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        一類周期函數(shù)廣義積分?jǐn)?shù)值方法

        2021-07-12 13:20:52葛新廣李宇翔楊雪峰
        廣西科技大學(xué)學(xué)報 2021年3期
        關(guān)鍵詞:高斯

        葛新廣 李宇翔 楊雪峰

        摘? 要:工程領(lǐng)域中隨機(jī)振動是一類非常普遍的現(xiàn)象,構(gòu)件動力響應(yīng)常需要計算一類周期函數(shù)的廣義積分,目前現(xiàn)有的方法表達(dá)式復(fù)雜,計算精度和效率低下.利用周期函數(shù)的特點(diǎn)將廣義積分轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間積分,獲得簡明的封閉解,然后根據(jù)高斯-切比雪夫積分具有計算精度和效率高的特點(diǎn),推導(dǎo)出該類廣義積分的新近似解.通過算例對比分析,驗(yàn)證了本文所提方法的正確性和高效性,對解決工程領(lǐng)域的振動響應(yīng)分析具有重要的參考價值.

        關(guān)鍵詞:周期函數(shù) ;廣義積分; 高斯-切比雪夫積分; 簡明近似解

        中圖分類號:TU311.3;O21? ? ? ? ? DOI:10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.001

        0? ? 引言

        隨機(jī)振動存在于各類工程中,是工程設(shè)計中構(gòu)件安全設(shè)計必須考慮的重要因素[1-3],而頻域法是求解各類工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)動力響應(yīng)的重要方法[4-5].李創(chuàng)第等[6]利用虛擬激勵法研究了非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)基于隨機(jī)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的譜矩,需要對結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜在[0,+∞)的積分區(qū)間進(jìn)行數(shù)值積分.李暾等[7]利用二次正交化法研究了建筑結(jié)構(gòu)基于近似Davenport風(fēng)速譜的結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的簡明封閉解,有效地提高了隨機(jī)響應(yīng)分析的精度和效率.而分析非平穩(wěn)隨機(jī)激勵[2-3]或考慮行波效應(yīng)的平穩(wěn)激勵[8]下的結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)時需要計算一類含有周期函數(shù)的2個積分:

        [0∞sinωtp2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)

        [0∞ωcosωtp2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)

        其中:[t≥0]且為實(shí)數(shù),p為常數(shù)且實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù).

        目前對于上述2個積分的解法有基于留數(shù)定律[9-10]的解法,該解法異常復(fù)雜,將上述積分表示成指數(shù)積分的封閉解,且只能用于p為實(shí)常數(shù)的情況,而指數(shù)積分仍然為數(shù)值解.此外,針對上述2個積分,Newton-Cotes積分是一種直接方法[11],其積分精度受積分步長和積分上限的影響較大,且目前未見有積分上限取值的研究文獻(xiàn).高斯系列積分[11]利用帶權(quán)的正交多項式來計算積分,具有計算精度和計算效率高的優(yōu)點(diǎn),有著廣泛的應(yīng)用.目前利用高斯積分研究式(1)、式(2)2個函數(shù)的積分的文獻(xiàn)鮮有.

        針對式(1)、式(2)2個函數(shù)的積分,首先利用其周期性和收斂性的特點(diǎn),將廣義積分轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢迋€[0,[2π]]的積分,然后利用三角函數(shù)的特點(diǎn),將 [0,[2π]]的積分變化為高斯-切比雪夫積分,從而提出了一種計算2個積分的新簡明解.

        1? ? 簡明近似解

        1.1? ?式(1)的近似解

        利用sin函數(shù)的周期性,作如下變換:

        [0∞sinωtp2+ω2dω=x=ωtt0∞sinxt2p2+x2dx=]

        [tk=0∞02πsinxt2p2+x+2πk2dx]? ? ? ? ? ? ? (3)

        由式(1)可知,隨著k的增加,積分項的值收斂于0,因此,實(shí)際應(yīng)用時k值取有限值.同時,從式(3)可知,積分上限由正無窮大換成[2π],利用sin函數(shù)的特點(diǎn),式(3)改寫為:

        [0∞sinωtp2+ω2dω=tk=0∞Ak+Bk-tC]? ? ? (4)

        式中:

        [Ak=-π2π2 sinxt2p2+x+2πk2dx=y=sinx-11yt2p2+arcsiny+2πk21-y2dyBk=-π2π2 sinxt2p2+x+2πk+π2dx=y=sinx-11 yt2p2+arcsiny+2πk+π21-y2dy](5)

        [C=-π20 sinxt2p2+x2dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6)

        式(5)中的[Ak]及[Bk]可統(tǒng)一表示為:

        [Ak(Bk)=-11 (-1)kyt2p2+arcsiny+πk21-y2dy](7)

        高斯系列數(shù)值積分[11]具有計算速度快、精度高的特點(diǎn),而式(7)滿足高斯-切比雪夫積分的積分區(qū)間[-1, 1]和權(quán)值函數(shù)[1-y2-0.5],則式(7)的高斯積分為[8]:

        [Ak(Bk)=-11 (-1)kyt2p2+arcsiny+πk21-y2dy=]

        [i=1n(-1)kyit2p2+arcsinyi+πk2ai]? ? ? ? ? ? ? (8)

        式中:[ai]為高斯求積系數(shù),[i]為高斯積分點(diǎn)數(shù).

        對式(6)采用復(fù)化Simpson公式計算:

        [C=-π20sinxt2p2+x2dx=]

        [h3-1t2p2+π2/4+4i=1msinx2it2p2+x22i+2i=1msinx2i-1t2p2+x22i-1] (9)

        式中:[h=π4m],[xi=-π2+ih],[m]為節(jié)點(diǎn)數(shù).

        把式(8)、式(9)代入式(4),得出:

        [0∞sinωtp2+ω2dω=tk=0∞i=1n(-1)kyit2p2+arcsinyi+πk2-th3-1t2p2+π2/4+4i=1msinx2it2p2+x22i+2i=1msinx2i-1t2p2+x22i-1] (10)

        1.2? ? 式(2)的近似解

        利用cos函數(shù)的周期性,作如下變換:

        [0∞ωcosωtω2+p2dω=x=ωt0∞xcosxx2+tp2dx=]

        [k=0∞02π(2kπ+x)cos(x+2kπ)(2kπ+x)2+tp2dx]? ? ? (11)

        由式(11)可知,隨著k的增加,積分項的值收斂于0,因此,實(shí)際應(yīng)用時k值取有限值.同時,從式(11)可知,積分上限可由正無窮大換成2p.利用cos函數(shù)的特點(diǎn),式(11)改寫為:

        [0∞ωcosωtω2+p2dω=k=0∞0π(2kπ+x)cosx(2kπ+x)2+tp2dx+]

        [k=0∞π2π(2kπ+x)cosx(2kπ+x)2+tp2dx]? ? ? ?(12)

        利用cos函數(shù)的特點(diǎn),式(12)進(jìn)一步改寫為:

        [0∞ωcosωtω2+p2dω=k=0∞0π(2kπ+x)cosx(2kπ+x)2+tp2dx-]

        [k=0∞0π(2kπ+x+π)cosx(2kπ+x+π)2+tp2dx] (13)

        最后式(13)簡化為:

        [0∞ωcosωtω2+p2dω=]

        [k=0∞(-1)k+1π0(kπ+x)cosx(kπ+x)2+tp2dx]? ? ? ? ?(14)

        對式(14)積分變換:

        [0∞ωcosωtω2+p2dω=]

        [k=0∞(-1)k+1-11-(kπ+arccosy)y(kπ+arccosy)2+tp21-y2dy]? (15)

        式(15)滿足高斯-切比雪夫積分的積分區(qū)間? ? ?[-1, 1],且權(quán)值函數(shù)為[1-y2-0.5],則式(15)的高斯積分為[11]:

        [0∞ωcosωtω2+p2dω=]

        [k=0∞(-1)ki=1n(kπ+arccosyi)yiai(kπ+arccosyi)2+tp2]? ?(16)

        式中:[ai]為高斯求積系數(shù),[i]為高斯積分點(diǎn)數(shù).

        2? ? 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        為驗(yàn)證本文方法的計算精度和效率,以? ? ? ? [p=-3+4i? (i=-1)]為例,利用基于常規(guī)的數(shù)值積分方法和本文方法進(jìn)行計算和說明.

        [0∞sin4ω-3+4i2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ?(17)

        [0∞ωcos4ω-3+4i2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ?(18)

        對式(17)和式(18)采用梯形積分時,其表達(dá)式可表示為:

        [0∞sinωtp2+ω2dω=]

        [i=0n(12(sinωitp2+ω2i+sinωi+1tp2+ω2i+1)Δω)]? ? ? ? ? (19)

        [0∞ωcosωtp2+ω2dω=]

        [i=0n(12(ωicosωitp2+ω2i+ωi+1cosωi+1tp2+ω2i+1)Δω)]? ?(20)

        式中:[ωi=iΔω],[Δω]為積分點(diǎn)間距,i為整數(shù);n為積分上限值參數(shù).式(19)及式(20)的計算精度和效率受積分上限和積分間距2個因素影響,而對于本文方法則受積分上限和高斯積分點(diǎn)個數(shù)的影響較大.為此,就上述2個因素進(jìn)行分析,具體見表1—表4.

        從表1來看,式(17)利用本文方法計算時,當(dāng)上限[z≥]50,節(jié)點(diǎn)數(shù)[≥]8,所獲得積分結(jié)果已趨于穩(wěn)定.從表2可知,傳統(tǒng)數(shù)值積分法的積分上限[k≥]500 rad/s,積分間距[≤]0.001 0 rad/s,積分結(jié)果也趨于穩(wěn)定.比較穩(wěn)定后的數(shù)值可知,本文方法與傳統(tǒng)數(shù)值積分法非常接近,但本文方法在 [z=]50,節(jié)點(diǎn)數(shù)=8時,耗時為0.112 s;而傳統(tǒng)積分方法耗時在[k=]500 rad/s,積分間距=0.001 0 rad/s,耗時為0.315 s,說明了本文方法的效率比傳統(tǒng)積分方法更高.此外,傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內(nèi)去試算才能確定,而本文方法節(jié)點(diǎn)數(shù)和k值均較小,說明本文方法計算穩(wěn)定性好.

        從表3來看,式(18)利用本文方法計算時,當(dāng)上限[z≥]200,節(jié)點(diǎn)數(shù)[≥]10所獲得積分結(jié)果已趨于穩(wěn)定.從表4可知,傳統(tǒng)數(shù)值積分法的積分上限 [k≥]50 000 rad/s,積分間距[≤]0.001 0 rad/s,積分結(jié)果也趨于穩(wěn)定.比較穩(wěn)定后的數(shù)值可知,本文方法與傳統(tǒng)數(shù)值積分法非常接近,但本文方法在[z=]200,節(jié)點(diǎn)數(shù)=10時,耗時為0.407 s;而傳統(tǒng)積分方法在[k=]50 000 rad/s,積分間距=0.010 0 rad/s時,耗時為3.887 s,說明了本文方法的效率比傳統(tǒng)積分方法更高.此外,傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內(nèi)去試算才能確定,而本文方法節(jié)點(diǎn)數(shù)和k值均較小,說明本文方法計算穩(wěn)定性好.

        3? ? 結(jié)論

        本文針對隨機(jī)振動中兩類廣義積分[0∞sinωtp2+ω2dω]和[0∞ωcosωtp2+ω2dω]無簡明解的問題,利用周期函數(shù)和高斯-切比雪夫積分提出了一種計算精度和效率高的簡明近似解.此外,傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內(nèi)去試算才能確定,而本文方法節(jié)點(diǎn)數(shù)和k值均在較小的范圍內(nèi)試算就能確定,說明本文方法計算上述兩類廣義積分具有較好的穩(wěn)定性.因此,本文方法對解決工程領(lǐng)域的振動響應(yīng)分析具有重要的參考價值.

        參考文獻(xiàn)

        [1]? ? ?CRANDALL S H,MARK W D. Random vibration in mechanical systems[M].New York:Academic Press,1963.

        [2]? ? ?BARBATO M,CONTE J P. Time-variant reliability analysis of linear elastic systems subjected to fully nonstationary stochastic excitations[J].Journal of Engineering Mechanics,2015,141(S6):1-10.

        [3]? ? ?PENG B F,CONTE J P. Closed-form solutions for the response of linear systems to fully nonstationary earthquake excitation[J]. Journal of Engineering Mechanics,1998,124(6):684-694.

        [4]? ? ?鄭兆昌.隨機(jī)振動矩陣直接譜分析法[C]//第二十三屆全國振動與噪聲控制學(xué)術(shù)會議, 沈陽,2010.

        [5]? ? ?林家浩,張亞輝,趙巖.虛擬激勵法在國內(nèi)外工程界的應(yīng)用回顧與展望[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2017,38(1):1-32.

        [6]? ? ?李創(chuàng)第,賀王濤,葛新廣.卷積型非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動系列響應(yīng)求解的虛擬激勵法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報,2021,32(1):78-84.

        [7]? ? ?李暾,張夢丹,姜琰,等.基于近似Davenport風(fēng)速譜的建筑結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的新封閉解法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報,2020,31(4):1-10,18.

        [8]? ? ?張文首,林家浩.大跨度結(jié)構(gòu)考慮行波效應(yīng)時平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的閉合解[J].固體力學(xué)學(xué)報,2004(4):446-450.

        [9]? ? ?王春.留數(shù)定理在Mellin逆變換中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2020,36(2):106-110.

        [10]? ?數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京:人民教育出版社,1979.

        [11]? ?朱建新,李有法. 數(shù)值計算方法[M].北京:高等教育出版社,2012.

        Numerical method for generalized integral of a class of

        periodic functions

        GE Xinguang, LI Yuxiang, YANG Xuefeng

        (School of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University of Science and Technology,

        Liuzhou 545006, China)

        Abstract: Random vibration is a very common phenomenon in the engineering field. The generalized integral of a class of periodic functions is often needed to calculate the dynamic response of? ? ? ? ? ? ?components. The existing methods have complex expressions and low calculation accuracy and? ? ? ? ? ?efficiency. In this paper, the generalized integral is transformed into a finite interval integral by using the characteristics of periodic function, and a concise closed solution is obtained. Then, a new? ? ? ? ? ? ?approximate solution of this kind of integral is derived by combining the high accuracy and efficiency of Gauss-Chebyshev integral. The correctness and efficiency of the proposed method are verified through the comparative analysis of examples, which has important value for solving the vibration? ? ? response analysis in engineering field.

        Key words: periodic function; generalized integral; Gauss-Chebyshev integral; concise approximate? solution

        (責(zé)任編輯:羅小芬、黎? ?婭)

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