李 陽，武之劍，朱學(xué)斌，李浩鵬

（泰安航天特種車有限公司，山東泰安 271000）

0 引言

特種汽車一般采用主減速器和輪邊減速系統(tǒng)兩級減速來適應(yīng)低速、高扭等復(fù)雜工作環(huán)境下的使用要求。輪邊減速系統(tǒng)作為簧下組件，其受力環(huán)境更為復(fù)雜。

齒輪系統(tǒng)的模型根據(jù)研究內(nèi)容不同有多種分類，如動載系數(shù)模型、齒輪副扭轉(zhuǎn)振動模型、傳動系統(tǒng)模型和完整齒輪系統(tǒng)模型[1－4]。扭轉(zhuǎn)振動模型因其更簡易的計算方法，常被用于齒輪的傳動軸較大和軸承對齒輪支撐較大的齒輪進(jìn)行建模。本文以汽車輪邊減速系統(tǒng)齒輪為研究對象，建立單級齒輪動力學(xué)模型，基于Runge－Kutta法編程求解，分析單級齒輪的傳動力學(xué)特性，為復(fù)雜環(huán)境下特種汽車輪邊減速系統(tǒng)性能設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。

1 建立動力學(xué)模型

將圖1所示的輪邊減速系統(tǒng)齒輪副簡化為圖2所示的受力簡圖。其中r1、r2分別為主、從齒輪的基圓半徑；I1、I2分別為主、從動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；θ1、θ2分別為主、從動齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；T1、T2分別為作用在主、從動齒輪上的扭矩；k(τ)為時變嚙合剛度；Cg為齒輪副的嚙合阻尼；e(τ)為輪齒副的嚙合綜合誤差。

根據(jù)牛頓第二定律可以得到系統(tǒng)的運動微分方程組：

定義主、從動齒輪沿著嚙合線上位移的分別為x1、x2，則：

兩個嚙合齒輪的等效質(zhì)量表示成mi＝Ii/ri2。聯(lián)合式（1）、（2），進(jìn)一步簡化可得：

式中：mi為齒輪的當(dāng)量質(zhì)量，i＝1為主動齒輪，i＝2為從動齒輪；Fi＝Ti/ri為齒輪i上作用的嚙合力；κ(τ)為齒輪嚙合過程中的時變嚙合剛度；f(x)為齒側(cè)間隙函數(shù)[5]。

將齒輪系統(tǒng)的傳動誤差設(shè)為s，用相對位移表示為：

聯(lián)合式（1）、（4）簡化可得：

式中：齒輪副等效質(zhì)量m＝m1m2/(m1＋m2)；F(τ )為系統(tǒng)受到的激勵。

激勵函數(shù)如下：

齒輪的時變嚙合剛度k(τ)是隨時間變化的周期函數(shù)，表示為傅里葉級數(shù)[6]，取一階諧波分量，則時變嚙合剛度為：

式中：k0為齒輪嚙合過程中的平均嚙合剛度；ka為齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度波動幅值；φh為初相位。

齒輪剛度與綜合嚙合誤差初始相位之間的關(guān)系為：φh＝φe＋π，將式（6）、（7）代入式（5），得到系統(tǒng)微分方程：

選取如下無量綱參數(shù)：

則系統(tǒng)微分方程的無量綱化形式為：

x1、x2分別表示齒輪過程中傳動誤差[7]的無量綱位移和速度，可得齒輪傳動系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

2 基于Runge－Kutta法的動力學(xué)模型分析

基于Runge－Kutta法將齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)方程編程，在求解過程中運用ode－45函數(shù)將齒輪系統(tǒng)運動微分方程中的高階方程轉(zhuǎn)化為低階方程。令Fm＝0.1，F(xiàn)a＝0.2，ε＝0.1，wn＝1，同時取初始條件x1＝0、x2＝0。通過改變齒側(cè)間隙的值，得到系統(tǒng)在不同齒側(cè)間隙下的位移、速度圖像的分岔圖，通過分析比較，獲得齒輪在不同間隙下的動力學(xué)特性。

圖3所示為D＝1時系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分叉圖，從位移圖中可以看出隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)也會發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＜0.056時，系統(tǒng)運動狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運動，運動極不平穩(wěn)，振動、沖擊比較大；0.056＜ξ＜0.12時，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動、沖擊減小，系統(tǒng)相比較ξ＜0.056的運動較平穩(wěn)；ξ＝0.12時產(chǎn)生分岔，系統(tǒng)基本穩(wěn)定；ξ＝0.32時系統(tǒng)集中為1個岔，系統(tǒng)開始平穩(wěn)運行。

圖3 齒側(cè)間隙D＝1速度—阻尼比圖像

圖4 所示為D＝0.8時系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分岔圖。隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＝0.04時，系統(tǒng)運動狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運動，運動極不平穩(wěn)，振動、沖擊比較大；0.04＜ξ＜0.15時，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動、沖擊減小；ξ＝0.15時產(chǎn)生分岔；ξ＝0.33時系統(tǒng)集中為1個岔，系統(tǒng)開始平穩(wěn)運行。

圖4 齒側(cè)間隙D＝0.8時速度—阻尼比圖像

圖5 所示為D＝0.5時系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分岔圖，隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＜0.035時，系統(tǒng)運動狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運動，運動極不平穩(wěn)，振動、沖擊比較大；0.035＜ξ＜0.18時，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動、沖擊減??；當(dāng)ξ＝0.34時系統(tǒng)產(chǎn)生2個分岔，系統(tǒng)基本穩(wěn)定；ξ＝0.39時系統(tǒng)集中為1個岔，系統(tǒng)開始平穩(wěn)運行。

圖5 齒側(cè)間隙D＝0.5時速度—阻尼比圖像

圖6所示為D＝0.2時系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分岔圖，隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＜0.08時，系統(tǒng)運動狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運動，運動極不平穩(wěn)，振動、沖擊比較大；0.08＜ξ＜0.13時，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動、沖擊減??；ξ＝0.15時系統(tǒng)集中為1個岔，系統(tǒng)開始平穩(wěn)運行。

圖6 齒側(cè)間隙D＝0.2時速度—阻尼比圖像

再利用齒側(cè)間隙值為定值時，通過改變阻尼比的值來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)齒側(cè)間隙值為1時，改變阻尼比ξ的值得到系統(tǒng)的運動相圖如圖7所示。

圖7 不同阻尼比下齒輪運動相圖

圖中，當(dāng)齒側(cè)間隙為定值時，齒輪系統(tǒng)隨著阻尼比ξ的不斷增大，齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)也在不斷的改變，阻尼比很小時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的沖擊、振動極大，系統(tǒng)處于極不穩(wěn)定狀態(tài)。隨著阻尼比的增大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)逐漸減弱，振動、沖擊較小，系統(tǒng)逐漸趨于平穩(wěn)；當(dāng)系統(tǒng)的阻尼比增大到一定值時，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)基本消失，齒輪系統(tǒng)的運動和沖擊都較小，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的運動狀態(tài)。

綜上所述，當(dāng)齒輪的齒側(cè)間隙為定值時，齒輪系統(tǒng)在剛進(jìn)入嚙合時不穩(wěn)定，在某一個瞬間會達(dá)到非常不穩(wěn)定的狀態(tài)，隨著時間的推移在齒輪系統(tǒng)會在某一時刻處于穩(wěn)定運轉(zhuǎn)的狀態(tài)。當(dāng)齒輪系統(tǒng)的齒側(cè)間隙不斷增大時，齒輪系統(tǒng)的沖擊也會隨著齒側(cè)間隙的增大而變大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)也就越嚴(yán)重。

3 結(jié)束語

本文通過對特種汽車輪邊減速系統(tǒng)齒輪傳動力學(xué)特性分析得出以下結(jié)論。

（1）隨齒輪系統(tǒng)的齒側(cè)間隙不斷增大，齒輪系統(tǒng)的沖擊變大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)也就越嚴(yán)重；

（2）當(dāng)齒輪的齒側(cè)間隙為定值時，齒輪系統(tǒng)在剛進(jìn)入嚙合時不穩(wěn)定，在某一個瞬間會達(dá)到非常不穩(wěn)定的狀態(tài)，隨著時間的推移在齒輪系統(tǒng)會在某一時刻處于穩(wěn)定運轉(zhuǎn)的狀態(tài)；

（3）隨阻尼比的增大，系統(tǒng)逐漸趨于平穩(wěn)，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)基本消失，齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)趨于穩(wěn)定。