甘肅 張建文

(作者單位：甘肅省岷縣第一中學)

由于信息技術的迅猛發(fā)展,教師授課方式在逐漸發(fā)生變化，以幾何畫板為主要媒介的圖形教學和解題教學的形式也隨之發(fā)生變化.本文主要研究論述了幾何畫板的主要作用和使用原則，以及在解題教學中如何借助幾何畫板輔助學生作圖分析.以案例的形式和師生互動的方式展現(xiàn)幾何畫板以及圖形分析的特點，在培養(yǎng)學生直觀想象核心素養(yǎng)方面有很大的促進作用.同時在極力推單元教學的浪潮下，運用多媒體創(chuàng)新教學方式已經(jīng)成為教學研究的主要領域.下面筆者就以核心素養(yǎng)主題下借助幾何畫板進行教學探究進行簡單論述.

一、幾何畫板的作用

幾何畫板作為一種技術手段，能夠多角度的輔助教學，提高教學效果,對課堂教學產(chǎn)生了深遠影響.幾何畫板在教學中的重要作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.幫助教師進行教學設計.課堂教學應遵循知識的發(fā)生發(fā)展過程和學生的認知規(guī)律,在有關圖形教學的時候,教師可以借助幾何畫板直觀展現(xiàn)圖形的幾何特征，分析點線面之間的位置關系和動態(tài)變化規(guī)律.幾何畫板作為課堂技術支持手段,能夠解決教師作圖慢效果差的困境,提高教師的課堂駕馭能力，助力教師教學水平的提升.

2.驗證作圖結果，幫助學生培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).直觀想象素養(yǎng)是六大核心素養(yǎng)之一,主要通過學生描述和繪制圖形進行培養(yǎng)的.在課堂教學中,學生可以直觀觀察標準圖形的特點,糾正自己的思考錯誤,通過教師的引導，形成科學有效的思考方法.同時在解題教學中,可以借助幾何畫板來驗證自己作圖的正確性,糾正自己錯誤的作圖方式，提高作圖的效率.

3.優(yōu)化教學策略.基于核心素養(yǎng)的教學設計更注重教學情境的設計,幾何畫板能夠提供不同形式的教學情景,由單一轉(zhuǎn)向多樣,使得學生在思考中觀察,觀察中思考,切實優(yōu)化教學策略.教學有法,教無定法,貴在得法,教師要結合具體學情，借助幾何畫板可以設計多樣化的教學過程,主要在立體幾何、函數(shù)圖象和解析幾何等知識模塊中有較好的應用.

二、幾何畫板的使用原則

幾何畫板在高中數(shù)學作圖教學和解題教學中具有強大的作用，我們在培養(yǎng)學生直觀想象核心素養(yǎng)的時候一定要創(chuàng)造性的應用幾何畫板.注意在使用幾何畫板的過程中應該遵循以下基本原則：

1.適應性原則.高中數(shù)學教學內(nèi)容設計包含多個不同的模塊,在處理不同學習模塊的教學內(nèi)容時，用到的教學手段也不盡相同.在涉及圖形教學或動態(tài)演示的教學內(nèi)容時，可以嘗試幾何畫板,直觀形象地展現(xiàn)知識的生成過程和變量之間的變換關系,這能極大的激發(fā)學生的學習興趣.

2.主次性原則.先進教學技術的應用旨在提高學生的數(shù)學能力,幾何畫板作為教學輔助手段,是配合教師來促進學生思維發(fā)展的重要工具.一般地,學生先要經(jīng)歷獨立的思考過程，對圖形的生成過程和動態(tài)變化在大腦中有一定的預演,但是存在一定的不解和迷惑,這時幾何畫板通過直觀展示圖形的變化過程和動態(tài)特點就可以達到事半功倍的效果.這個教學先后順序若顛倒就會極大地抑制學生的思維發(fā)展,不利于教育教學效果的提高.

3.適量性原則.對于幾何畫板在教學中的應用要遵循適量性原則,適量就是要控制幾何畫板的使用頻率.一堂課的容量應該體現(xiàn)在學生的思維量上面,換言之就是應用信息技術手段都是為了促進學生的思維發(fā)展.根據(jù)教學內(nèi)容的自身特點思考是否使用幾何畫板、怎樣使用幾何畫板以及幾何畫板在一堂課教學中的比例問題等.適量的圖形演示可以快速解決學生的思維困惑，提高學習的趣味性.

4.適時性原則.教學不是簡單機械的知識灌輸,而是思想和思想的碰撞.古代教育思想家孔子說“不憤不啟，不悱不發(fā)”就體現(xiàn)了教學的適時性原則.在學生經(jīng)歷了獨自思考后進行圖形演示，在學生能夠基本厘清變量間的變化過程后展示動態(tài)圖形,這樣在恰到好處的時間點應用幾何畫板更能夠提高課堂教學效率,不至于使得教學過程過于單調(diào)，以促進學生積極思考.

三、幾何畫板的應用

幾何畫板作為信息技術融入教學的典型代表,在不同知識模塊當中具有不同的表現(xiàn)，下面就分類體現(xiàn)幾何畫板對教學的輔助作用.

1.函數(shù)中的參數(shù)問題

在解題教學中,對于函數(shù)零點問題或是函數(shù)中參數(shù)求解問題,通常需要繪制函數(shù)圖象來進行思路分析.一般地，繪制函數(shù)圖象都是通過對函數(shù)性質(zhì)的分析來進行的,但這樣繪制的函數(shù)圖象通常在圖象的走勢和特殊點處有誤差,此時通過幾何畫板準確繪制函數(shù)圖象,用以糾正作圖誤差，輔導學生進行理性思考.

例1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex.

(1)若關于x的方程f(x)=λx只有一個根，求實數(shù)λ的取值范圍；

(2)若x=0是函數(shù)g(x)=2f(x)-ax2的極大值點，求實數(shù)a的取值范圍.

教學案例分析(師生互動過程)：

師：直線x=0有何特點？如何作出函數(shù)h(x)的圖象？

生：可知直線x=0為函數(shù)h(x)的一條漸近線，而且有：

當x→+∞時，h(x)→+∞；當x→0+時，h(x)→-∞；

當x→-∞時，h(x)→0；當x→0-時，h(x)→+∞.

由此可以得到函數(shù)h(x)的草圖如圖.

師：現(xiàn)在我們利用幾何畫板作圖檢驗:

觀察比較自己的手工草圖與標準圖象之間有何差異？

生：雖然單調(diào)性一致，但是自己作圖的規(guī)范性和準確性還是有一定的偏差.

師：現(xiàn)在利用幾何畫板動態(tài)演示兩圖象的交點情況：

h(x)與y=λ圖象有兩個交點

h(x)與y=λ圖象只有一個交點

生：由此可知λ的取值范圍是(-∞,0].

師：第二問g(x)=2(x-1)ex-ax2,g′(x)=2xex-2ax=2x(ex-a).

由于x=0是g(x)的極大值點,所以x=0是g′(x)的零點，且y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后負.如何理解“y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后負”？

生：函數(shù)y=g′(x)在x=0附近單調(diào)遞減，而且g′(0)=0.

研究函數(shù)g′(x)=2x(ex-a)的簡圖，可以確定y=g′(x)在x=0處取值的正負情況.

①當a≤0時，ex-a>0,y=g′(x)的取值正負與y=x完全一致,如圖：

可知x=0不滿足題意.

②當a>0時，令g′(x)=0，得x=0或x=lna.g′(x)=2x(ex-a)的取值正負y=x(x-lna)完全一致.作y=x(x-lna)的圖象：

通過觀察圖象，可知a的取值范圍是(1,+∞).

師：非常好！我們可以利用幾何畫板作出函數(shù)g′(x)的準確圖象，比較分析與自己所作簡圖的異同.

生：雖然自己作圖太粗糙，但也能說明問題.

思考與總結：此例題是師生互動的真實過程,題目的解答依賴于學生直觀想象思維,需要學生自己形成解答思路,但作圖時可能會有所偏差，所以教師可以通過幾何畫板進行模擬演示,糾正學生作圖時的誤差,提高學生的直觀想象能力.同時化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用處處都在,值得一提的是,將導函數(shù)的簡圖轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進行手工作圖,既保證了題意不變又簡化了求解過程.

例2.函數(shù)f(x)=ex|ex-2|+2,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n](m

( )

分析：根據(jù)題意,需要借助于函數(shù)f(x)的圖象來進行分析.由于解析式中含有絕對值符號,可以考慮寫成分段函數(shù)進行研究.

生：分段判定函數(shù)的單調(diào)性,再分段畫圖,最后整體分析，關鍵是作出比較準確的圖象.

①當x≥ln2時,f(x)=e2x-2ex+2,

所以f′(x)=2e2x-2ex=2ex(ex-1)>0，

故f(x)在[ln2,+∞)上單調(diào)遞增,且f(ln2)=2.

②當x

所以f′(x)=-2e2x+2ex=2ex(-ex+1)，

故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,ln2)上單調(diào)遞減,

且f(0)=3,f(ln2)=2.

根據(jù)單調(diào)性作簡圖如圖：

師：此圖正確嗎？能否據(jù)此獲得m,n的取值范圍？

生：假設此圖正確,還需要解兩個方程.

①當x

當x

師：函數(shù)f(x)的圖象該如何調(diào)整？

生：可以從函數(shù)值的變化規(guī)律上尋找突破口,考慮極限問題.當x→-∞時,f(x)→2,故函數(shù)簡圖可以調(diào)整為如圖：

師：我們可以利用幾何畫板來驗證作圖的正確性.

生：雖然我們自己作出的圖象和準確圖象有一定的差距,但是也能夠說明圖象趨勢.

師：如何理解“f(x)在[m,n]上的取值范圍是[2,3]”？

思考與總結：此題解答的基礎是準確地作出函數(shù)圖象的簡圖.作圖過程能夠訓練學生大腦繪圖,培養(yǎng)學生直觀想象的素養(yǎng),作圖的嚴謹性體現(xiàn)出學生理性思維的嚴謹性.幾何畫板作為現(xiàn)代信息技術教學工具,合理利用幾何畫板能夠提高課堂教學效果,但是不能代替學生進行獨立思考.

2.動態(tài)變化中的最值問題

現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1,P2,P3,P4四點重合為一點P,從而得到一個多面體.下面關于該多面體的命題,正確的是________，(寫出所有正確命題的序號)

①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.

分析：在折疊問題中，需要先根據(jù)圖形變化繪制出幾何體的直觀圖，在折疊過程中要明確哪些幾何元素之間的關系發(fā)生變化，哪些幾何元素之間的關系沒有發(fā)生變化，由此確定該幾何體當中幾何元素的關系，進而進行推理得到新的結論.

師：折疊過程中哪些幾何元素之間的關系發(fā)生了變化？

生：P1,P2,P3,P4的位置發(fā)生變化，且與邊AC的相對位置發(fā)生變化,構成新的三角形PAC.

師：哪些幾何元素之間的關系沒有發(fā)生變化？

生：四個角∠AP1B,∠BP2C,∠CP3D,∠AP4D的大小沒有變,△ABC,△ADC沒有變化.

師：該多面體有哪些新的性質(zhì)或特點？

又由于PD⊥PC,PD⊥PA,所以PD⊥平面PAC.同理得PB⊥平面PAC.

師：你能描述一下圖形的形狀嗎？你能作出它的簡圖嗎？

生：該多面體可以這樣構成：由Rt△PAC出發(fā),過直角頂點P作垂線PB⊥平面PAC,在此垂線上有點D滿足PD=PB.據(jù)此可以構造該幾何體的簡圖.

師：我們一起來體會圖形的折疊過程,驗證自己的分析是否正確.

幾何畫板演示圖形的折疊過程：

圖形折疊過程具體為：圖①→圖②→圖③.為了使得原多面體看起來更加直觀,可以將該多面體適當旋轉(zhuǎn)得到圖④和圖⑤.你能說說該幾何體的特征嗎？

圖①

圖②

圖③

圖④

圖⑤

圖⑥

師：如何求解該三棱錐的外接球半徑？

生：由于該三棱錐的對棱對應相等,所以可以將該三棱錐放置在長方體當中,使得長方體的外接球就是該三棱錐的外接球.如圖：

思考與總結:折疊問題的關鍵是要思考清楚圖形的變化過程,以及折疊過程中哪些幾何元素發(fā)生變化,哪些幾何元素沒有發(fā)生變化,同時要確定折疊后點線面之間的相互關系.幾何畫板在折疊問題教學中可以很好地輔助學生思考,幫助學生厘清幾何元素之間的關系,但需要提醒的是幾何畫板使用的時間節(jié)點,盡量在學生經(jīng)歷獨立思考之后再由教師展示圖形的折疊過程.

四、總結與展望

運用多媒體優(yōu)化解題教學，需要授課教師能夠熟練運用幾何畫板，能夠準確快速地繪制常用函數(shù)的圖象和常用幾何模型，能夠合理恰當?shù)氖崂斫獯鹆鞒?，結合學生學習知識的最近發(fā)展區(qū)和知識發(fā)生發(fā)展過程，創(chuàng)造性地引導學生進行思考.當然借助于幾何畫板進行解題教學只是常規(guī)教學的一部分，也有一定的局限，比如耗時多，過多使用可能會有一定的依賴性等，正因如此，我們才要深入思考教學的各個方面，創(chuàng)造性地進行教學設計.