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        基于LU分解的阻尼譜修正迭代法在病態(tài)線性方程組中的應(yīng)用

        2021-07-12 03:42:03莫春鵬覃柏英

        莫春鵬 覃柏英

        摘? 要:基于阻尼譜修正迭代法,結(jié)合矩陣LU分解和新數(shù)值迭代方式,提出了基于矩陣LU分解的阻尼譜修正迭代法,將其應(yīng)用于病態(tài)線性方程組的求解.采用經(jīng)典算例,探討矩陣LU分解和新數(shù)值迭代方式對(duì)阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的性能影響.結(jié)果表明,矩陣LU分解和新數(shù)值迭代方式都可提高阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的精度,且提出的算法可提高高維病態(tài)線性方程組求解的精度.

        關(guān)鍵詞:LU分解;譜修正迭代法;病態(tài)矩陣;線性方程組

        中圖分類號(hào):O151.2;O241.6? ? ? ? ? ? ?DOI:10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.019

        0? ? 引言

        線性方程組是一類常見的數(shù)學(xué)模型,科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中的許多實(shí)際問(wèn)題都可將其轉(zhuǎn)化為該模型[1-2].若系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大,則該矩陣是病態(tài)的,對(duì)應(yīng)的線性方程組常稱病態(tài)線性方程組.對(duì)于病態(tài)線性方程組的求解,傳統(tǒng)算法常難以保證所求數(shù)值解的精度[3-5].因此,研究病態(tài)線性方程組的求解,以提高求解的準(zhǔn)確性和數(shù)值計(jì)算的效率,具有重要的意義和價(jià)值.

        目前,研究者提出了多種數(shù)值算法求解病態(tài)線性方程組[6-15].王新洲等[14]提出了譜修正迭代法.該算法借助系數(shù)矩陣病態(tài)性的改善,使病態(tài)線性方程組求解的準(zhǔn)確性得以提高,但該算法的數(shù)值計(jì)算效率較低.由此,鄧興升等[16]提出了阻尼譜修正迭代法.該算法雖可提高數(shù)值計(jì)算的效率,但能否收斂至病態(tài)線性方程組的真解,與逆矩陣求解和數(shù)值迭代等方式有極大關(guān)系.

        因此,本文改進(jìn)阻尼譜修正迭代法的數(shù)值迭代方式,并采用LU分解避免直接求解矩陣的逆矩陣,提出基于矩陣LU分解的新阻尼譜修正迭代法.采用4個(gè)經(jīng)典算例,探討該算法求解病態(tài)線性方程組的準(zhǔn)確性和效率.

        1? ? 阻尼譜修正迭代法

        將病態(tài)線性方程組表示為:

        [AX=b]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)

        已知[m×n]實(shí)系數(shù)矩陣[A]和[m×1]實(shí)常數(shù)項(xiàng)[b].需求解該方程組的[n×1]解向量[X].

        為了將系數(shù)矩陣統(tǒng)一為實(shí)對(duì)稱矩陣,可將上述方程組轉(zhuǎn)化為如下線性方程組:

        [ATAX=ATb]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)

        設(shè)[B=ATA]和[H=ATb],則[B]為[n×n]的實(shí)對(duì)稱矩陣,[H]為[n×1]的實(shí)列向量,從而

        [BX=H]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)

        若采用最小二乘法(LSM)求解可獲得上述線性方程組的最小二乘解[X=B-1H].

        為改善線性系數(shù)矩陣[B]的病態(tài)性,適當(dāng)選擇一個(gè)阻尼因子[α>0],通過(guò)添加[αX],可將線性方程組(3)轉(zhuǎn)化為:

        [(B+αI)X=H+αX]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)

        其中[I]為n階單位矩陣.

        該線性方程組可采用如下迭代法數(shù)值求解而獲得線性方程組(1)和式(3)的解向量[X]:

        [(B+αI)X(k)=H+αX(k-1)]? ? ? ? ? ? ? (5)

        在實(shí)際應(yīng)用中,式(5)的迭代法常需轉(zhuǎn)化為如下的迭代算法求解:

        [X(k)=(B+αI)-1H+αX(k-1)]? ? ? ? ? ? (6)

        該算法稱為阻尼譜修正迭代法(DCCV).

        對(duì)式(6)也可構(gòu)造如下改進(jìn)迭代算法數(shù)值求解而獲得線性方程組(1)和式(3)的解向量[X]:

        [R(k)=H-BX(k)D(k)=(B+αI)-1R(k)X(k+1)=X(k)+D(k)]? ? ? ? ? ? ? ?(7)

        其中:[R]為誤差矩陣,[D]為對(duì)角矩陣.該算法稱為改進(jìn)阻尼譜修正迭代法(IDCCV).

        2? ? 基于LU分解的阻尼譜修正迭代法

        由于數(shù)值計(jì)算存在的舍入誤差,矩陣的求逆常給病態(tài)線性方程組的準(zhǔn)確求解帶來(lái)較大影響.因此,為了避免式(6)和式(7)中對(duì)矩陣[B]+[αI]的直接求逆,可對(duì)其進(jìn)行LU分解產(chǎn)生一個(gè)下三角形矩陣[L]和一個(gè)上三角形矩陣[U]以及一個(gè)置換矩陣[P],使之滿足[LU=P(B+αI)].

        對(duì)于DCCV,由式(5),設(shè)[Y=UX(k)].有

        [LUX(k)=PH+αPX(k-1)]

        [LY=PH+αPX(k-1)=W]

        其中[W]為結(jié)果矩陣.

        由于[L]為下三角形矩陣,即[L]可逆,有[Y=L-1W].利用中間解[Y],由[UX(k)=Y],且[U]為上三角形矩陣,即[U]可逆,有[X(k)=U-1Y].

        因[Li, i=1,Y1=W1]以及[X(k)n=Yn/Un, n],因此,中間解[Y]和解[X(k)]可根據(jù)如下遞推式分別求出[Yi(i=2, …, n)]和[X(k)i(i=n-1, …, 1)]:

        [Yi=Wi-j=1i-1Li, jYj]

        [X(k)i=Yi/Ui, i-j=i+1nUi, jX(k)j/Ui, i]

        該求解線性方程組(1)和式(3)的算法,稱為基于LU分解的阻尼譜修正迭代法(LUDCCV).

        對(duì)于IDCCV,由式(7),設(shè)[Z=UD(k)],有

        [LUD(k)=PR(k),LZ=PR(k)=V]

        由于[L]為下三角形矩陣,即[L]可逆.從而[Z=L-1V],[V]為列向量.利用中間解[Z],由[UD(k)=Z],且[U]為上三角形矩陣,即[U]可逆,從而[D(k)=U-1Z].

        因[Li, i=1],[Z1=V1]以及[D(k)n=Zn/Un, n],因此,中間解[Z]和解[D(k)]可根據(jù)如下遞推式分別求出[Zi(i=2, …, n)]和[D(k)i(i=n-1, …, 1)]:

        [Zi=Vi-j=1i-1Li, jZj]

        [D(k)i=Zi/Ui, i-j=i+1nUi, jD(k)j/Ui, i]

        該求解線性方程組(1)和式(3)的算法,稱為基于LU分解的改進(jìn)阻尼譜修正迭代法(LUIDCCV).

        3? ? 經(jīng)典算例

        算例1? 給定線性方程組(1)如下的系數(shù)矩陣[A19×4]和常數(shù)項(xiàng)[b19×1]:

        此時(shí)[X=[0.2, 1.5, 1.6, -2.8]T]為相應(yīng)線性方程組(1)的真解.由于矩陣[A]非對(duì)稱,將其轉(zhuǎn)化,取[B=ATA],則其條件數(shù)為1.610 1E9.因此.相應(yīng)線性方程組(3)為病態(tài)線性方程組.

        算例2 給定如下的系數(shù)矩陣[A18×7]和常數(shù)? ? ?項(xiàng)[b18×1].

        此時(shí)[X=[0.2, 2.0, 1.5, -1.6, 4.8, 3.4, -2.1]T]為相應(yīng)線性方程組(1)的真解.由于矩陣[A]非對(duì)稱,將其轉(zhuǎn)化而取[B=ATA],則其條件數(shù)為2.996 7E5.因此,相應(yīng)線性方程組(3)為病態(tài)線性方程組.

        算例3 給定系數(shù)矩陣[A]和常數(shù)項(xiàng)[b]:

        [A=(ai, j)n×n,ai, j=1, i≠j, 1+p2, i=j.]

        [b=[b1, b2, …, bn]T,bi=j=1nai, j]

        其中:[i, j=1, 2 , …, n],此時(shí)[X=[1, 1, …, 1]T]為相應(yīng)線性方程組(1)的真解.由于[A]對(duì)稱,不需轉(zhuǎn)化而直接取[B=A].當(dāng)[n=10]和[p=5.0×10-3]時(shí),矩陣[A]的條件數(shù)為4.000 0E7,因此,相應(yīng)線性方程組(1)為病態(tài)線性方程組.

        算例4 給定系數(shù)矩陣[A]和常數(shù)項(xiàng)[b]:

        [A=(ai, j)n×n,ai, j=1/(i+j-1)]

        [b=[b1, b2, …, bn]T,bi=j=1njai, j]

        其中:[i, j=1, 2 , …, n],此時(shí)[X=[1, 2, …, n]T]為相應(yīng)線性方程組(1)的真解.由于[A]對(duì)稱,不需轉(zhuǎn)化而直接取[B=A].當(dāng)[n=8]時(shí),矩陣[A]的條件數(shù)為? 1.525 8E10,因此,相應(yīng)線性方程組(1)為病態(tài)線性方程組.

        4? ? 算法的性能分析

        利用算法LSM、DCCV、IDCCV、LUDCCV和LUIDCCV求解病態(tài)線性方程組(1)的數(shù)值解為[X],可計(jì)算[Eb=AX]和[Ex=X-X],從而可定義為絕對(duì)誤差的殘差[Eb=║Eb║2]以評(píng)價(jià)數(shù)值解[X]對(duì)方程組(1)的滿足程度,以及可定義為均方誤差的殘差

        [Ex=║Ex║22/n]和相對(duì)誤差的殘差[E∞=║Ex║∞/X∞]以評(píng)價(jià)數(shù)值解[X]偏離真實(shí)解[X]的程度.因此,利用殘差[Eb、Ex、][E∞]可評(píng)價(jià)上述5種算法數(shù)值求解病態(tài)線性方程組的準(zhǔn)確性,以及比較與分析上述5種算法數(shù)值求解病態(tài)線性方程組的性能.

        現(xiàn)采用5種算法LSM、DCCV、IDCCV、LUDCCV和LUIDCCV分別數(shù)值求解上述4個(gè)算例,結(jié)果分別如表1—表4所示.其中[α]的值在4個(gè)算例中分別為[0.280、0.089、4.000×10-14]和[5.000×10-12],算法的迭代次數(shù)用F表示.

        由表1—表4可知,5種算法都可實(shí)現(xiàn)上述4個(gè)算例的病態(tài)線性方程組較高精度求解,且LUIDCCV、IDCCV、LUDCCV和DCCV都優(yōu)于LSM.同時(shí),LUDCCV和LUIDCCV分別優(yōu)于DCCV和IDCCV.這說(shuō)明當(dāng)線性方程組病態(tài)時(shí),采用LU分解避免系數(shù)矩陣直接求逆的LUDCCV和LUIDCCV優(yōu)于系數(shù)矩陣直接求逆的DCCV和IDCCV,因此,LU分解可減弱矩陣求逆數(shù)值計(jì)算過(guò)程中舍入誤差存在的影響,從而提高算法求解病態(tài)線性方程組數(shù)值解的精度.IDCCV和LUIDCCV分別優(yōu)于DCCV和LUDCCV,這也說(shuō)明采用新數(shù)值迭代方式,也可提高算法求解病態(tài)線性方程組數(shù)值解的精度.因此,迭代算法LUIDCCV相比他4種迭代算法最優(yōu),可明顯提高阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組數(shù)值解的精度,使所求數(shù)值解[X]更高程度滿足線性方程組(1)和接近線性方程組(1)的真實(shí)解[X].

        5? ? 高維問(wèn)題中的應(yīng)用

        為了更充分說(shuō)明LUDCCV求解病態(tài)線性方程組的性能,現(xiàn)將其應(yīng)用于高維問(wèn)題,即將LUDCCV應(yīng)用于算例3和算例4的高維病態(tài)線性方程組的求解.

        對(duì)于算例3的病態(tài)線性方程組,分別取其維數(shù)[n=100、200、500、1 000、2 000、3 000、4 000],參數(shù)[p]取[5.0×10-6]時(shí),矩陣[A]的條件數(shù)[κ]分別如? 表5所示,阻尼因子[α] 取1.000.采用LUIDCCV分別求解,殘差[Eb、Ex、E∞]的值分別如表5所示.

        對(duì)于算例4的病態(tài)線性方程組,分別取其維數(shù)[n=100、200、500、1 000、2 000、3 000、4 000],矩陣A的條件數(shù)[κ]分別如表6所示,阻尼因子[α]取[5.000×10-12],殘差[Eb、Ex、E∞]的值分別如表6所示.

        由表5可知,對(duì)于高維弱病態(tài)的線性方程組,LUDCCV可獲得其較高精度的數(shù)值解,該數(shù)值解較高程度滿足線性方程組(1),同時(shí)也比較接近線性方程組(1)的真實(shí)解.但由表6可知,將LUDCCV應(yīng)用于高維強(qiáng)病態(tài)的線性方程組時(shí),所求的數(shù)值解其精度有待提高.

        為了提高LUIDCCV求解高維強(qiáng)病態(tài)線性方程組的精度,對(duì)于線性方程組(3)的常數(shù)項(xiàng),若其各元素之間的數(shù)值相差較大,可對(duì)常數(shù)項(xiàng)[H]先歸一化,再求解線性方程組(3),從而提高LUDCCV求解高維強(qiáng)病態(tài)線性方程組的精度,使其數(shù)值解更滿足線性方程組(1)和接近其真實(shí)解.設(shè)[H=[h1, h2, …, hn]T].由此,構(gòu)造[C=diag(1/h1, 1/h2, …, 1/hn)],可將線性方程組(3)轉(zhuǎn)化為:

        [CBX=En×1]

        其中,[En×1=CH=[1, 1, …, 1]T],即實(shí)現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)的歸一化.由此,再采用下式進(jìn)行數(shù)值迭代求解:

        [(CB+αI)X(k)=En×1+αX(k-1)]

        根據(jù)上述方法,對(duì)算例4的強(qiáng)病態(tài)線性方程組進(jìn)行歸一化處理后,再采用LUIDCCV數(shù)值迭代求解強(qiáng)病態(tài)線性方程組,結(jié)果如表7所示.

        比較表6與表7的結(jié)果可知,對(duì)常數(shù)項(xiàng)[H]先歸一化后再采用LUIDCCV求解線性方程組(3),高維強(qiáng)病態(tài)線性方程組求解的精度提高明顯,從而LUIDCCV求解病態(tài)線性方程組時(shí)可使其數(shù)值解更滿足線性方程組(1),接近其真實(shí)解[X].

        6? ? 結(jié)語(yǔ)

        為提高譜修正迭代法的計(jì)算效率,使阻尼譜修正迭代法收斂至病態(tài)線性方程組的真解并提高其收斂速度,實(shí)現(xiàn)病態(tài)線性方程組高精度和高效率的求解,本文改進(jìn)了阻尼譜修正迭代法的數(shù)值迭代方式,并采用矩陣的LU分解避免直接求解系數(shù)矩陣的逆矩陣,由此提出基于矩陣LU分解的新阻尼譜修正迭代法.采用4個(gè)經(jīng)典算例,將基于LU分解的改進(jìn)阻尼譜修正迭代法應(yīng)用于高維病態(tài)線性方程組,探討了矩陣的LU分解和新的迭代方式對(duì)阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的性能影響.可得到如下結(jié)論:

        1)結(jié)合矩陣的LU分解或新的迭代方式都可提高阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的精度,但新的迭代方式對(duì)解精度的提高效果更明顯,且同時(shí)結(jié)合矩陣的LU分解和新迭代方式的阻尼譜修正迭代法精度最高;

        2)相比于其他4種算法,結(jié)合矩陣LU分解和新迭代方式的阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的精度可明顯提高,且將其應(yīng)用于高維弱病態(tài)線性方程組求解,其數(shù)值解的精度也較高;

        3)若常數(shù)項(xiàng)[H]的各元素間的數(shù)值相差較大且非零,采用歸一化法對(duì)常數(shù)項(xiàng)[H]進(jìn)行處理后再求解,可提高基于矩陣LU分解的新阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的精度.

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        Iteration method by correcting characteristic value with damping

        factor based on LU decomposition for ill-conditioned system of

        linear equations

        MO Chunpeng, QIN Boying*

        (College of Science, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

        Abstract:Based on the iteration method by correcting characteristic value with damping factor,? ? ? ?combined with LU matrix decomposition and a new numerical iteration method, this paper proposes an improved iteration method by correcting characteristic value with damping factor based on LU matrix? decomposition, which is applied to solve ill-conditioned system of linear equations.Some classical? ? ? examples are used to investigate the influence of LU matrix decomposition and the new numerical? ? ? ? iteration method on the performance of the algorithm for solving ill-conditioned system of linear? ? ?equations.The results show that both the LU matrix decomposition and the new numerical iteration? ?method can improve the accuracy of the algorithm for solving ill-conditioned system of linear? ? ? ? ?equations, and the proposed algorithm can also improve the accuracy of solving high-dimensional? ? ? ?ill-conditioned system of linear equations.

        Key words: LU decomposition; iteration method by correcting characteristic value; ill-conditioned? ? matrix; system of linear equations

        (責(zé)任編輯:羅小芬、黎? ?婭)

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