許榮今, 李木子, 岳立娟

(東北師范大學 物理學院, 長春 130024)

由于網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)具有更復雜的拓撲結(jié)構(gòu)和動力學行為, 因此使網(wǎng)格混沌吸引子在信息加密和安全通信中具有廣泛的應用前景. Suykens等[1]在蔡氏系統(tǒng)上引入由絕對值函數(shù)組成的非線性函數(shù), 構(gòu)造了第一個單方向多渦卷混沌吸引子. 之后人們提出了應用分段線性函數(shù)、 階躍函數(shù)、 正弦函數(shù)、 雙曲正切函數(shù)等非線性函數(shù)構(gòu)造單方向多渦卷混沌系統(tǒng)[2-7], 網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子具有更高的復雜特性. 文獻[8-11]用不同的非線性函數(shù)構(gòu)造網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng): Yalcin等[8]提出了一個引入階躍函數(shù)構(gòu)造的網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng); Deng等[9]引入滯回函數(shù)構(gòu)造了網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng); 張朝霞等[10]在蔡氏系統(tǒng)上引入階躍函數(shù)和多項式構(gòu)造了網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng); Xu等[11]在三維系統(tǒng)中引入由雙曲正切函數(shù)組成的非線性函數(shù)構(gòu)造了網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng). 目前網(wǎng)格多渦卷系統(tǒng)大部分是混沌的, 但超混沌系統(tǒng)具有更復雜的動力學特性.

混沌同步方法包括廣義同步、 滑模同步、 反饋同步、 自適應同步等[12-16]. 其中自適應同步具有魯棒性強和穩(wěn)定性高等特點. 在很多實際情況下, 系統(tǒng)參數(shù)不能確定, Park[17]提出了參數(shù)不確定R?ssler系統(tǒng)的自適應同步； 陳士華等[18]在參數(shù)辨識方法的基礎上, 研究了R?ssler超混沌系統(tǒng)自適應同步； 阿布都熱合曼·卡的爾等[19]研究了參數(shù)未知的統(tǒng)一超混沌系統(tǒng)自適應同步； 黃瑋[20]研究了參數(shù)未知Lü系統(tǒng)的自適應同步. 由于網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)造更復雜, 因此對其同步的研究較少. 本文通過引入雙曲正切函數(shù), 構(gòu)成一個網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng), 相比于傳統(tǒng)的非線性函數(shù), 雙曲正切函數(shù)作為連續(xù)可微函數(shù), 更易分析混沌同步, 并有助于理解神經(jīng)網(wǎng)絡存在的復雜動力學行為. 隨著渦卷數(shù)的增加, 系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)和復雜度均增加, 動力學特性變得更復雜. 本文基于Lyapunov指數(shù)穩(wěn)定理論, 對該系統(tǒng)進行了參數(shù)未知的自適應同步研究. 數(shù)值仿真結(jié)果表明, 該方法可較好地實現(xiàn)參數(shù)不確定網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng)的同步.

1 網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng)模型及動力學分析

本文構(gòu)造一個網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng), 系統(tǒng)模型為

(1)

其中x,y,z,w,v為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a為系統(tǒng)參數(shù),h(x)和f(y)為如下非線性函數(shù)：

通過改變h(x)和f(y)中的i和j擴展系統(tǒng)(1)的鞍焦平衡點個數(shù), 進而產(chǎn)生任意連續(xù)的渦卷數(shù).式(2)可在x方向產(chǎn)生偶數(shù)個渦卷, 式(3)可在x方向產(chǎn)生奇數(shù)個渦卷, 式(4)可在y方向產(chǎn)生偶數(shù)個渦卷, 式(5)可在y方向產(chǎn)生奇數(shù)個渦卷.鞍焦平衡點類型分為“指標1”和“指標2”兩種[21], “指標1”鞍焦平衡點用于產(chǎn)生鍵帶, “指標2”鞍焦平衡點用于產(chǎn)生渦卷.當參數(shù)a=1,h(x)選取式(2),f(y)選取式(4),i=1,j=1時, 有4×4個“指標2”鞍焦平衡點, 用“·”標出, 系統(tǒng)(1)在x-y平面的鞍焦平衡點分布如圖1所示, 由于每個“指標2”鞍焦平衡點對應1個渦卷, 因此網(wǎng)格渦卷的數(shù)量是4×4個.

圖1 4×4網(wǎng)格多渦卷吸引子的鞍焦平衡點分布Fig.1 Distribution of saddle focal equilibrium points of 4×4 grid multi-scroll attractors

系統(tǒng)(1)的吸引子相圖如圖2所示.當系統(tǒng)(1)的初值取(0.64,0.06,0,0.1,0),h(x)選取式(2),f(y)選取式(5),i=1,j=1時, 系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的吸引子渦卷數(shù)為4×3, 如圖2(A)所示； 當h(x)選取式(2),f(y)選取式(4),i=1,j=1時, 系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的吸引子渦卷數(shù)為4×4, 如圖2(B)所示； 當h(x)選取式(3),f(y)選取式(4),i=1,j=1時, 系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的吸引子渦卷數(shù)為5×4, 如圖2(C)所示； 當h(x)選取式(2),f(y)選取式(4),i=2,j=2時, 系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的吸引子渦卷數(shù)為6×6, 如圖2(D)所示.當渦卷數(shù)不同時, 對應Lyapunov指數(shù)列于表1.

圖2 系統(tǒng)(1)的吸引子相圖Fig.2 Attractor phase diagram of system (1)

表1 不同渦卷數(shù)的Lyapunov指數(shù)

由表1可見, 隨著渦卷數(shù)的增加, 系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)始終有2個正的, 1個趨近于0, 2個負的, 在不同的渦卷數(shù)下, 始終均為超混沌狀態(tài).

以4×6網(wǎng)格為例,h(x)選取式(2),f(y)選取(4)式,i=1,j=2, 當參數(shù)a改變時, 其狀態(tài)變量x和y的分岔圖如圖3所示, Lyapunov指數(shù)譜如圖4所示.

圖3 系統(tǒng)(1)隨a變化的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of system (1) with a variation

圖4 系統(tǒng)(1)隨a變化的Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 Lyapunov exponential spectrum of system (1) with a variation

由圖3可見, 在x方向有并行的4條線, 在y方向有并行的6條線, 即系統(tǒng)(1)此時渦卷數(shù)為4×6.由圖4可見, 當a從1變化到5時, 始終有2個正Lyapunov指數(shù)、 1個趨近于0、 2個負的Lyapunov指數(shù)(未畫出), 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).

為進一步探討網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng)的復雜性, 用文獻[22]中計算復雜度的方法研究系統(tǒng)(1)的復雜度, 計算網(wǎng)格混沌吸引子在x和y方向的復雜度, 結(jié)果列于表2.由表2可見, 隨著網(wǎng)格渦卷數(shù)的增加, 系統(tǒng)在x和y方向的復雜度明顯增加, 系統(tǒng)的復雜度越大, 其保密通信的效果越好.

表2 網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)的復雜度

2 參數(shù)未知網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng)的自適應同步

系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng), 響應系統(tǒng)為

(6)

其中a1為響應系統(tǒng)中需估計的參數(shù),u=(u1,u2,u3,u4,u5)T為控制器.

定義誤差為

(7)

則誤差系統(tǒng)為

(8)

設計控制器為

(9)

參數(shù)自適應律為

(10)

選取Lyapunov函數(shù)為

(11)

對V求導可得

選取驅(qū)動系統(tǒng)(1)的初值為(5,-3,5,-3,0), 響應系統(tǒng)(6)的初值為(-1,-1,-1,5,2), 取α1=10.9,α2=10.95,α3=10.85,α4=10.8,α5=10.8,η=0.95,ei(i=1,2,3,4,5)隨時間t的變化如圖5所示.由圖5可見, 誤差快速趨近于0.參數(shù)自適應律ki(i=1,2,3,4,5)收斂曲線如圖6所示.由圖6可見, 參數(shù)ki在較短的時間內(nèi)趨近于常數(shù).參數(shù)a的辨識曲線如圖7所示.由圖7可見, 參數(shù)a在較短的時間內(nèi)穩(wěn)定收斂于估計值.

圖5 ei(i=1,2,3,4,5)隨時間t的變化曲線Fig.5 Change curves of ei(i=1,2,3,4,5) with time t

圖6 參數(shù)自適應律ki(i=1,2,3,4,5)的控制曲線Fig.6 Control curves of parameter adaptive law ki(i=1,2,3,4,5)

圖7 參數(shù)a的辨識曲線Fig.7 Identification curve of parameter a

綜上, 本文提出了一個網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng), 該系統(tǒng)僅有一個參數(shù), 通過對系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的分析表明, 當參數(shù)變化范圍較大時, 該系統(tǒng)始終處于超混沌狀態(tài), 通過Lyapunov指數(shù)和復雜度的分析表明, 隨著渦卷數(shù)的增加, 系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)和復雜度均增加, 并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論對網(wǎng)格多渦卷超混沌系統(tǒng)進行了參數(shù)未知的自適應同步, 仿真結(jié)果表明, 該方法在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)了兩個系統(tǒng)同步, 且同步效果較好, 可應用于保密通信.