童林軍，曾 威

(1.佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院，廣東 佛山 528137；2.西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710065)

十字軸作為車輛傳動系統(tǒng)的重要部件，在使用過程中頻繁受到?jīng)_擊載荷的作用，若其強(qiáng)度不能達(dá)到使用要求，會導(dǎo)致軸頸斷裂，影響車輛的正常使用。為了提高十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，田輝等[1]采用有限元方法對某型車輛十字軸的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度進(jìn)行了分析，并通過分析結(jié)果優(yōu)化了十字軸結(jié)構(gòu)，提高了十字軸的整體強(qiáng)度。陳科等[2]使用變曲率曲線作為軸根過渡曲線，降低了十字軸軸根位置應(yīng)力集中的問題。付胡代等[3]使用ANSYS軟件分析了十字軸工況下的應(yīng)力分布情況，并使用試驗(yàn)設(shè)計與重復(fù)有限元分析的方式，對應(yīng)力較大的軸根圓弧曲線進(jìn)行了優(yōu)化，提高了十字軸的強(qiáng)度。

上述工作通過分析十字軸工況下的應(yīng)力分布情況，并對十字軸的軸根圓弧曲線半徑進(jìn)行了優(yōu)化，一定程度上提高了十字軸的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，提高了車輛的使用可靠性。但是，在分析過程中均將十字軸載荷作為一個確定值，沒有考慮車輛在使用過程中載荷的隨機(jī)性及其對十字軸軸根圓弧半徑設(shè)計的影響，不能夠保證十字軸結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性。同時，在優(yōu)化過程中需要重復(fù)使用有限元方法分析不同軸根圓弧半徑下的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，導(dǎo)致優(yōu)化成本較高，優(yōu)化計算求解效率較低。

本文充分考慮車輛十字軸載荷的隨機(jī)性，將之作為一個隨機(jī)變量，并使用Kriging方法構(gòu)建十字軸強(qiáng)度關(guān)于軸根圓弧半徑的近似模型，建立十字軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用遺傳算法對十字軸的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，獲得具有全局最優(yōu)性的十字軸結(jié)構(gòu)。

1 十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度隨機(jī)有限元分析

1.1 某車輛十字軸主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

以某車輛SWC180型萬向聯(lián)軸器的十字軸為對象，其材料為20CrMnTi，軸根過渡線段使用了單一圓弧曲線，具體的結(jié)構(gòu)尺寸如圖1。其中，軸根圓弧曲線半徑R=25 mm。根據(jù)文獻(xiàn)[1-3]的分析，影響十字軸強(qiáng)度的主要參數(shù)即為R，因此本文將之作為優(yōu)化設(shè)計變量。

圖1 十字軸結(jié)構(gòu)尺寸

1.2 隨機(jī)載荷的確定

該十字聯(lián)軸器的公稱轉(zhuǎn)矩Mj=12.5 kN·m，使用文獻(xiàn)[1]中的計算方法，將十字軸的載荷等效為一作用在軸頸的余弦分布載荷P(α)，具體計算公式如式(1)所示：

(1)

其中，α為任意圓心角，l為作用點(diǎn)到十字軸中心距離，b為分布載荷寬度，r為十字軸頸斷面圓半徑。

根據(jù)1.1節(jié)所示十字軸結(jié)果尺寸，使用公式(1)，計算得到載荷的最大值Pmax(α)=85.6 MPa。為了考慮十字軸實(shí)際載荷的隨機(jī)性，假設(shè)載荷分布服從均值μ=85.6 MPa的高斯分布，變異系數(shù)cv=0.05。基于3σ準(zhǔn)則，確定軸頸載荷服從截斷型高斯分布，其上限、下限分別為72.76 MPa、98.44 MPa。最終，得到該十字軸的隨機(jī)載荷為：

P～N(85.6，4.282)，p∈[72.76，98.44]

(2)

1.3 隨機(jī)有限元分析

十字軸材料為20CrMnTi，在有限元軟件Abaqus中，設(shè)材料彈性模量為209×103MPa，泊松比為0.28。使用4節(jié)點(diǎn)Tet單元C3D4對十字軸模型進(jìn)行離散，獲得十字軸的有限元模型。

為了模擬十字軸的實(shí)際工況，如圖2所示，約束圖中橫向兩軸頸的自由度，并在垂直方向兩軸頸添加如式(2)所示的隨機(jī)載荷。

圖2 十字軸邊界條件

使用Abaqus的inp文件，編寫概率分析文件，使用拉丁超立方抽樣方法對式(2)確定的隨機(jī)載荷進(jìn)行抽樣，并施加在如圖2所示的十字軸軸頸上，通過靜強(qiáng)度計算，就能夠獲得不同軸根圓弧曲線半徑對應(yīng)的最大Mises應(yīng)力σ。例如，當(dāng)圓弧半徑R=25 mm時，隨機(jī)載荷下十字軸的Mises應(yīng)力分布如圖3所示。

圖3 隨機(jī)載荷計算結(jié)果

2 十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度Kriging模型

2.1 Kriging模型的基本形式

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型[4]，能夠分析樣本數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系，并以此預(yù)測樣本的趨勢和動態(tài)，能較好地擬合十字軸軸根圓弧半徑R與響應(yīng)量σ之間的非線性關(guān)系。一個典型的Kriging模型包括回歸部分與非參數(shù)部分：

(3)

(4)

Z(X)是均值為0，方差為σ2的隨機(jī)過程，則任意兩樣本點(diǎn)間的相關(guān)關(guān)系可以用式(5)描述：

Cov[Z(xi)，Z(xj)]=σ2R[R(xi，xj)]

(5)

其中：σ2是隨機(jī)過程方差；R是n×n階的對稱正定對角矩陣；R(xi，xj)為任意兩個樣本點(diǎn)xi與xj的空間相關(guān)函數(shù)，工程應(yīng)用中一般用高斯相關(guān)函數(shù)進(jìn)行描述：

(6)

(7)

為了獲得模型的相關(guān)參數(shù)θk，可用式(8)所示的最大似然估計方法：

(8)

獲得Kriging模型的相關(guān)參數(shù)θk之后，即可通過式(7)得到預(yù)測值，最終構(gòu)建得到十字軸應(yīng)力σ的Kriging模型。

2.2 十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度Kriging模型的構(gòu)建

為構(gòu)建十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度Kriging模型，以十字軸軸根圓弧半徑R為優(yōu)化設(shè)計變量，以隨機(jī)載荷作用下十字軸最大Mises應(yīng)力σ為響應(yīng)值。Kriging模型的訓(xùn)練樣本數(shù)量m=3k，其中k=(n+1)(n+2)/2，n為設(shè)計變量個數(shù)。因?yàn)楸疚脑O(shè)計變量數(shù)n=1，因此訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)為9。

以當(dāng)前圓弧半徑R=25 mm為中心，上下浮動50%，確定訓(xùn)練樣本的取值區(qū)間為R∈[12.5，37.5]。為了保證樣本的均勻性，使用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計方法[5]，從變量取值區(qū)間中抽樣9組設(shè)計變量值，使用第2節(jié)構(gòu)建的隨機(jī)有限元方法，計算不同圓弧半徑對應(yīng)的Mises應(yīng)力值，并將之作為十字軸Mises應(yīng)力Kriging模型的訓(xùn)練樣本，如表1。

表1 Kriging模型訓(xùn)練樣本

(9)

用式(8)計算得到模型的相關(guān)參數(shù)θk，得到Mises應(yīng)力的Kriging模型相關(guān)參數(shù)θk=0.121。最后，能夠計算任意點(diǎn)x與已知樣本數(shù)據(jù)間的相關(guān)向量rT，通過式(7)得到響應(yīng)值，即構(gòu)建得到Mises接觸應(yīng)力的Kriging模型。

為了檢驗(yàn)構(gòu)建的Kriging模型的預(yù)測精度，采用均方根誤差[6]作為精度檢驗(yàn)指標(biāo)。由式(7)可得Kriging模型預(yù)測點(diǎn)的均方根誤差為：

(10)

檢驗(yàn)時，在表1中隨機(jī)選取了5組訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)作為誤差檢測樣本，將之與由Kriging模型擬合得到的Mises應(yīng)力值進(jìn)行對比，獲得的RMSE值為0.032，表明構(gòu)建的Kriging模型具有較高的預(yù)測精度，能夠擬合十字軸Mises應(yīng)力隨機(jī)有限元分析結(jié)果。

3 基于Kriging模型的十字軸軸根圓弧半徑優(yōu)化

3.1 十字軸軸根圓弧半徑優(yōu)化設(shè)計模型

以十字軸軸根圓弧半徑R為優(yōu)化設(shè)計變量，以隨機(jī)載荷作用下十字軸的最大Mises應(yīng)力σ為響應(yīng)值，使用構(gòu)建的Mises應(yīng)力Kriging模型為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建軸根圓弧半徑R的優(yōu)化設(shè)計模型：

(11)

式中，σ(R)是構(gòu)建Mises應(yīng)力Kriging模型。

3.2 基于多島遺傳算法的軸根圓弧半徑尋優(yōu)

為了獲得全局最優(yōu)的十字軸軸根圓弧半徑R，須使用優(yōu)化算法對式(11)所示的軸根圓弧半徑優(yōu)化模型進(jìn)行求解。多島遺傳算法[7]能高效率的獲得具有全局最優(yōu)性的優(yōu)化解，本文使用該算法對軸根圓弧半徑進(jìn)行尋優(yōu)計算。尋優(yōu)計算過程如圖4所示。

根據(jù)圖4所示的優(yōu)化結(jié)果，十字軸軸根圓弧半徑R的最優(yōu)值為27.27 mm。為了檢驗(yàn)該結(jié)果的準(zhǔn)確性，將優(yōu)化后的圓弧半徑R代入到隨機(jī)有限元模型中進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析，在相同工況下，得到此時十字軸的Mises接觸應(yīng)力值為150.1 MPa，如圖5所示。與原始結(jié)構(gòu)對應(yīng)的Mises應(yīng)力值相比，Mises應(yīng)力值降低了37.6 MPa，驗(yàn)證了本文優(yōu)化方法的有效性。

圖4 設(shè)計參數(shù)尋優(yōu)歷程

圖5 優(yōu)化后的Mises應(yīng)力分布

4 結(jié)論

1)以十字軸軸根圓弧半徑為設(shè)計變量，以車輛十字軸工況條件下的Mises應(yīng)力為十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度衡量指標(biāo)，構(gòu)建了十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的Kriging模型，為十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計算提供了高精度的近似模型。

2)構(gòu)建了以十字軸結(jié)構(gòu)強(qiáng)度Kriging模型為目標(biāo)函數(shù)的軸根圓弧半徑的優(yōu)化模型，并使用多島遺傳算法獲得該十字軸軸根圓弧半徑的最優(yōu)值。優(yōu)化后，工況條件下十字軸Mises應(yīng)力降低了37.6 MPa，該優(yōu)化方法得到驗(yàn)證。