林遠(yuǎn)東，宮能平，劉丹丹，盧小雨，崔智麗

（安徽理工大學(xué)，安徽淮南 232001）

夾具對(duì)工件起定位和夾緊的作用［1］，圖1所示夾持系統(tǒng)為文獻(xiàn)［2-4］分析工人用夾具夾磚的力學(xué)模型.夾具對(duì)磚塊的夾持作用及磚塊間相互作用力的傳遞規(guī)律，為設(shè)計(jì)裝載機(jī)械的夾持系統(tǒng)提供了力學(xué)計(jì)算的理論依據(jù)［2］.因而，弄清磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)內(nèi)部的傳力機(jī)制，以及確定影響夾具夾磚數(shù)量的影響因素具有重要意義.

圖1 磚夾-磚塊系統(tǒng)示意圖

在文獻(xiàn)［2-4］中，將磚夾自重忽略，并將磚夾和磚塊視為剛體.因磚夾的重量較磚塊重量小得多，則忽略磚夾自重是合理的.然而，將工人對(duì)磚夾的提拉力作用位置處理為AB 構(gòu)件上的B點(diǎn)，而視OD構(gòu)件為二力構(gòu)件，這顯然與磚夾的工作原理不符.

圖1 中，G 為單塊磚頭的重量，N；FB為工人作用于AB 構(gòu)件B 處的提拉力，N；n 為夾具所夾持的磚塊數(shù)量.

工人手握磚夾工作時(shí)，AB 構(gòu)件和OD 構(gòu)件均被手握住，構(gòu)件OD 不但在O 和D 處受力，在C 處還受到手的抓握力，故OD 構(gòu)件不是二力桿.另外，文獻(xiàn)［2］將磚夾夾持磚塊系統(tǒng)的位置認(rèn)定為磚塊高度的一半處也欠妥.

因此，筆者對(duì)磚夾-磚塊系統(tǒng)的計(jì)算模型進(jìn)行了修正，應(yīng)用靜力學(xué)平衡理論和摩擦庫(kù)倫定律分析了磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)內(nèi)部的傳力機(jī)制及確定了磚夾所能夾起磚塊數(shù)量的問題.研究結(jié)果不但為設(shè)計(jì)裝載機(jī)械的夾持系統(tǒng)提供了力學(xué)計(jì)算的理論依據(jù)［2］，還進(jìn)一步加深了對(duì)靜滑動(dòng)摩擦和靜力學(xué)平衡理論等知識(shí)的理解.

1 修正的磚夾-磚塊系統(tǒng)模型

手握夾具工作時(shí)，手臂哪怕使出大于夾具所夾磚塊重量的提拉力，磚塊也未必能被夾起，當(dāng)夾具對(duì)磚塊的夾持作用不夠大時(shí)磚塊將發(fā)生滑脫現(xiàn)象.

夾具對(duì)磚塊的夾持力，其力源為手對(duì)夾具的抓握力.當(dāng)手對(duì)磚夾的抓握力足夠大時(shí)，夾具便能夾住磚塊；若磚塊不發(fā)生滑脫，工人能否提起磚塊則是由手臂的提拉力所決定，當(dāng)手臂的提拉力大于磚塊重量時(shí)工人便可將磚塊提起.

因此，除了手臂的提拉力之外，手對(duì)磚夾的抓握力也是能否提起磚塊的一個(gè)關(guān)鍵因素.手對(duì)夾具的抓握力會(huì)因人而異，其與手臂提供的提拉力沒有關(guān)系；而且，即使是同一人，因其握緊夾具的程度不同，手對(duì)夾具的抓握力也會(huì)不同.

手對(duì)夾具的抓握力具有3個(gè)特征：在B點(diǎn)處受到由B指向C方向的力；在C點(diǎn)處受到由C指向B方向的力；B點(diǎn)和C點(diǎn)所受力的大小相等.

根據(jù)手對(duì)夾具的抓握力特征，作用在夾具上B 點(diǎn)和C 點(diǎn)這兩處的力大小相等、方向相反且力線重合，則可將手對(duì)夾具的抓握作用等效為一個(gè)連接在B 和C 之間的受拉彈簧.務(wù)必注意，由手對(duì)夾具的抓握力的特征可知，連接在B和C間的彈簧只能受拉.從而，將文獻(xiàn)［2-4］中（圖1所示）磚夾-磚塊系統(tǒng)的力學(xué)模型修正為圖2所示的情況.

圖2 修正的磚夾-磚塊系統(tǒng)示意圖

圖2 中，F(xiàn)C為手臂對(duì)磚夾的提拉力，N；a，b 和c 分別為夾具到磚塊位置參量，m；L 為夾持寬度，m；其余各量同上.

設(shè)單磚的寬度和高度分別為b0和h，則由圖2可見：

對(duì)于磚夾-磚塊系統(tǒng)，由平衡得：

由式（2）得手臂對(duì)磚夾的提拉力為：

由式（3）可見，在磚夾自重忽略不計(jì)的情況下，當(dāng)工人用磚夾夾磚時(shí)，其手臂對(duì)磚夾的提拉力大小為被夾磚塊的重量.

2 磚夾對(duì)磚的作用及手的抓握力

夾持系統(tǒng)中，受夾磚塊系統(tǒng)的受力情況如圖3（a），而構(gòu)件AB的受力情況如圖3（b）.

圖3 磚夾-磚塊系統(tǒng)的內(nèi)力分析

圖3中，NA和ND為夾具對(duì)磚塊系統(tǒng)兩側(cè)的正壓力，N；FSA和FSD為夾具對(duì)磚塊系統(tǒng)兩側(cè)的靜滑動(dòng)摩擦力，N；FOx和FOy為構(gòu)件AB在鉸接點(diǎn)處所受約束力，N；TB為手對(duì)構(gòu)件AB的抓握力，N.

2.1 磚夾對(duì)磚塊系統(tǒng)的作用

對(duì)于受夾的磚塊系統(tǒng)，由平衡得：

由式（7）可知，磚夾作用于磚塊系統(tǒng)兩側(cè)的正壓力是相等的.

由式（7）可知，磚夾作用于磚塊系統(tǒng)兩端的靜滑動(dòng)摩擦力相等.

由摩擦庫(kù)倫定律［4］可知：

式中，F(xiàn)Smax為磚塊系統(tǒng)在夾持點(diǎn)所受最大靜滑動(dòng)摩擦力，其值為：

式中，fS為磚夾與磚塊間的靜摩擦系數(shù).

2.2 手對(duì)磚夾的抓握力

由式（8）和式（12）得磚夾對(duì)磚塊的正壓力NA與手對(duì)磚夾的抓握力TB之間的關(guān)系為：

式（13）表明，磚夾對(duì)磚塊的正壓力與手對(duì)磚夾的抓握力呈線性關(guān)系，且夾具對(duì)磚塊系統(tǒng)的正壓力隨著手對(duì)磚夾抓握力的增大而增大.

由式（11）和式（13）得磚塊相對(duì)于夾具不發(fā)生滑脫時(shí)手對(duì)磚夾的抓握力TB需滿足的條件為：

綜上，磚塊不發(fā)生滑脫現(xiàn)象，關(guān)鍵因素取決于手對(duì)磚夾的抓握力的大小.

3 磚塊在接觸面上的相互作用力

自受夾磚塊系統(tǒng)中從左往右取j塊磚為研究對(duì)象，分析第j塊磚的右側(cè)面受第j+1塊磚左側(cè)面施加的作用力.

第j 塊磚右側(cè)面上各點(diǎn)具體的受力情況如何，我們是不清楚的.然而，無(wú)論其如何分布，我們可由力系等效與簡(jiǎn)化理論以及磚塊系統(tǒng)在力系作用下保持平衡的狀態(tài)，將第j塊磚右側(cè)面上所受約束力簡(jiǎn)化和等效為一正壓力和與面相切向下的摩擦力作用，設(shè)力的作用點(diǎn)距磚塊上面的距離為ej，如圖4所示.

圖4 受夾磚塊在接觸面上的相互作用力分析

圖4中，Nj和Fsj分別為第j塊磚受第j+1塊磚作用的正壓力和靜滑動(dòng)摩擦力，N；ej為第j塊磚受第j+1塊磚作用的等效力作用點(diǎn)距磚塊上方的尺寸，m；j為磚塊的位置編號(hào)，為自然數(shù)，且j?［1，n］.

當(dāng)j 取n 時(shí)，Nj和Fsj表示圖3（a）中磚塊系統(tǒng)在夾持點(diǎn)D 的受力情況，則受夾磚塊系統(tǒng)內(nèi)部磚塊在接觸面上相互的作用力，其需滿足的邊界條件為：

對(duì)于圖4所示的磚塊系統(tǒng)，由靜力學(xué)平衡得：

3.1 各磚塊在接觸面上的正壓力

結(jié)合式（7）可知，Nj=ND.由此可見，式（19）滿足式（15-1）表示的邊界條件.式（19）表明，受夾磚塊系統(tǒng)內(nèi)部各磚塊在接觸面上相互作用的正壓力大小相同.

3.2 各磚在接觸面上的靜滑動(dòng)摩擦力

由式（8）和式（17）得第j塊磚頭受第j+1塊磚的靜滑動(dòng)摩擦力Fsj為：

當(dāng)j取n時(shí)，由式（20）得FSn=-nG/2，這說明該界面上實(shí)際所受靜滑動(dòng)摩擦力的指向與圖4所示相反，即實(shí)際為向上方向，與圖3（a）所示情況完全一致.因此，式（20）滿足式（15-2）表示的邊界條件.

由式（20）可知，磚塊系統(tǒng)內(nèi)各磚塊在接觸面上所受靜滑動(dòng)摩擦力呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì).從而，受夾磚塊系統(tǒng)中存在靜滑動(dòng)摩擦力取得最小的接觸面，該最小靜滑動(dòng)摩擦力的具體情況為：

（1）當(dāng)磚塊數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，磚塊系統(tǒng)內(nèi)的磚塊在相互接觸面上有靜滑動(dòng)摩擦力為0的情況.此時(shí)，由式（20）得j=n/2，即第n/2塊磚與第1+n/2塊磚在接觸面上沒有靜滑動(dòng)摩擦力的作用；

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，j=n/2不是整數(shù)，故第（n+1）/2塊磚的兩側(cè)面靜滑動(dòng)摩擦力最小.將j=（n+1）/2代入式（20），可得磚塊數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，磚塊系統(tǒng)內(nèi)部的磚塊在接觸面上所受的最小靜滑動(dòng)摩擦力為：

式（21）表明，當(dāng)受夾磚塊系統(tǒng)的磚塊數(shù)量n為奇數(shù)時(shí)，正中間的磚塊在兩側(cè)面上受到的靜滑動(dòng)摩擦力最小，其值為單塊磚重量的1/2，負(fù)號(hào)表示靜滑動(dòng)摩擦力的方向與圖4 所示方向相反，即實(shí)際指向向上.

3.3 各磚在接觸面上受力的作用位置

由式（18）～式（20）得第j塊磚受第j+1塊磚作用力的等效作用點(diǎn)位置參量ej為

當(dāng)j取n時(shí)ej對(duì)應(yīng)于圖3（a）中點(diǎn)D位置，則各磚塊在接觸面上，正壓力和摩擦力的等效作用點(diǎn)應(yīng)滿足邊界條件

顯然，式（22）滿足式（23）表示的等效作用點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊界條件.

式（22）表明，第j 塊磚受第j+1 塊磚作用力的等效作用點(diǎn)位置參量ej是磚塊位置編號(hào)j 的函數(shù).因ej是j的函數(shù)，則由式（22）可得

令?ej/?j=0，由（24）可得j=n/2.從而，當(dāng)j＜n/2時(shí)?ej/?j＜0；而當(dāng)j＞n/2時(shí)?ej/?j＞0.結(jié)合函數(shù)增減性判別準(zhǔn)則［5］可知：

（1）當(dāng)j＜n/2時(shí)?ej/?j＜0，表明ej隨著j的增大而減??；

（2）當(dāng)j＞n/2時(shí)?ej/?j＞0，表明ej隨著j的增大而增大.

因此，ej在j=n/2處取得最小值，該最小值為

4 磚夾能夾起磚塊的數(shù)量

受夾磚塊系統(tǒng)的各塊磚之間相互作用力得等效作用位置須在交界面上，則ej的最小值應(yīng)滿足：

磚塊系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，夾具所夾起磚塊的數(shù)量達(dá)最大值.此時(shí)，由式（14）可得手對(duì)夾具的最小抓握力為

同理，由式（13）和式（27）可得極限平衡狀態(tài)下夾具作用于磚塊系統(tǒng)上的最小正壓力為：

注意到，系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)時(shí)式（28）也可由式（8）～式（10）直接導(dǎo)出.

由式（30）可見，當(dāng)c=h/2時(shí)，磚夾所能夾起磚塊的最大數(shù)量與文獻(xiàn)［2］的結(jié)論完全一致.然而，工人夾磚時(shí)，磚夾的夾持位置具有不確定性.因此，本文的分析更具有一般性，相應(yīng)結(jié)果具有普適性，文獻(xiàn)［2］的結(jié)論僅為本文的一種特例.

5 影響磚夾夾磚數(shù)量的因素

由式（30）可見，用磚夾能夾起磚塊的數(shù)量與單磚寬度、磚塊與磚夾間的摩擦系數(shù)及磚夾夾磚的具體夾持位置有關(guān).其中，磚的寬度及磚夾與磚塊間的摩擦系數(shù)為系統(tǒng)的確定量；而磚夾夾磚的位置為可變量，磚夾能夾起磚塊的數(shù)量與夾持點(diǎn)距磚塊上面的距離成正比關(guān)系.

因此，磚夾夾磚的夾持位置越低，所能夾持的磚塊數(shù)量越多.然而，磚夾能夾起磚塊的數(shù)量不僅僅只由上述3個(gè)參量確定.

首先，式（30）所確定能夾起磚塊的重量是要由工人手臂來(lái)承擔(dān).因此，工人手臂對(duì)磚夾的提拉力要與所夾磚塊重量相匹配，在此前提下磚夾方能夾起相應(yīng)數(shù)量的磚塊.將磚夾能夾起磚塊數(shù)量最多時(shí)的手臂提拉力記為FCm，則由式（3）和式（30）得：

另外，工人手握磚夾的抓握力要與所夾磚塊對(duì)應(yīng)的抓握力相匹配.只有工人手握磚夾的抓握力與所夾磚塊數(shù)量代入式（27）所得抓握力時(shí)，由式（30）確定的磚塊數(shù)量才有實(shí)際意義.將磚夾所能夾起最多磚塊數(shù)量時(shí)工人手握磚夾的握緊力記為TBm，則由式（27）和式（30）得：

因此，磚夾能夾起的磚塊數(shù)量不僅與單磚的寬度、磚塊與磚夾的靜摩擦系數(shù)及磚夾夾磚的位置有關(guān)，還與工人手臂的提拉力以及手握磚夾的最小抓握力有關(guān).

6 結(jié)論

（1）磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)中各磚塊在相互接觸面上所受的正壓力是不變的；而靜滑動(dòng)摩擦力的大小和方向是隨磚塊處于系統(tǒng)中具體位置的變化而變化的。

（2）磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)中各磚塊在相互接觸面上所受的靜滑動(dòng)摩擦力表現(xiàn)為先減小后增大的變化規(guī)律；當(dāng)受夾磚塊數(shù)n 為偶數(shù)時(shí)，第n/2 塊磚與第（1+n/2）塊磚在接觸面上相互作用的靜滑動(dòng)摩擦力降低為零；而當(dāng)磚塊數(shù)n 為奇數(shù)時(shí)，第（n+1）/2 塊磚的兩側(cè)面上所受靜滑動(dòng)摩擦力降低至最小值，其值為單磚重量的1/2。

（3）磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)中各磚塊在接觸面上所受正壓力和靜滑動(dòng)摩擦力的等效作用點(diǎn)位置，是隨磚塊處于磚塊系統(tǒng)中具體位置的變化而變化的；該等效作用點(diǎn)距磚塊上方的距離呈現(xiàn)先減小后增大的變化規(guī)律。

（4）磚夾所能夾起磚塊的數(shù)量不但與單磚的寬度、磚塊與夾具間的摩擦系數(shù)和磚塊受夾位置有關(guān)，還與工人手臂對(duì)夾具的提拉力和手對(duì)夾具的抓握力有關(guān)。