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        一類帶奇異項(xiàng)的非局部問題正解的唯一性

        2021-07-16 06:39:24林榮瑞佘連兵吳蓮發(fā)
        關(guān)鍵詞:六盤水變分計(jì)算機(jī)科學(xué)

        林榮瑞,佘連兵*,吳蓮發(fā)

        (1.六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 六盤水 553004;2.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 南昌 334001)

        考慮如下帶非局部項(xiàng)的奇異橢圓問題

        其中Ω?N(N≥3)是一個(gè)有界開區(qū)域且具有光滑邊界?Ω,a,b≥0且a+b>0,m>0,λ≥0,1

        當(dāng)m=1時(shí),文獻(xiàn)[1]率先研究了問題(1):

        利用變分方法和一些分析技巧,獲得了上述奇異非局部問題正解的存在唯一性。文獻(xiàn)[2]研究如下非局部問題,

        在文獻(xiàn)[1]和[2]的啟發(fā)下,本文利用變分方法和臨界點(diǎn)理論,證得了問題(1)正解的存在唯一性,推廣了文獻(xiàn)[1]和[2]中的結(jié)果。

        (2)

        記S為

        (3)

        最佳Sobolev常數(shù)。

        證明首先,證明m*有定義。由H?lder不等式和(3)式,可得

        (4)

        (5)

        從而,根據(jù)(4)式和(5)式,可得

        (6)

        令ωn=un-u*,只需證明當(dāng)n→∞時(shí)‖ωn‖→0。根據(jù)Vitali定理,可以斷言

        (7)

        根據(jù)(4)式,我們有

        進(jìn)一步,由(6)式和Brezis-Lieb引理,可得

        (8)

        一方面,1

        這就意味著I(u*)=m*。另一方面,p=2*時(shí),依據(jù)(6)-(8)式以及范數(shù)的弱下半連續(xù)性,可得

        這就得到I(u*)=m*。引理1證畢。

        下面,給出本文的主要結(jié)果及證明。

        (9)

        根據(jù)Lebesgue控制收斂定理,可得

        (10)

        對(duì)任意的x∈Ω,記

        h′(t)=f(x)

        這就意味著:h(t)對(duì)一切的t>0是非增的。進(jìn)一步,對(duì)任意的x∈Ω,有

        其中當(dāng)u*(x)=0且φ(x)>0時(shí),上式值可能是+∞。從而,根據(jù)單調(diào)收斂定理(Beppo-Levi定理),可得

        這里可能取到+∞。在(9)式中讓t→0+,由(10)式可得

        (11)

        這就意味著u*(x)>0在Ω中幾乎處處成立。

        (12)

        (u*+εφ)+=max{u*+εφ,0}

        顯然,Ψ≥0。在(11)式中取φ=Ψ,記Ω1={x∈Ω:u*+εφ≤0},結(jié)合(12)式,可得

        當(dāng)ε→0+,有measΩ1→0,上式兩邊同時(shí)除以ε并令ε→0+,可得

        因此,這個(gè)不等式對(duì)于-φ也成立。故,u*是問題(1)的一個(gè)正解且I(u*)<0。

        最后,問題(1)解的唯一性。假設(shè)ν*為問題(1)的另一個(gè)解。由(2)式,可得

        (13)

        (14)

        根據(jù)(13)式和(14)式,可得

        (15)

        其中

        由H?lder不等式,可得

        由0<γ<1,p>1,易得到如下兩個(gè)不等式

        (r-γ-s-γ)(r-s)≤0,(rp-1-sp-1)(r-s)≥0,?r、s>0

        因此

        一方面,若a>0,由(15)式,推得a‖u*-ν*‖2≤0。這就意味著:‖u*-ν*‖2=0,即u*=ν*。另一方面,若a=0,由(15),推得‖u*‖=‖ν*‖且W(u*,ν*)=0。從而,有

        即u*=ν*。因此u*是問題(1)的唯一解。定理1證畢。

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