陳 浩，曹 云，王新杰，王 炅，席占穩(wěn)，聶偉榮

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094）

1 引 言

微機(jī)電系統(tǒng)（Micro Electro Mechanical Systems，MEMS）微電熱驅(qū)動(dòng)器利用焦耳熱效應(yīng)產(chǎn)生熱形變實(shí)現(xiàn)位移［1］，是一種較為可靠的驅(qū)動(dòng)方式。相對(duì)于壓電［2］、靜電［3］、磁致［4］等驅(qū)動(dòng)器而言，電熱驅(qū)動(dòng)器具有輸出位移大、輸出力穩(wěn)定以及工藝兼容性好等優(yōu)點(diǎn)。但MEMS工藝中存在的不確定性會(huì)導(dǎo)致電熱驅(qū)動(dòng)器實(shí)際測(cè)量得到的參數(shù)與設(shè)計(jì)參數(shù)產(chǎn)生較大的偏差。這些隨機(jī)偏差不僅影響驅(qū)動(dòng)器的性能，而且嚴(yán)重降低了驅(qū)動(dòng)器的工作可靠性，甚至導(dǎo)致其失效。

目前關(guān)于MEMS隨機(jī)工藝誤差的諸多研究主要分為以下三種方式。第一種方式：定性研究單一工藝誤差與結(jié)構(gòu)性能之間的關(guān)系［5-7］。例如，曹云等人［5］研究了彈簧線寬、厚度、側(cè)壁傾角和兩電極間隙等單一尺寸誤差對(duì)萬(wàn)向慣性開(kāi)關(guān)閾值的影響。第二種方式：采用統(tǒng)計(jì)方法模擬得到工藝誤差下結(jié)構(gòu)性能的概率分布［8-9］。例如，J.S.Kong等人［8］對(duì)靜電驅(qū)動(dòng)器中的尺寸誤差進(jìn)行隨機(jī)抽樣，通過(guò)有限元仿真計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位移，最終得到靜電驅(qū)動(dòng)器存在加工誤差時(shí)的位移統(tǒng)計(jì)規(guī)律。第三種方式：建立結(jié)構(gòu)性能關(guān)于參數(shù)的隨機(jī)數(shù)學(xué)模型，量化工藝誤差對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響［10-12］。例如，Lili Gao等人［10］采用侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法（Intrusive Polynomial Chaos Expansions，IPCE）分別建立了MEMS微梁的彈性模量和應(yīng)力關(guān)于加工誤差的模型，分別得到彈性模量和殘余應(yīng)力的概率分布密度并通過(guò)蒙特卡洛法進(jìn)行驗(yàn)證。由于MEMS器件性能是多個(gè)工藝誤差同時(shí)作用的結(jié)果，采用第一種分析方式不能全面地反映誤差對(duì)器件性能的影響。而基于統(tǒng)計(jì)原理的分析方法為了保證結(jié)果的全面、準(zhǔn)確需要進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，從而造成計(jì)算時(shí)間成本的成倍增加。混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法兼顧了結(jié)果精度與計(jì)算成本，因此是一種行之有效的工藝誤差不確定性分析方法。

混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法（Polynomial Chaos Expansions，PCE）基于混沌多項(xiàng)式理論，能精確描述任意特征分布的隨機(jī)變量的隨機(jī)性［13］。非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法在進(jìn)行隨機(jī)分析時(shí)，只需在系統(tǒng)輸入和輸出兩者之間建立一種映射關(guān)系，因此無(wú)需知道系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)的具體形式。侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法會(huì)改變?cè)械南到y(tǒng)響應(yīng)函數(shù)形式，從而根據(jù)新的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)得到輸出的隨機(jī)分布［14］。本文提出一種非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法（Non-intrusive Polynomial Chaos Expansions，NIPCE）用于V型微電熱驅(qū)動(dòng)器中點(diǎn)處的溫度的不確定性量化及整體結(jié)構(gòu)失效概率研究。本文具體研究步驟如下：首先通過(guò)對(duì)加工工藝分析，確定微電熱驅(qū)動(dòng)器的主要參數(shù)的誤差來(lái)源；其次對(duì)加工樣品的主要參數(shù)進(jìn)行測(cè)量并分析得到誤差下參數(shù)的特征分布；接著將參數(shù)作為變量，構(gòu)建微電熱驅(qū)動(dòng)器中心點(diǎn)處溫度的混沌展開(kāi)多項(xiàng)式，并使用蒙特卡洛法對(duì)混沌多項(xiàng)展開(kāi)模型進(jìn)行驗(yàn)證；最后對(duì)混沌多項(xiàng)展開(kāi)模型進(jìn)行分析，得到V型微電熱驅(qū)動(dòng)器發(fā)生溫度失效的概率。

2 器件制作工藝

硅基MEMS電熱驅(qū)動(dòng)器主要采用干法深刻蝕即反應(yīng)離子深刻蝕工藝（DRIE）制作。以光刻膠為犧牲層、硅片作為器件結(jié)構(gòu)，進(jìn)行多次掩膜、光刻、刻蝕及去膠等步驟［15-17］，如圖1所示。

圖1 硅基電熱驅(qū)動(dòng)器的制作流程Fig.1 Fabrication process of the silicon-based electrothermal actuator

（a）備片：選擇晶面為（100）的硅片，經(jīng)摻雜處理后，硅片的電阻率降低到0.01～0.02Ω?cm，并對(duì)硅片進(jìn)行清洗；（b）光刻；（c）刻蝕：深刻蝕8～10μm，得到硅片錨點(diǎn)，清洗去除光刻膠；（d）非對(duì)準(zhǔn)鍵合：采用7740玻璃片與硅片錨點(diǎn)鍵合；（e）減薄：采用KOH溶液對(duì)硅片背面進(jìn)行濕法刻蝕，刻蝕后的硅片整體厚度約為110μm，從而滿足微電熱驅(qū)動(dòng)器厚度設(shè)計(jì)要求；（f）濺射：在硅片表面濺射、淀積一層Ti/Au合金薄膜；（g）光刻；（h）刻蝕：對(duì)合金層進(jìn)行刻蝕，從而形成電熱驅(qū)動(dòng)器電極，清洗除膠；（i）合金化：使合金與硅片之間形成低歐姆接觸，同時(shí)也增加合金與硅之間的附著力；（j）光刻；（k）刻蝕：采用反應(yīng)離子刻蝕釋放結(jié)構(gòu)得到電熱驅(qū)動(dòng)器；（m）劃片：涂膠保護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃片；（n）清洗：使用丙酮溶液去除保護(hù)膠，最終完成器件制作。對(duì)制作樣品進(jìn)行分選；準(zhǔn)備合適的印刷電路板（PCB）；使用紅膠進(jìn)行粘片；經(jīng)烘干、引線；最終完成微電熱驅(qū)動(dòng)器的封裝，如圖2所示。

圖2 微電熱驅(qū)動(dòng)器的封裝樣品Fig.2 Packaged sample of the micro-electro-thermal actuator

3 誤差測(cè)量及其特征分布

V型電熱驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖，如圖3所示。采用高倍顯微鏡（OLYMPUS STM 6）和歐姆表，對(duì)同一加工批次的23個(gè)樣品分別進(jìn)行了主要參數(shù)的測(cè)量，分別測(cè)量了電熱驅(qū)動(dòng)器的寬度與電阻。所有樣品參數(shù)的測(cè)量結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出：驅(qū)動(dòng)器寬度和電阻的偏差較大，寬度的變化范圍為：33~39μm，電阻的變化范圍為：130~170Ω。等離子深硅刻蝕工藝（DRIE）中，刻蝕區(qū)域深寬比越小，刻蝕速率越快。在本次加工的整體結(jié)構(gòu)中，各部分的刻蝕寬度相差較大，而V型電熱驅(qū)動(dòng)器刻蝕區(qū)域的深寬比較小，其刻蝕速率較快導(dǎo)致過(guò)刻蝕的產(chǎn)生。此外，由于V型驅(qū)動(dòng)器在硅片上均勻分布且硅片中間和邊緣處的刻蝕速率不一樣，因此硅片不同位置處的驅(qū)動(dòng)器的過(guò)刻蝕時(shí)間不同。綜上，V型電熱驅(qū)動(dòng)器樣品的寬度誤差較大。對(duì)于驅(qū)動(dòng)器電阻而言，由于摻雜工藝中的不均勻性，導(dǎo)致硅片不同區(qū)域的電阻率也不同，因此在驅(qū)動(dòng)器寬度和電阻率誤差的共同作用下，其電阻的偏差也會(huì)較大。

圖3 V型電熱驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Sketch of the V-shaped electro-thermal actuator

圖4 各個(gè)樣品參數(shù)測(cè)量結(jié)果Fig.4 Measuring result of the parameters in the samples

樣品的電阻值不僅與材料電阻率有關(guān)，也取決于驅(qū)動(dòng)器的尺寸參數(shù)。電阻與寬度之間的相關(guān)性增加了可靠性分析的復(fù)雜性。因此獨(dú)立變量電阻率ρ更適用于建立可靠性分析模型。根據(jù)（1）式，可計(jì)算得到每個(gè)樣品的電阻率值。

其中h為驅(qū)動(dòng)器的厚度。由于在加工過(guò)程，對(duì)硅片進(jìn)行整體減薄以保證驅(qū)動(dòng)器的厚度（100μm），因此在電阻率計(jì)算中各樣品驅(qū)動(dòng)器的厚度可視為恒定值。因?yàn)閂型電熱驅(qū)動(dòng)器單臂長(zhǎng)度l達(dá)到1 500μm，所以其相對(duì)誤差要遠(yuǎn)小于寬度w的相對(duì)誤差。因此計(jì)算時(shí)可忽略長(zhǎng)度的尺寸誤差對(duì)電阻率的影響。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到各個(gè)樣品中的電阻率如圖5所示。

圖5 各個(gè)樣品的電阻率Fig.5 Resistivity of the samples

電阻率是材料固有屬性，因此實(shí)際與驅(qū)動(dòng)器尺寸無(wú)關(guān)，而在摻雜工藝中，離子注入濃度滿足：

其中：Q為注入離子束劑量，R為摻雜半徑。從該式可以看出：硅片不同區(qū)域的電阻率滿足正態(tài)分布。由于V型電熱驅(qū)動(dòng)器均勻分布在硅片上，因此驅(qū)動(dòng)器的電阻率應(yīng)具有正態(tài)分布特征。為進(jìn)一步建立混沌多項(xiàng)式展開(kāi)模型，這里假設(shè)V型驅(qū)動(dòng)器的寬度滿足正態(tài)分布。通過(guò)對(duì)所測(cè)量到的數(shù)據(jù)散點(diǎn)分別進(jìn)行擬合，得到寬度和電阻率所滿足的正態(tài)分布累計(jì)密度函數(shù)曲線，如圖6所示。從圖中可以看到：擬合得到的正態(tài)分布能較好地描述寬度和電阻率的誤差分布特征。表1給出了電熱驅(qū)動(dòng)器測(cè)量樣品寬度和電阻率的一階和二階統(tǒng)計(jì)矩（均值、方差）以及擬合得到的正態(tài)分布特征參數(shù)。

圖6 寬度和電阻率累積密度函數(shù)曲線Fig.6 Cumulative density function（CDF）curve of width and resistivity

表1 驅(qū)動(dòng)器寬度和電阻率的一、二階統(tǒng)計(jì)矩及擬合得到的正態(tài)分布參數(shù)Tab.1 First and second order statistical moment and pa?rameters of normal distribution by fitting of width and resistivity in the actuator

4 非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)

在微電熱驅(qū)動(dòng)器中，不僅涉及多物理場(chǎng)耦合而且存在特殊的熱損失形式，導(dǎo)致微電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度方程十分復(fù)雜，因此宜采用非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法對(duì)電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度進(jìn)行不確定性分析。基于非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法的V型微電熱驅(qū)動(dòng)器溫度分析流程如圖7所示。

圖7 基于非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法的驅(qū)動(dòng)器溫度不確定性分析流程Fig.7 Stochastic analysis of temperature on the actuator based on non-intrusive chaos expansion method

4.1 模型構(gòu)建

通過(guò)上述對(duì)V型驅(qū)動(dòng)器寬度和電阻率的測(cè)量分析，由于寬度和電阻率存在誤差，驅(qū)動(dòng)器溫度分布也相應(yīng)地存在不確定性。V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度存在于驅(qū)動(dòng)器的對(duì)稱中心處［18］?；诜乔秩胧交煦缍囗?xiàng)式展開(kāi)方法，建立該處溫度關(guān)于寬度和電阻率的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而可以分析V型電熱驅(qū)動(dòng)器溫度失效概率。由變換公式（2），變量寬度和電阻率轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

其中：ψ為變換前的變量，滿足正態(tài)分布N（μ，σ）；ζ為變換后的變量，滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。根據(jù)非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法，V型電熱驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱中心處的溫度函數(shù)可以展開(kāi)為二維多項(xiàng)式基函數(shù)的線性組合，即：

其中：aij為多項(xiàng)式的系數(shù)，p為混沌多項(xiàng)式展開(kāi)截?cái)嚯A數(shù)，系數(shù)aij的個(gè)數(shù)z：

H i（ζ）為根據(jù)變量ζ的特征分布得到的一維i階正交基函數(shù)，其正交性質(zhì)如下：

其中：<·>表示內(nèi)積，權(quán)重函數(shù)f（ζ）為變量ζ的概率密度函數(shù)：

δij為克羅內(nèi)克（Kronecker delta）函數(shù)。

在式（3）中，可將H i（ζ1）H j（ζ2）整體視為一個(gè)二維正交基函數(shù)，具有上述類似性質(zhì)：

此時(shí)，權(quán)重函數(shù)f（ζ1，ζ2）為變量ζ1和ζ2的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

由于ζ1，ζ2均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，根據(jù)Askey［19］方案，基函數(shù)H（ζ1）H（ζ2）均為一維Hermite正交基函數(shù)。以下是5階一維Herimite正交基函數(shù)：

4.2 系數(shù)求解

通過(guò)對(duì)上述建立的V型電熱驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱中心處的溫度混沌展開(kāi)模型的分析，系數(shù)aij為未知量。為對(duì)系數(shù)aij進(jìn)行求解，溫度展開(kāi)方程（3）左右兩端分別與各二維基函數(shù)進(jìn)行加權(quán)求內(nèi)積，得到：

根據(jù)式（8）二維正交基函數(shù)的性質(zhì)，式（11）經(jīng)化簡(jiǎn)得到：

其中：分母的內(nèi)積可直接積分得到，分子的內(nèi)積可通過(guò)高斯數(shù)值積分法計(jì)算得到，具體如下：

其中：q為高斯積分階數(shù)為q階高斯積分的第k個(gè)積分點(diǎn)的計(jì)算可先對(duì)積分點(diǎn)做式（2）的反變換得到對(duì)應(yīng)的電熱驅(qū)動(dòng)器寬度和電阻率值，然后進(jìn)行有限元仿真得到V型電熱驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱中心處的溫度；對(duì)應(yīng)為第k，m個(gè)積分點(diǎn)處的權(quán)重之積。表2［20］給出3，5階高斯積分的積分點(diǎn)和權(quán)重。

表2 3、5階高斯積分的積分點(diǎn)和權(quán)重Tab.2 Third and fifth order gauss integration point and weight

5 有限元仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于在混沌多項(xiàng)式系數(shù)求解中，需通過(guò)有限元仿真計(jì)算得到各積分點(diǎn)處的V型電熱驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱中心處的溫度。為保證非侵入式混沌多項(xiàng)展開(kāi)模型的精確性，需對(duì)有限元仿真模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。這里選用20號(hào)微電熱驅(qū)動(dòng)器樣品進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，具體參數(shù)如表3所示。根據(jù)20號(hào)微電熱驅(qū)動(dòng)器的參數(shù)，建立了相應(yīng)的有限元模型。不同電壓作用下，有限元計(jì)算位移和實(shí)驗(yàn)位移如圖8所示。從圖中可以看出：有限元模型位移計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。因此，該有限元模型能夠準(zhǔn)確對(duì)V型電熱驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行模擬，基于該有限元模型得到的溫度分布結(jié)果是可信的。

圖8 不同電壓作用下電熱驅(qū)動(dòng)器仿真與實(shí)驗(yàn)位移Fig.8 Displacement of the electro-thermal actuator by simulation and experiment under different voltages

表3 20號(hào)V型微電熱驅(qū)動(dòng)器樣品參數(shù)Tab.3 Parameters of the 20th sample of the V-shaped electro-thermal actuator

6 結(jié)果驗(yàn)證與分析

為對(duì)混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法得到的V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度的概率密度分布結(jié)果驗(yàn)證，首先抽取不同樣本數(shù)的微電熱驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行蒙特卡洛［21］模擬計(jì)算，其最高溫度的均值如表4所示。隨著抽樣數(shù)的增加，最高溫度的均值逐漸趨于收斂。從可信度和計(jì)算成本角度綜合考慮，1000次抽樣仿真的結(jié)果即可用于混沌多項(xiàng)式計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證。

表4 不同抽樣數(shù)下，V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度的均值Tab.4 Mean value of the highest temperature on the Vshaped electro-thermal actuator with different numbers of samples

圖10 18 V電壓作用下電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度概率密度分布Fig.10 Probability density distribution of the highest tem?perature on the electro-thermal actuator applied with 18 V

微電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度的混沌展開(kāi)多項(xiàng)式的階數(shù)分別取3階和5階。高斯積分的階數(shù)定為9階，即每個(gè)變量維度上有9個(gè)高斯積分點(diǎn)。又由于混沌多項(xiàng)式中存在兩個(gè)變量，因此共有81個(gè)積分點(diǎn)。在16 V，18 V加載電壓下，分別由3階、5階混沌多項(xiàng)式和蒙特卡洛法計(jì)算得到的該加工批次的V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度的概率密度分布如圖9~10所示。從圖中可以看出：分別由混沌多項(xiàng)式與蒙特卡洛法計(jì)算得到的最高溫度概率密度分布曲線幾乎完全重合，因此非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法可以準(zhǔn)確對(duì)存在工藝誤差的V型電熱驅(qū)動(dòng)器的最高溫度進(jìn)行不確定性量化。此外，使用蒙特卡洛法需進(jìn)行1000組仿真，而采用混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法只需對(duì)電熱驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行81組仿真。且隨著混沌多項(xiàng)式中變量的增加，使用蒙特卡洛法抽取的樣本數(shù)會(huì)呈指數(shù)型的增加，因此混沌多項(xiàng)式法有效地降低了計(jì)算成本。在16 V電壓作用下，該加工批次的V型電熱驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱中心處的溫度均值大約為1 600 K，溫度分布范圍大致在1 100～2 500 K；而18 V電壓作用下的溫度均值大約為2 000 K，溫度分布范圍大致在1 300～3 000 K。隨著電壓的增加，V型電熱驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱中心處的溫度均值不斷升高，溫度分布范圍也不斷增大。在16 V和18 V電壓作用下，5階混沌多項(xiàng)式的溫度概率密度曲線均要比3階混沌多項(xiàng)式的曲線更為接近由蒙特卡洛法得到的曲線。因此，隨著混沌多項(xiàng)式展開(kāi)階數(shù)的增加，V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度分布的計(jì)算結(jié)果更為精確。

圖9 16 V電壓作用下電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度概率密度分布Fig.9 Probability density distribution of the highest tem?perature on the electro-thermal actuator applied with 16 V

在16 V和18 V電壓作用下，V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度的累積密度曲線如圖11所示。從圖中可以看出：由于硅的熔點(diǎn)大約為1 700 K，因此在16 V電壓作用下，該加工批次的V型電熱驅(qū)動(dòng)器的失效概率大約為41.4%；而在18電壓作用下，該加工批次的V型電熱驅(qū)動(dòng)器的失效概率急劇增加達(dá)到了91.5%。不同電壓下，V型電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度失效概率如圖12所示。從圖中可以看出：隨著電壓增大，溫度失效概率逐漸增大；在16~17 V之間，V型電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度失效可能性急劇增加。

圖11 16 V，18 V電壓作用下，電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度累積密度分布Fig.11 Cumulative density distribution of the highest temperature on the electro-thermal actuator ap?plied with 16 V and 18 V

圖12 不同電壓作用下，V型電熱驅(qū)動(dòng)器溫度失效概率Fig.12 Failure probability of temperature of the Vshaped electro-thermal actuator with different voltages

7 結(jié) 論

本文對(duì)V型電熱驅(qū)動(dòng)器加工樣品的寬度和電阻率進(jìn)行了測(cè)量計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其偏差滿足正態(tài)分布。在ANSYS中建立的V型電熱驅(qū)動(dòng)器有限元模型的分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

基于非侵入式混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法，根據(jù)寬度和電阻率誤差分布，對(duì)V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度進(jìn)行不確定性量化分析，其分析結(jié)果與蒙特卡洛仿真結(jié)果一致，且結(jié)果精度與混沌多項(xiàng)式的精度有關(guān)。

通過(guò)對(duì)V型電熱驅(qū)動(dòng)器最高溫度累積概率密度分析，并結(jié)合硅的熔點(diǎn)溫度，可以得到：隨著加載電壓升高，驅(qū)動(dòng)器溫度失效概率也不斷增大。當(dāng)加載18 V電壓時(shí)，驅(qū)動(dòng)器的溫度失效概率達(dá)到了91.5%。