黎思廷，劉樹勇，楊理華

（1.海軍工程大學動力工程學院，武漢 430000；2.海軍潛艇學院，山東青島 266000）

0 引言

機械設備的振動與噪聲是機械設備的一項重要性能指標。振動噪聲控制在各種動力機械設備都有著廣泛的應用。其中主動控制有著優(yōu)良的靈活性，在低頻的振動噪聲控制上具有較好的效果[1]。

算法的魯棒性和收斂性研究是主動控制研究的一項重要工作?，F(xiàn)在最常用的算法是基于自適應濾波的LMS算法和RLS算法[2]。其中RLS算法因具有較好的收斂速度而受到關(guān)注，但其計算復雜度較高。對此，國內(nèi)外很多學者在RLS算法的優(yōu)化方面做了大量研究。Cioffi[3]提出了基于FTF的快速算法，該算法可以有效減少算法復雜度，但降低了計算復雜度的同時，也使穩(wěn)定性變差；Slock[4－5]對該算法進行了改進，通過反饋參數(shù)對非穩(wěn)定量進行修正，增加其穩(wěn)定性；Boudreau[6]考慮了時延和未知系統(tǒng)的參數(shù)，使其加權(quán)平方誤差達到了最?。魂惪税瞇7]提出了一種IRLS算法，其在時延范圍內(nèi)不進行收斂，可以在這段時間內(nèi)減輕一定的計算量；寧少武[8]提出了格型聯(lián)合估計濾波器結(jié)構(gòu)與基于QR分解的最小二乘格型（QRD－LSL）自適應濾波算法相結(jié)合的噪聲控制方法，可以有效提高收斂速度并減小計算量；宮赤坤[9]利用濾波－U卡爾曼算法來進行控制，有效提高了控制性能；羅順安[10]利用ADAMS建立齒輪箱虛擬樣機模型并利用FXRLS算法進行了聯(lián)合仿真，取得了較好的效果?；贔TF的快速穩(wěn)定算法具有最小的計算量，且與經(jīng)典RLS算法的性能相差不大，是最主流的快速算法之一。

為了進一步減少RLS算法的計算量，本文首先對該算法的計算復雜度進行了優(yōu)化，然后通過變遺忘因子的方法對該算法進行了分析。通過仿真驗證，改進過的算法在對于旋轉(zhuǎn)機械設備產(chǎn)生的周期性振動噪聲方面有著較好的控制效果。

1 RLS算法分析

相對于LMS算法而言，RLS算法的收斂速度更快[11]。經(jīng)典RLS算法的過程如下。

輸入向量x(n)，期望向量d(n)，初始權(quán)值w(n)，以及參考定義矩陣p(n)，其代價函數(shù)為：

令：

式中：λ為遺忘因子（0＜λ＜1）。

更新參考矩陣：

將RLS算法應用到主動控制技術(shù)中，如圖1所示，即FXRLS算法。研究表明，在收斂速度等方面，F(xiàn)XRLS算法性能優(yōu)于FXLMS算法，但其算法計算量比較大。當采用長度為L的橫向濾波器，F(xiàn)XRLS算法的計算量比FX?LMS算法多（3L2＋L）次。

圖1 FXRLS算法結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of FXRLS algorithm

2 快速RLS算法

雖然RLS算法在收斂速度等方面強于LMS算法，但在計算量方面相對較大。為了克服這一缺點，可以采用快速RLS算法來進行改進?？焖賀LS算法主要為格型算法[12]和FTF（快速橫向濾波器）算法[12]。

本文利用前向和后向預測來減少RLS算法的計算量，從而得到FTRLS算法。其原理如圖2所示，為增加其穩(wěn)定性，引入求助變量這一反饋機制，得到SFTRLS算法。

圖2 FTRLS算法框圖Fig.2 FTRLS algorithm block diagram

快速RLS算法的過程如下。

（1）定義參數(shù)

輸入向量xN(n)，期望輸出d(n)，權(quán)向量wN(n)，增益向量kN(n)，性能參數(shù)aN(n)、gN(n)，最小二乘和的初始值。

（2）前向預測

先驗估計誤差：

后驗估計誤差：

最小二乘和：

轉(zhuǎn)換因子：

增益向量為：

（3）后向預測

先驗誤差估計：

求助變量：

轉(zhuǎn)換因子：

后驗誤差估計：

最小二乘和：

增益的計算：

迭代：

（4）聯(lián)合估計過程

前向預測誤差信號：

后向預測誤差信號：

權(quán)值更新：

其中，求助變量在一定程度上增強了算法的穩(wěn)定性。

將快速RLS算法與經(jīng)典RLS算法進行對比仿真。如圖3所示，從圖中可看出，其收斂性能并沒有非常明顯的變化。計算復雜度從L2量級下降到了L量級，顯著減少了其計算量。

圖3 快速RLS算法與經(jīng)典RLS算法的比較Fig.3 Comparison of fast RLS algorithm and classic RLS algorithm

3 快速RLS算法遺忘因子選取

遺忘因子是RLS算法的一項重要參數(shù)，主要用于增加新數(shù)據(jù)的權(quán)重，以增強對非平穩(wěn)信號的適應性，標志著該算法具有對輸入過程特性變化的快速反應能力。如圖4所示，當λ較小時，收斂速度較快，但其對噪聲信號敏感，穩(wěn)態(tài)誤差較大并且算法穩(wěn)定性相對較弱。為解決收斂速度和穩(wěn)定性的矛盾，可以引入變遺忘因子。在初始階段或者系統(tǒng)發(fā)生突變時，即誤差較大時，λ值相應地變小，以獲得較快的收斂速度和跟蹤速度；而在系統(tǒng)進入平穩(wěn)狀態(tài)后，即誤差較小時，λ值相應地增大，以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖4 遺忘因子對RLS算法的影響Fig.4 The influence of forgetting factor on RLS algorithm

根據(jù)大量的仿真實驗結(jié)果可得出，快速RLS算法遺忘因子的取值范圍為：

在這個范圍之內(nèi)才能保證算法的穩(wěn)定性，N為濾波器階數(shù)。當取值如其為最優(yōu)數(shù)值特性。

如圖5所示，取N為4，當λ＝0.92時，其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都相對較好。

圖5 遺忘因子最優(yōu)解Fig.5 Forgetting factor optimal solution

4 仿真分析

對改進的算法進行仿真驗證。采用正弦信號和白噪聲疊加的方式來模擬激勵信號，研究振動控制后系統(tǒng)的響應。設置濾波器階數(shù)N＝17，長度L＝2 000，設置采樣頻率為10 000 Hz。

正弦輸入信號為：

白噪聲信號為高斯白噪聲。

分別采用FXLMS算法和優(yōu)化后的快速RLS算法進行對比仿真。兩種算法在時域下的仿真圖形分別如圖6～7所示。由圖可知，F(xiàn)XLMS算法約在迭代次數(shù)為1 400次時實現(xiàn)收斂，而優(yōu)化后的RLS算法約在迭代次數(shù)為300時實現(xiàn)收斂。仿真結(jié)果證明，優(yōu)化后的快速RLS算法有著更好的收斂性能。

圖6 FXLMS算法在時域下的仿真圖形Fig.6 Simulation graph of FXLMS algorithm in time domain

圖7 改進RLS算法在時域下的仿真圖形Fig.7 Improved simulation graphics of RLS algorithm in time domain

對圖6～7利用FFT進行頻域分析，得到兩種算法在頻域下的仿真圖形，如圖8～9所示。從圖中看出，F(xiàn)XLMS算法在頻率為30 Hz時，幅值降低了0.87，即1.21 dB；在頻率為60 Hz時，幅值降低了0.42，即7.54 dB；在頻率為90 Hz時，幅值降低了0.15，即16.48 dB。優(yōu)化后的RLS算法，在頻率為30 Hz時，幅值降低了0.91，即0.82 dB；在頻率為60 Hz時，幅值降低了0.48，即6.38 dB；在頻率為90 Hz時，幅值降低了0.18，即14.89 dB。即該算法相對而言性能更加良好，有著更好的控制效果，從而為振動主動控制的實際應用提供了有效參考。

圖8 FXLMS算法在頻域下的仿真圖形Fig.8 Simulation graph of FXLMS algorithm in frequency domain

圖9 改進RLS算法在頻域下的仿真圖形Fig.9 Improved RLS algorithm simulation graphics in the frequency domain

5 結(jié)束語

本文針對RLS算法計算量大的缺點，利用橫向濾波器對RLS算法進行了改進。通過向前和向后預測推導了FTRLS算法，減少了傳統(tǒng)RLS算法的計算量，使運算量從O（L2）級下降到O（L）級，并通過求助變量增強了計算的穩(wěn)定性。仿真研究表明該方法有較好的控制效果。