吳位巍，陳 亮

（凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

光學(xué)元件是光學(xué)系統(tǒng)的基本組成單元，大部分光學(xué)元件起成像的作用，還有一些在光學(xué)系統(tǒng)中起特殊作用（如濾波、分光、傳像等）的元件，透鏡是使用最廣泛的成像元件［1］.生活中人們經(jīng)常使用照相機拍照，可以把瞬間情景留為永恒的記憶；利用攝影儀，可以使教室里的同學(xué)看到放大的圖片；醫(yī)院化驗室的醫(yī)生，在顯微鏡下可以看見血液中的各種細胞........這些與我們的生活息息相關(guān)的光學(xué)儀器，它們的主要部件都是透鏡.

透鏡是根據(jù)光的折射規(guī)律制成的，把玻璃、塑料、石英等透明物質(zhì)磨成薄片，使其兩表面都為曲面或一面為平面，即成為透鏡，因此，它也可以看成是由兩個共軸折射曲面構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng).透鏡有厚薄之分，即薄透鏡和厚透鏡，從目前的文獻資料來看，關(guān)于透鏡處于任意介質(zhì)情況下的成像規(guī)律還未見報道，本文從成像規(guī)律、主點和光焦度等方面來對薄透鏡和厚透鏡這兩個光學(xué)元件進行分析.

1 成像規(guī)律

由于曲面的大小有一定的范圍，使得折射光束的張角范圍受到一定的限制，要使通過前一個曲面的光束必須能通過或部分通過次一個曲面，多個曲面的曲率中心必須都在同一直線上［2］，即構(gòu)成一共軸光具組，這條直線稱為主軸，包含主軸的任一平面為主平面.

物點發(fā)出的單心光束，通過光學(xué)系統(tǒng)后仍保持為單心光束，則該單心光束的心為物點的像.光在界面上折射時，單心光束的單心性將被破壞，但在近軸光線條件下單心性能保持［2］.

厚透鏡的兩曲面在其主軸上的間隔即厚度同它的焦距相比不能忽略，在近軸光線條件下它的成像規(guī)律可采用逐個曲面成像，以兩曲面是球面為例，其主平面內(nèi)的光線如圖1所示.

圖1 厚透鏡主平面內(nèi)的光線

厚透鏡置于n1和n2介質(zhì)中，對于AO1B球面，光線的光程為

根據(jù)費馬原理，光沿光程為最大值、最小值或恒定值的路程傳播，有，得

其中n表示厚透鏡的折射率，r1表示AO1B球面的曲率半徑，s表示物距，s″表示像距.

由（1）式可以看出，s″和φ1的大小有關(guān)，說明從物點p 發(fā)出的單心光束經(jīng)球面AO1B 折射后，單心性被破壞.

在近軸光線條件下，φ1的值很小，在一級近似下，cosφ1≈1，因此有

根據(jù)符號法則，s的數(shù)值為負，s″的數(shù)值為正，而l和l″的數(shù)值應(yīng)為正，所以考慮物理量的符號后有

對于AO2B球面，用上面處理AO1B球面的同樣方法，可得

其中r2表示AO2B球面的曲率半徑，t表示厚透鏡的厚度，s′表示厚透鏡像的位置.

由（2）和（3）式可得厚透鏡的物方焦距f和像方焦距f ′為（2）和（3）式即為厚透鏡處于任意介質(zhì)中時的成像規(guī)律.

兩曲面在其主軸上的間隔即厚度同它的焦距相比可以忽略即為薄透鏡，仍以兩曲面是球面為例，其主平面內(nèi)的光線如圖2所示.

圖2 薄透鏡主平面內(nèi)的光線

薄透鏡置于n1和n2介質(zhì)中，任一光線PAA′P′的光程為式中

在近軸光線條件下，Δ2可表示為

在近軸光線條件下，h遠小于曲率半徑，可略去h2項，而且此時l≈-s、l″≈s″，上式就為

由（4）式可得薄透鏡的物方焦距f和像方焦距

（4）式即為薄透鏡處于任意介質(zhì)中時的成像規(guī)律.

另外，當(dāng)t=0時，由（2）式加（3）式可得，上式與（4）式是一樣的，也就是說在特殊條件下由厚透鏡的成像規(guī)律可以得到薄透鏡的成像規(guī)律.

2 主點

在（2）、（3）、（4）式中s、s″的起點在頂點o1，s′的起點在頂點o2，物方焦距f是從o1量的，像方焦距f ′是從o2量的，顯然，用（2）、（3）、（4）式來決定像的位置是相當(dāng)復(fù)雜的，為簡化成像規(guī)律為高斯形式，需選擇其他的參考點即主點H、H′，如圖3所示.

圖3 厚透鏡的主點

為簡化運算，（2）、（3）式改寫為

假設(shè)物距s和像距s′的起點從頂點o1和o2分別移動p和p′后，起點為主點H、H′的物距、像距滿足高斯形式，即

式中f、f ′為厚透鏡的物方焦距和像方焦距，起點在H、H′.

（7）式和（9）式中各項的系數(shù)應(yīng)該相等，即

由以上三式可得任意情況下的厚透鏡主點位置.例如，厚透鏡處在同一介質(zhì)中，即n1=n2=n0，由光路可逆原理有再根據(jù)符號法則得到f ′=-f，這時上述三式變?yōu)?/p>

當(dāng)n0=1時，即厚透鏡處于空氣中，解上述三式可得

（13）和（14）式給出了處于空氣中厚透鏡的主點H、H′位置.

上兩式與文獻4結(jié)果一致.

若是處于空氣中的薄透鏡，即t=0，由（13）、（14）式可得到它的主點H、H′位置為p=0，p′=0即處于空氣中薄透鏡的主點H、H′與頂點o1、o2重合.

3 光焦度

光焦度Φ 是表征光學(xué)元件聚焦特征的物理量，反應(yīng)光學(xué)元件偏折光線的能力，Φ＞0 表征光學(xué)元件有聚焦作用，Φ＜0表征光學(xué)元件有發(fā)散作用，Φ=0表征光學(xué)元件既沒有聚焦作用又沒有發(fā)散作用，Φ 的絕對值越大光學(xué)元件對光束折得越厲害.光焦度等于像方光束匯聚度與物方光束匯聚度之差，即［3］

其中f ′為起點在H′的像方焦距，f為起點在H的物方焦距，n′為像方折射率，n為物方折射率.

對于厚透鏡，只要從（10）、（11）、（12）式得到f ′或f，再由（15）式就可知道處于任意介質(zhì)情況下厚透鏡的光焦度Φ.如處于空氣中的厚透鏡，將（13）、（14）式代入（10）、（11）、（12）式，同時考慮到此時f ′=-f，得f ′=

（16）式與文獻3中關(guān)于處于空氣中厚透鏡的結(jié)果是一致的.另外，當(dāng)t=0時，由（16）式有Φ=Φ1+Φ2.

上式說明，處于空氣中薄透鏡的光焦度等于構(gòu)成薄透鏡的兩個折射曲面光焦度之和，這與文獻5中的結(jié)果相同.

通常情況下，無論是厚透鏡還是薄透鏡均不能成像，只有在近軸光線條件下才能保持光束的單心性成像，若以球面頂點o1和o2為起點，兩種透鏡的成像規(guī)律形式不一樣，分別為（2）（3）、（4）式，但若以主點H和H′為起點，兩種透鏡的成像規(guī)律都是高斯形式，即（8）式；處于任意介質(zhì)情況下，兩種透鏡的物方焦距和像方焦距大小不等，只有在同種介質(zhì)中大小才相等；雖然透鏡可以看成是由兩個共軸折射曲面構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)，但它的光焦度并不完全由兩個折射曲面的光焦度決定，只有在空氣中的薄透鏡，它的光焦度等于兩個折射曲面的光焦度之和.