(xiàn)[6]已經(jīng)證明傳輸時(shí)間最小化問題等價(jià)于吞吐量最大化問題，因?yàn)槔米钌俚臅r(shí)間傳輸一定量的數(shù)據(jù)和在一定的時(shí)間內(nèi)傳輸最多的數(shù)據(jù)在原理上是一樣的。文獻(xiàn)[8-9]研究了單跳的廣播信道在源節(jié)點(diǎn)電池有限條件下的最小傳輸完成時(shí)間問題，研究結(jié)果表明，無論μi的值如何，都可以通過定向注水算法找到唯一的總功率分配。本文同樣采用定向注水算法計(jì)算各時(shí)隙中總傳輸功率Ps,i的值。

電池容量有限的兩時(shí)間段的定向注水算法如圖5 所示。該算法基于水能類比，每個(gè)時(shí)隙到達(dá)的能量首先分配給當(dāng)前時(shí)隙，如果當(dāng)前時(shí)隙的功率水平大于下一個(gè)時(shí)隙的功率水平，則將一些能量從當(dāng)前時(shí)隙轉(zhuǎn)移到下一個(gè)時(shí)隙（即能量從過去傳遞到未來以均衡功率水平）。由于能量的因果關(guān)系，未到達(dá)的能量不可以使用，因此能量不可以從右向左轉(zhuǎn)移（即不可以從未來傳遞到過去）。由于存儲(chǔ)收集能量的電池有限，最大為Emax，因此當(dāng)下一個(gè)時(shí)隙需要當(dāng)前時(shí)隙傳遞能量時(shí)，最多只能轉(zhuǎn)移Emax?Ei。因?yàn)槿绻^Emax?Ei，當(dāng)前時(shí)隙的能量就會(huì)超過Emax造成能量溢出。由于溢出的能量沒有用于傳輸數(shù)據(jù)，因此屬于無意義的損耗，當(dāng)前策略就不是最優(yōu)的策略。因此當(dāng)右滲透閥門打開時(shí)，最多只會(huì)有Emax?Ei能量從當(dāng)前時(shí)隙轉(zhuǎn)移到下一個(gè)時(shí)隙。利用定向注水算法求得各個(gè)時(shí)隙中總傳輸功率Ps,i后，可通過式(34)定義一個(gè)常量功率水平Pc,i[9]，該值代表最優(yōu)策略中較強(qiáng)的用戶的截止功率水平。

圖5 電池容量有限的兩時(shí)間段右透水定向注水算法

其中，μi∈[0,1)。

引理2[8]由μi表示的D(T)的邊界點(diǎn)（B1,B2）可以通過以下策略實(shí)現(xiàn)：如果在一個(gè)時(shí)隙中的總傳輸功率Ps,i低于式(34)中的Pc,i，只傳輸更強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，否則，2 個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)都被傳輸，更強(qiáng)節(jié)點(diǎn)的功率為Pc,i。

此時(shí)只傳輸更強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)。在系統(tǒng)模型中，中繼節(jié)點(diǎn)R1被定義為更強(qiáng)的信息接收者，所以只傳輸R1的數(shù)據(jù)。由此可得

因?yàn)橹欣^節(jié)點(diǎn)R1被定義為更強(qiáng)的接收節(jié)點(diǎn)，所以R1的傳輸功率為Pc,i，則中繼節(jié)點(diǎn)R2的傳輸功率為Ps,i?Pc,i。由此可得

如果只傳輸較弱的接收節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，則此時(shí)Pc,i必須小于或等于0，即，此時(shí)中繼節(jié)點(diǎn)R1的傳輸功率小于或等于0，所以速率為0。由此可得

綜上所述，對(duì)于固定的時(shí)間T，端到端吞吐量最大化條件下最優(yōu)策略的總傳輸功率可以通過定向注水算法獲得，源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的傳輸速率取決于μi，對(duì)于不同的μi最優(yōu)策略的最大分離區(qū)域?qū)崿F(xiàn)不同的邊界點(diǎn)。換句話說，給定(μi,Ps,i)，速率對(duì)(r1,i,r2,i)可以通過式(35)和式(36)或式(37)和式(38)或式(39)和式(40)獲得r1,i(μi,Ps,i)的唯一速率對(duì)，表示為r2,i(μi,Ps,i) 和(μi,Ps,i)。由此最優(yōu)公式可以轉(zhuǎn)化為

因?yàn)榇藭r(shí)中繼節(jié)點(diǎn)R2相對(duì)于中繼節(jié)點(diǎn)R1是衰減的，R1可以解碼R2中的消息，所以第二跳是具有公共數(shù)據(jù)的擴(kuò)展多址接入信道。上述問題等價(jià)于基于數(shù)據(jù)到達(dá)的協(xié)作多址接入信道吞吐量最大化問題。定義新的變量，則式(41)可轉(zhuǎn)化為

對(duì)于固定的P，式(43)是一個(gè)線性問題。

引理3[19]y(P)是關(guān)于P的非遞減的凹函數(shù)。

由引理3 可知，式(42)等價(jià)于

由于約束條件是線性約束，目標(biāo)函數(shù)是凹函數(shù)，因此式(44)是一個(gè)凸函數(shù)。由于目標(biāo)函數(shù)不是嚴(yán)格遞增的，因此可能無法利用所有的可用能量。尤其是當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)收集的能量充足而源節(jié)點(diǎn)能量不足時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)沒有傳輸給中繼節(jié)點(diǎn)，使中繼節(jié)點(diǎn)無法傳輸數(shù)據(jù)而不會(huì)消耗能量，因此需要考慮當(dāng)前時(shí)隙的能量多余問題。為此，增加一個(gè)額外的第N+1 個(gè)水槽存儲(chǔ)多余的能量，該水槽不計(jì)算在固定時(shí)隙內(nèi)，只相當(dāng)于一個(gè)額外的能量容器。

基于以上考慮，本文利用右透水水龍頭來計(jì)算存儲(chǔ)在電池中留給未來使用的能量，并在時(shí)隙的最后使用額外的溢出水槽來計(jì)算未使用的剩余能量。為此，為每個(gè)水龍頭配置一個(gè)水表來測(cè)量通過它的能量，如果需要更新能量分配時(shí)，允許水龍頭將能量回流，但回流的能量不能超過從當(dāng)前水龍頭流出的能量。通過允許能量在各時(shí)隙間流動(dòng)計(jì)算出最優(yōu)的水位。

具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，首先在每個(gè)水槽中加入收集到的能量Ei，并且關(guān)閉水龍頭，最后一個(gè)是一個(gè)空的溢出水槽。如果能量向未來水槽流動(dòng)增加了式(44)中的目標(biāo)函數(shù)值，則允許能量向一個(gè)時(shí)隙水槽流動(dòng)。同樣，如果能量向過去的水槽流動(dòng)增加了式(44)中的目標(biāo)函數(shù)值，并且流動(dòng)的能量不超過水表記錄的流出的能量，則允許能量向后流動(dòng)。這樣的計(jì)算調(diào)整是經(jīng)過足夠多次迭代更新才能完成的。由于迭代會(huì)在保持可行性的同時(shí)單調(diào)增加目標(biāo)函數(shù)的值，且本文的問題是凸優(yōu)化問題，因此保證了本文算法將會(huì)收斂到最優(yōu)解上。

本文提出的基于吞吐量最大化的最優(yōu)傳輸算法的核心偽代碼如下。

輸入當(dāng)前第i（1≤i≤N）個(gè)時(shí)隙起始時(shí)源節(jié)點(diǎn)S、中繼節(jié)點(diǎn)R1和R2收集到的能量Es,i、E1,i、E2,i

輸出第i個(gè)時(shí)隙中中繼節(jié)點(diǎn)R1和R2的最優(yōu)傳輸速率和

當(dāng)算法根據(jù)μi的值計(jì)算得到和后，在do循環(huán)部分首先使用注水算法計(jì)算第0 個(gè)水池的），通過計(jì)算得到C的值；然后判斷C的值是否滿足注水過程結(jié)束條件。如果C≥sum，說明不滿足注水過程的停止條件，則重復(fù)循環(huán)過程，繼續(xù)更新計(jì)算的值和C的值；如果C

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及性能分析

實(shí)驗(yàn)是在MATLAB 仿真環(huán)境下完成的。實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)置在一臺(tái)PC 機(jī)上，操作系統(tǒng)為Windows 10，CPU 為Pentium4 3.0 GHz，運(yùn)行內(nèi)存為8 GB。運(yùn)行環(huán)境為 VSCode，MATLAB版本為R2018b_win64。仿真實(shí)驗(yàn)的目的是驗(yàn)證對(duì)于不同的時(shí)間T，最大分離域都是凸的，所以一定存在端到端吞吐量的最大值。

考慮源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的信道和中繼節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)的信道都是加性白高斯噪聲信道，其帶寬設(shè)置為W=1 MHz，噪聲功率頻譜密度為N0=10?19W。假設(shè)源節(jié)點(diǎn)與更強(qiáng)的中繼節(jié)點(diǎn)間的路徑損失是100 dB，源節(jié)點(diǎn)與較弱中繼節(jié)點(diǎn)間的路徑損失是105 dB，中繼節(jié)點(diǎn)與目的節(jié)點(diǎn)間的路徑損失為130 dB。則有

假設(shè)源節(jié)點(diǎn)電池容量最大值Emax=10 mJ。圖6給出了T=9、10、12 s 時(shí)菱形信道中多址信道側(cè)D(T)的最大分離域，其中，表示中繼節(jié)點(diǎn)R1到目的節(jié)點(diǎn)的吞吐量，表示中繼節(jié)點(diǎn)R2到目的節(jié)點(diǎn)的吞吐量。首先找到總功率序列，然后通過改變截止功率水平Pc,i得到源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的傳輸數(shù)據(jù)的區(qū)域，再根據(jù)數(shù)據(jù)量的到達(dá)迭代計(jì)算中繼節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)的分離域。從圖6 中可以看出，對(duì)于每個(gè)時(shí)間T，最大分離域都是凸的，所以一定存在端到端吞吐量的最大值。隨著時(shí)間T的增加，最大分離域單調(diào)遞增，即端到端的最大吞吐量單調(diào)遞增。這就驗(yàn)證了本文所提出的傳輸策略的可行性。

圖6 系統(tǒng)在不同固定時(shí)間的最大吞吐量

第二個(gè)實(shí)驗(yàn)是驗(yàn)證在相同時(shí)隙T=12 s 時(shí)，在源節(jié)點(diǎn)收集能量的最大值不斷增大的條件下，采用源節(jié)點(diǎn)電池容量不受限制的策略[19-20]、源節(jié)點(diǎn)電池容量受限但不允許能量溢出的策略、源節(jié)點(diǎn)電池容量受限但允許能量溢出策略這3 種策略時(shí)，菱形信道端到端吞吐量的變化情況。實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)源節(jié)點(diǎn)電池容量最大值PEmax=10 mJ，取一個(gè)固定的截止功率電平Pc,i，且假設(shè)中繼節(jié)點(diǎn)收集的能量足夠多，中繼節(jié)點(diǎn)都能夠在同一時(shí)隙把源節(jié)點(diǎn)傳輸過來的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)發(fā)給目的節(jié)點(diǎn)。圖7 給出了實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，其中，橫坐標(biāo)表示源節(jié)點(diǎn)能量收集的最大值，縱坐標(biāo)表示系統(tǒng)中端到端的吞吐量。

從圖7 可以看出，在固定的時(shí)間內(nèi)，3 種傳輸方案的吞吐量都會(huì)隨著源節(jié)點(diǎn)能量收集的最大值而增加。當(dāng)源節(jié)點(diǎn)收集能量的最大值較小時(shí)，不用考慮能量的溢出，所以3 種傳輸方案的端到端的最大吞吐量相同。隨著源節(jié)點(diǎn)能量收集最大值的增大，源節(jié)點(diǎn)電池容量不受限制的策略的吞吐量會(huì)不斷地增大，直到數(shù)據(jù)量的到達(dá)趨于平穩(wěn)，說明這種策略的最大吞吐量?jī)?yōu)于源節(jié)點(diǎn)電池受限的傳輸策略。這是因?yàn)闆]有能量的溢出，傳輸節(jié)點(diǎn)就能將更多的能量存儲(chǔ)起來用于傳輸數(shù)據(jù)；對(duì)于電池容量受限的2 種策略來說，能量限制的傳輸節(jié)點(diǎn)當(dāng)收集的能量足夠多時(shí)，沒有數(shù)據(jù)的到達(dá)，將導(dǎo)致能量直接溢出，使一部分能量沒有用于數(shù)據(jù)的傳輸，所以吞吐量要較小一些。在電池容量受限條件下，不允許能量溢出策略的吞吐量要大于允許能量溢出策略的吞吐量。這是因?yàn)殡S著源節(jié)點(diǎn)能量收集最大值的增加，能量受限的策略會(huì)在當(dāng)前時(shí)隙傳輸更多的數(shù)據(jù)，分享給未來時(shí)隙的能量最多不能超過電池最大容量減去未來時(shí)隙收集的能量。但是，如果收集的能量足夠多，且沒有數(shù)據(jù)到達(dá)，未來時(shí)隙收集的能量將達(dá)到最大，且會(huì)造成能量的溢出。在這種情況下，吞吐量將根據(jù)數(shù)據(jù)量的到達(dá)趨于平穩(wěn)。允許能量溢出的策略在轉(zhuǎn)移能量給未來時(shí)隙時(shí)沒有考慮電池的容量。為了使吞吐量最大化，如果當(dāng)前時(shí)隙收集的能量多于未來時(shí)隙收集的能量，允許能量溢出的策略就會(huì)將能量流向未來時(shí)隙，直至能量水平相同，這樣就會(huì)導(dǎo)致未來時(shí)隙能量的溢出。當(dāng)能量收集的足夠多，而數(shù)據(jù)未到達(dá)時(shí)，當(dāng)前時(shí)隙和未來時(shí)隙都會(huì)溢出。但是當(dāng)能量收集較少時(shí)不用考慮能量的溢出，3 種策略的吞吐量是相同的。當(dāng)能量收集較多，使數(shù)據(jù)到達(dá)時(shí)都能有足夠的能量用于傳輸，則3 種策略的吞吐量也是相同的。

圖7 菱形系統(tǒng)在固定時(shí)間傳輸策略比較

基于上述算法的有效性驗(yàn)證，下面2 個(gè)實(shí)驗(yàn)將對(duì)如下4 種策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證本文最優(yōu)化傳輸策略在系統(tǒng)吞吐量提升方面的性能。

策略1 是本文提出的最優(yōu)傳輸策略，且源節(jié)點(diǎn)電池容量受限，即PEmax=10 mJ，時(shí)隙T=10 s。

策略2 是文獻(xiàn)[19]提出的基于對(duì)偶分解法的菱形信道傳輸方案，其中假設(shè)源節(jié)點(diǎn)與中繼節(jié)點(diǎn)的電池容量無窮大，且節(jié)點(diǎn)間無能量傳輸。

策略3 是文獻(xiàn)[20]提出的基于注水算法的菱形信道傳輸策略，其中假設(shè)源節(jié)點(diǎn)與中繼節(jié)點(diǎn)的電池容量無窮大且源節(jié)點(diǎn)與中繼節(jié)點(diǎn)間存在雙向的能量傳輸。

策略4 是將菱形信道的雙中繼視為多中繼選擇方案，即采用文獻(xiàn)[26]提出的中繼選擇策略，且將其無線攜能通信中的功率切割比設(shè)置為1，即無線協(xié)能通信過程全部傳輸?shù)氖菙?shù)據(jù)，無能量傳輸，中繼節(jié)點(diǎn)的能量收集與策略1 中的收集過程相同。

圖8 給出了4 種策略下，1 000 次能量收集過程所實(shí)現(xiàn)的吞吐量累計(jì)分布函數(shù)（CDF,cumulative distribution function），假設(shè)此時(shí)源節(jié)點(diǎn)電池容量為10 mJ。CDF 用于描述不同策略下能實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)最大吞吐量的概率分布。

圖8 4 種策略所實(shí)現(xiàn)的吞吐量的CDF

從圖8 中可以看出，策略3 相較于其他策略能夠?qū)崿F(xiàn)最大的吞吐量，這是由于其他節(jié)點(diǎn)均假設(shè)了電池容量無窮大繼而放松了能量溢出約束，同時(shí)節(jié)點(diǎn)間的能量傳輸實(shí)現(xiàn)了理想情況下的能量均衡。策略1 優(yōu)于策略4 的原因在于本文所設(shè)計(jì)的菱形信道通信策略能夠?qū)崿F(xiàn)較傳統(tǒng)的最優(yōu)中繼選擇更好的系統(tǒng)增益。策略1 實(shí)現(xiàn)的吞吐量低于策略2 的原因在于本文所構(gòu)建模型更接近真實(shí)情況，即節(jié)點(diǎn)的有限容量電池增加了系統(tǒng)模型的最大能量收集約束，從而降低了系統(tǒng)規(guī)劃的自由度。

圖9 是策略1 和策略4 在不同源節(jié)點(diǎn)收集能量最大值下所實(shí)現(xiàn)的吞吐量對(duì)比，由于策略2 和策略3 的電池容量無窮大，因此圖9 中不考慮這2 種情形。從圖9 的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果來看，策略1 和策略4在源節(jié)點(diǎn)收集能量最大值較小的情況下所實(shí)現(xiàn)的吞吐量相差不大。隨著源節(jié)點(diǎn)收集能量最大值的增加，策略4 很快出現(xiàn)系統(tǒng)吞吐量飽和的情況，這是由于策略4 受限于所選擇的最優(yōu)中繼方式，無法實(shí)現(xiàn)策略1 所選擇的中繼協(xié)作方式達(dá)到的吞吐量不斷增加的效果。這說明策略1 在一定程度上能突破單一中繼的約束，提升源節(jié)點(diǎn)的能量利用率。

圖9 策略1 和策略4 在不同源節(jié)點(diǎn)收集能量最大值下所實(shí)現(xiàn)的吞吐量對(duì)比

綜合分析上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，與文獻(xiàn)[19-20]中節(jié)點(diǎn)配備無限容量電池情形下的菱形信道模型相比，本文提出的基于電池容量受限的菱形信道模型下的傳輸策略雖然網(wǎng)絡(luò)吞吐量有所降低，但本文的場(chǎng)景更接近實(shí)際情況，因而本文的傳輸策略更具有實(shí)際價(jià)值。與文獻(xiàn)[26]中最優(yōu)中繼選擇策略相比，本文的傳輸策略能夠突破單一中繼的系統(tǒng)性能約束，實(shí)現(xiàn)更高的系統(tǒng)吞吐量和能量利用率。在電池容量受限的情況下，本文所述的菱形信道模型傳輸策略在一定程度上通過多中繼之間的協(xié)作提升了系統(tǒng)性能，與傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)模型相比，網(wǎng)絡(luò)的吞吐量有較明顯的提升。

6 結(jié)束語

本文研究源節(jié)點(diǎn)電池容量有限條件下，基于能量收集菱形信道通信系統(tǒng)的最優(yōu)傳輸問題。假設(shè)源節(jié)點(diǎn)傳輸給目的節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)是提前準(zhǔn)備好的，并且已知能量到達(dá)的時(shí)間和數(shù)量，提出一種最優(yōu)的傳輸功率和速率的策略，使在固定的時(shí)間內(nèi)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量最大。針對(duì)兩跳的菱形信道通信網(wǎng)絡(luò)中存在的需要協(xié)調(diào)源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的傳輸、約束條件比較多、比較難求解等問題，將最優(yōu)傳輸問題轉(zhuǎn)化為求解左側(cè)廣播信道的最優(yōu)傳輸問題，通過定向注水算法求解源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)總傳輸功率；然后根據(jù)凸優(yōu)化問題分析求解源節(jié)點(diǎn)到中繼節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)傳輸速率，并根據(jù)中繼節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)到達(dá)迭代中繼節(jié)點(diǎn)的電池能量求解中繼節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)最優(yōu)傳輸功率；最后，通過擴(kuò)展多址接入信道最優(yōu)速率滿足條件求解最優(yōu)速率。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的策略和相應(yīng)的算法是可行和正確的。

需要指出的是，本文研究的系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)都是在離線狀態(tài)下，假設(shè)能量收集和數(shù)據(jù)到達(dá)都是可以提前預(yù)知的，但在實(shí)際的系統(tǒng)中，節(jié)點(diǎn)收集到的能量都是隨機(jī)的，數(shù)據(jù)也是隨機(jī)到達(dá)的。所以，本文的研究還存在著一定的局限性。下一步的工作將研究在線狀態(tài)下的基于能量收集和能量協(xié)作的雙中繼通信網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)功率分配和能量轉(zhuǎn)移策略，使之能夠根據(jù)實(shí)際情況來確定收集到的能量和需要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)，采取優(yōu)化的傳輸策略有效地實(shí)現(xiàn)吞吐量最大化。