胡帥帥， 劉建生， 李俊林， 魏含玉

(1.太原科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院， 太原 030024； 2.周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 周口 466000； 3.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院， 太原 030024)

壓電陶瓷材料由于其出色的性能，在生活和工業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用。材料結(jié)構(gòu)的安全，是保證器件有效穩(wěn)定工作的前提。目前，受制于制造工藝水平及其他不確定的因素，在材料內(nèi)部或者界面結(jié)合處往往會有缺陷的存在。因此，材料界面缺陷的力學(xué)行為的研究尤為必要。近幾十年來，壓電材料的界面裂紋問題吸引了大量的中外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-5]。Mishra等[6]研究了壓電器件在熱-電-機(jī)械加載環(huán)境下的多孔洞與裂紋的相互作用。他們利用擴(kuò)展有限元法、相互作用積分法和廣義Stroh公式預(yù)測了應(yīng)力強(qiáng)度因子，最后借助MATLAB程序?qū)α鸭y間的相互作用做了數(shù)值模擬。Singh等[7]討論了正交異性復(fù)合材料中邊緣裂紋在熱載荷和機(jī)械載荷共同作用下的熱應(yīng)力強(qiáng)度因子。他們借助漸近展開法將積分方程轉(zhuǎn)化為一對奇異積分方程，得到了集中點(diǎn)載荷作用下邊緣裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式并計(jì)算了在不同裂紋長度和不同導(dǎo)熱率比下應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值，最后通過數(shù)值計(jì)算分析了兩種不同材料的熱導(dǎo)率比值對熱應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。王永健等[8]通過復(fù)變函數(shù)方法分析了壓電雙材料中橢圓孔邊界面裂紋的反平面問題，得出了當(dāng)橢圓孔退化為豎直裂紋時改變橢圓孔一邊裂紋長度將對另一邊裂紋裂尖場產(chǎn)生很大影響的結(jié)論。呂鑫等[9]借助解析函數(shù)理論和復(fù)變方法分析了一維正方準(zhǔn)晶周期方向穿透的拋物線裂紋問題，得出了關(guān)于經(jīng)典彈性理論中的一些新的結(jié)果。

以往的壓電材料界面問題研究中，大多都是關(guān)于大晶粒壓電材料的研究，而對于細(xì)晶粒壓電材料的研究還很少。因此，結(jié)合工業(yè)的實(shí)際需求，對細(xì)晶粒壓電涂層的研究就顯得格外重要?；诖?，提出了涂層/基底受載荷作用下的界面裂紋問題，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了細(xì)晶粒壓電涂層/基底在熱載荷下作用下的力學(xué)模型。借助傅里葉積分手段，推導(dǎo)出了問題的溫度場，確定了熱流強(qiáng)度因子。通過引入數(shù)值算例，分析了影響熱流強(qiáng)度因子的相關(guān)因素，研究結(jié)果對實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的裂紋診斷具有一定的指導(dǎo)意義。

1 力學(xué)模型

如圖1所示，將細(xì)晶粒陶瓷粉末通過熱噴涂技術(shù)噴涂于壓電基底表面，并將其沿Y軸方向極化形成細(xì)晶粒壓電涂層/基底結(jié)構(gòu)。其中，0≤y≤h1為細(xì)晶粒壓電涂層，涂層厚度為h1；-h2≤y≤0為壓電基底，基底厚度為h2；-l≤x≤l為Griffith型界面裂紋，裂紋長度為2l，假定裂紋表面處電絕緣、絕熱；Ta、Tb分別為y=h1、y=h2處的環(huán)境溫度，假設(shè)涂層/基底結(jié)構(gòu)橫觀各向同性。

彈性場、電場的本構(gòu)方程可以寫為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

假設(shè)溫度場滿足傅里葉熱傳導(dǎo)方程：

(6)

熱邊界連續(xù)條件可以寫為

T(x,0+)=T(x,0-), |x|≥l

(7)

T(x,h1)=Ta(x),T(x,h2)=Tb(x), |x|≥0

(8)

(9)

式中：Ta(x)、Tb(x)表示環(huán)境溫度；Q0(x)表示對模型所施加的熱流。

2 溫度場

利用積分變換，可以將溫度場的表達(dá)式表示為

(10)

式(10)中：i為虛數(shù)單位；s為引入的變量；A1j(s)、A2j(s)為待定的未知函數(shù)，j=1,2。

為了確定溫度場，引入密度函數(shù)，其表達(dá)式為

(11)

根據(jù)邊界連續(xù)條件[式(7)]，密度函數(shù)G(x)應(yīng)滿足以下單值條件：

(12)

式(12)中：t為引入的變量。

將式(11)代入熱邊界連續(xù)條件式(7)～式(9)，可得

A11(s)+A21(s)-A12(s)-A22(s)=

(13)

(14)

A11(s)e-|s| k1h1+A21(s)e|s| k1h1=

(15)

A12(s)e-|s| k2h2+A22(s)e|s| k2h2=

(16)

式(13)～式(16)可以改寫為

AB=C

(17)

式中：

B=[A11(s),A21(s),A12(s),A22(s)]T；

C=[0,I0,I1,I2]T。

求解式(17)，可得

A11(s)=F1I0-F2I1+F3I2

(18)

A21=F4I1-F5I0-F6I2

(19)

A12(s)=F7I2+F8I0-F9I1

(20)

A22(s)=F10I1-F11I2-F12I0

(21)

式中：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

顯然，只要確定了I0就可以求解出未知函數(shù)A1j(s)、A2j(s)，從而就得到了溫度場。

將式(10)代入熱邊界連續(xù)條件[式(9)]，可得

(35)

式(35)中：

(36)

對式(35)做進(jìn)一步整理，可得

Q0(x)-d0(x)

(37)

式(37)中：

(38)

式(38)中：M(s)表示關(guān)于變量s的函數(shù)。

對式(37)改變積分次序，可得

Q0(x)-d0(x)

(39)

式(39)中：

(40)

(41)

式(39)是具有柯西核的奇異積分方程，密度函數(shù)G(t)具有平方根奇異性的形式。因此，密度函數(shù)G(t)可以表示為

(42)

式(42)中：g0(t)為定義在區(qū)間 [-l,l]上的連續(xù)函數(shù)。

3 熱流強(qiáng)度因子

由文獻(xiàn)[10]可知，熱流強(qiáng)度因子可以定義為

(43)

(44)

式中：L、R分別表示裂紋的左右尖端。

(45)

(46)

將式(42)代入式(45)和式(46)，可得

(47)

(48)

利用切比雪夫多項(xiàng)式配點(diǎn)法，即可求解出g0(-l)和g0(l) 的值。

4 數(shù)值計(jì)算

為了分析材料參數(shù)、裂紋尺寸，涂層厚度對熱流強(qiáng)度因子的影響，接下來選取硒化鎘壓電陶瓷作為基底材料，細(xì)晶粒硒化鎘陶瓷作為涂層材料進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。由文獻(xiàn)[11]可知，通過合適的加工工藝可以使細(xì)晶粒壓電材料的壓電、介電性能達(dá)到大晶粒壓電材料的壓電、介電水平，而材料的彈性模量有顯著增加。因此，在數(shù)值計(jì)算中，假設(shè)細(xì)晶粒硒化鎘陶瓷涂層和普通的硒化鎘壓電陶瓷基底具有相同的壓電、介電常數(shù)。

熱流強(qiáng)度因子可以寫為

(49)

(50)

從圖2中可以看出，熱流強(qiáng)度因子隨著涂層厚度的增加而不斷的減小，并逐漸趨于穩(wěn)定，且涂層與基底彈性模量比值較大者的熱流強(qiáng)度因子具有較高的峰值。這表明，當(dāng)涂層厚度較厚時對熱流強(qiáng)度因子是不敏感的。由于細(xì)晶粒壓電陶瓷材料相較于同種大晶粒壓電陶瓷材料可以把基片做得更薄，且具有更高的彈性模量，因此細(xì)晶粒壓電陶瓷材料具有更廣泛的工程意義。圖3給出了熱流強(qiáng)度因子隨裂紋長度發(fā)生變化的規(guī)律。

圖2 熱流強(qiáng)度因子與涂層厚度之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between thermal strength factor and coating thickness

從圖3中可以看出，當(dāng)涂層厚度較小時，熱流強(qiáng)度因子隨著裂紋長度的增加而增加。這表明，當(dāng)細(xì)晶粒壓電涂層/基底結(jié)構(gòu)受到一定強(qiáng)度的熱載荷時，會造成裂紋的擴(kuò)展，結(jié)構(gòu)的損壞。

圖3 熱流強(qiáng)度因子與裂紋尺寸之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between thermal strength factor and crack size

5 結(jié)論

利用傅里葉積分變換方法，構(gòu)造出了含Griffith型界面裂紋的細(xì)晶粒壓電涂層/基底在熱載荷作用下的溫度場的表達(dá)式，推導(dǎo)出了熱流強(qiáng)度因子的具體形式，得出如下結(jié)論。

(1)驗(yàn)證了涂層/基底為同一種材料時的特殊情況，得出了與以往文獻(xiàn)相同的結(jié)論。

(2)通過數(shù)值算例分析了熱流強(qiáng)度因子與細(xì)晶粒壓電涂層的厚度及裂紋尺寸之間的關(guān)系，涂層厚度較薄時，對熱流強(qiáng)度因子比較敏感，隨著涂層厚度增加，熱流強(qiáng)度因子逐漸趨于穩(wěn)定。