王騰飛， 黃 坤,2*， 郭榮鑫,2

(1.昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系， 昆明 650500; 2.云南省土木工程防災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 昆明 650500)

碳納米管在1991年被發(fā)現(xiàn)以來一直是研究熱點(diǎn)[1]，它作為一種新型的材料，具有很多優(yōu)秀的機(jī)械、化學(xué)、電學(xué)的性質(zhì)，在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-4]。利用其特殊的性質(zhì)可以制作很多性質(zhì)優(yōu)異的構(gòu)件，因此可望在復(fù)合材料、傳感器和納米電子等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[5]。為了挖掘其巨大的應(yīng)用潛力，對碳納米管力學(xué)行為進(jìn)行充分的研究非常有必要。目前連續(xù)介質(zhì)力學(xué)法是研究碳納米管最為廣泛的方法，應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)對其研究時(shí)，碳納米管可以作為連續(xù)梁和殼模型來考慮。Huang等[6]用非局部彈性理論和Bernoulli-Euler梁模型結(jié)合，研究了具有初始變形的單壁碳納米管的靜力和動(dòng)力學(xué)特性。Yoon等[7]基于彈性梁模型對碳納米管進(jìn)行研究，分析了彈性介質(zhì)中多層碳納米管的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)。

從幾何上看，碳納米管可視為石墨烯按照不同的方式卷曲而成，大量理論和實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)碳納米管管徑曲率減小到一定數(shù)值(納米管的管徑較大時(shí))，碳納米管的彈性模量等力學(xué)性能參數(shù)與石墨片層十分接近，因此碳納米管與石墨烯應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是一樣的, 近期的理論和實(shí)驗(yàn)表明，石墨烯的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的[8-10]。對于單層石墨烯片，Lee等[8]通過單軸實(shí)驗(yàn)拉伸得到了其二次非線性本構(gòu)關(guān)系，但目前對于此非線性本構(gòu)關(guān)系，仍未被研究人員應(yīng)用在碳納米管上。在碳納米管的研究中，碳納米管的初始變形一直是不可忽視的，它對碳納米管的力學(xué)行為有顯著的影響。為此，以石墨烯的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為基礎(chǔ)，建立具有小初始變形的Bernoulli-Euler梁模型。并通過該模型研究單壁碳納米管受均布荷載作用下的靜力彎曲和受迫振動(dòng)行為，并分析了非線性本構(gòu)中非線性項(xiàng)和初始變形對碳納米管各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 單壁碳納米管的Bernoulli-Euler梁 理論

如圖1所示，兩端鉸支的碳納米管簡化為連續(xù)梁模型，長度為l，初始變形為w0，分布力為p(x,t)，其中t為時(shí)間，pz和px為外力，其方向分別為坐標(biāo)軸z和x方向。w為碳納米管z方向的位移。放在直角坐標(biāo)系內(nèi)。

p為p的向量式；i、k分別為坐標(biāo)軸x和z方向的單位向量圖1 單壁碳納米管模型Fig.1 Single-walled carbon nanotube model

碳納米管的二次非線性本構(gòu)為[8]

(1)

式(1)中：E為二階線彈性系數(shù)；σxx和εxx分別為軸向應(yīng)力和應(yīng)變；D為三階彈性系數(shù)，當(dāng)D=0時(shí)本構(gòu)式恢復(fù)為宏觀虎克定理表達(dá)式。

根據(jù)Bernoulli-Euler梁理論假設(shè)[11]，位移場的方程為

(2)

式(2)中：u1、u2、u3分別為沿x、y、z坐標(biāo)軸的位移；u、w分別為點(diǎn)(x,0)在中平面的軸向和橫向位移分量。理論中，橫向剪切應(yīng)變和橫向法應(yīng)變將被忽略。

對于兩端不可移動(dòng)的碳納米管梁，采用Von Karman位移應(yīng)變方程來表示x軸向應(yīng)變張量[11-12]為

(3)

由式(1)可以得到軸向力N和彎矩M的表達(dá)式為

(4)

(5)

式中：A為碳納米管的橫截面積。

將式(3)代入式(4)、式(5)得到軸向力和彎矩的表達(dá)式分別為

(6)

(7)

針對經(jīng)典的細(xì)長梁，主要與軸向應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)力的影響是次要的，因此可以不考慮剪力的影響，僅考慮軸向的應(yīng)力和應(yīng)變。由牛頓第二定律得Bernoulli-Euler梁理論的控制方程為[11-13]

(8)

(9)

式中：m為碳納米管質(zhì)量。

將式(6)、式(7)代入式(8)、式(9)得

(10)

(11)

令px=0且將式(10)中的高次項(xiàng)舍去，得縱向運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

對于細(xì)長梁，縱向慣性項(xiàng)可以忽略，因此縱向位移u主要是由橫向變形引起的，在這種情況下，可以從式(12)推出得

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：c1(t)、c2(t)為時(shí)間的函數(shù)，它們由u的邊界確定，對于兩端鉸支的梁，它的邊界條件是u(0)=u(l)=0，得

(17)

將式(11)中的高次項(xiàng)舍去，得

(18)

將式(13)～式(15)代入式(18)中得

(19)

將式(17)代入式(19)得

(20)

(21)

歸一化邊界條件為

(22)

由于方程(21)中含有積分項(xiàng)，無法通過求解得到精確的解析解，故，使用變分法求解方程的近似解。本文根據(jù)伽遼金法可以直接對原控制方程進(jìn)行積分求解這一特性。在滿足歸一化邊界條件下，假設(shè)一組基函數(shù)作為微分方程的近似解。

(23)

(24)

式(24)中：η為碳納米管的變形幅值。

式(24)可寫為

(25)

2 靜態(tài)彎曲分析

去掉式(25)的慣性項(xiàng)可得碳納米管的靜力學(xué)方程為

(26)

如圖2所示，當(dāng)碳管存在小初始變形時(shí)，初始變形與外激勵(lì)的方向一致時(shí)強(qiáng)化了系統(tǒng)的剛度，當(dāng)方向相反且受力小于一個(gè)臨界值時(shí)同樣強(qiáng)化了其剛度。但當(dāng)受力大于這一臨界值時(shí)弱化了系統(tǒng)的剛度，因此初始變形使靜力變形變得復(fù)雜。當(dāng)忽略小初始變形時(shí)，靜力學(xué)方程中的二次項(xiàng)消失，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)對碳納米管的靜力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生了顯著的影響，弱化了其剛度，隨著外激勵(lì)的增加，這種影響越加明顯。如圖3所示，當(dāng)存在非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)時(shí)，靜力彎曲變形隨著初始變形的增加而減小，強(qiáng)化了碳納米管的整體剛度。當(dāng)荷載和初始變形方向相反時(shí)，由于初始變形的存在使系統(tǒng)的變形變得復(fù)雜。

圖2 非線性本構(gòu)的非線性項(xiàng)或初始變形對碳納米管 靜力彎曲的影響Fig.2 Effect of nonlinear terms of nonlinear constitutive or initial deformation on static bending of carbon nanotubes

3 一階受迫振動(dòng)

(27)

(28)

對于式(28)的解可以設(shè)為

(29)

因?yàn)橥饧?lì)是O(ε2)階的，O( )表示為同階無窮小，為保證一致，設(shè)ω-k1為O(ε2)階，有

ε2σ=ω-k1

(30)

式(30)中：σ為頻差；ω為頻率。

將式(29)、式(30)代入式(28)中，并令兩端的ε0、ε和ε2的系數(shù)分別相等，得

(31)

(32)

fcos(k1T0+σT2)

(33)

式(31)的通解可以寫為

(34)

(35)

式(35)中：cc表示其左邊各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。

(36)

將式(34)和式(36)代入式(33)，得

cc+NST

(37)

式(37)中：f為外激勵(lì)；′表示關(guān)于T2的導(dǎo)數(shù)；NST表示比例于exp(±3ik1T0)的項(xiàng)，如果有

(38)

(39)

(40)

式中：

γ=σT2-β

(41)

將式(40)、式(41)中消去β得

(42)

所以到二次近似為止，得

(43)

令式(39)、式(42)中的D2α=D2γ=0，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為

(44)

(45)

式(44)、式(45)的平方后求和得

(46)

設(shè)α≠0時(shí)，將式(46)整理為

(47)

對于(15,15)單壁碳納米管，參數(shù)與上例一致。目前，碳納米管的阻尼系數(shù)尚缺乏系統(tǒng)的研究。為簡化討論，取2ε2c=0.05，其中,c=2.5，得ε=0.1。通過式(46)，令f=5得到對應(yīng)的頻響曲線如圖4、圖5所示。

如圖4所示，初始變形可以使碳納米管的力學(xué)性質(zhì)由硬非線性變?yōu)檐浄蔷€性，所以初始變形對碳納米管的力學(xué)性質(zhì)的影響很明顯。當(dāng)存在初始變形時(shí)，即為軟彈簧時(shí)，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)相比初始變形對其影響較小。當(dāng)不存在初始變形時(shí)，即為硬彈簧時(shí)，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)對其影響很大，在一定頻差范圍內(nèi)，起了剛度弱化的作用。如圖4、圖5所示，單一的分析一個(gè)變量可以得出，初始變形和非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)都能改變振幅的分岔點(diǎn)的位置，在分岔點(diǎn)處，碳納米管的振幅會(huì)伴隨參數(shù)的輕微變化而突然改變，這對結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生了顯著影響。通過式(46)，并取定σ=5的數(shù)值，可得到對應(yīng)的激勵(lì)振幅響應(yīng)曲線，如圖6、圖7所示。

圖4 考慮非線性本構(gòu)的非線性項(xiàng)或初始變形時(shí)的 頻響曲線Fig.4 The frequency response curve when considering the nonlinear term of the nonlinear constitutive or initial deformation

圖5 D=-2 TPa時(shí)不同初始變形對頻響曲線的影響Fig.5 The effect of different initial deformations on the frequency response curve for D=-2 TPa

如圖6所示，當(dāng)不存在初始變形時(shí)，振動(dòng)方程中的二次非線性項(xiàng)消失，兩條曲線都出現(xiàn)了分岔點(diǎn)，非線性本構(gòu)中的二次非線性項(xiàng)改變了分岔點(diǎn)的位置。當(dāng)存在初始變形時(shí)，在一定范圍外加荷載的作用下，兩條曲線是單調(diào)的，即二次非線性項(xiàng)使分岔點(diǎn)消失，顯著改變了碳納米管的力學(xué)行為。在這種情況下，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)相比初始變形對結(jié)構(gòu)的影響較小。如圖7所示，當(dāng)同時(shí)考慮非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)和初始變形時(shí)，這兩種因素使碳管在一定范圍外激勵(lì)荷載作用下極大強(qiáng)化了系統(tǒng)剛度，顯著降低了振動(dòng)效應(yīng)。

圖6 考慮非線性本構(gòu)的非線性項(xiàng)或初始變形時(shí)的 響應(yīng)曲線Fig.6 The response curve when considering the nonlinear term of the nonlinear constitutive or initial deformation

圖7 D=-2 TPa時(shí)不同初始變形對響應(yīng)曲線的影響Fig.7 The effect of different initial deformations on the response curve for D=-2 TPa

4 結(jié)論

(1)在靜力彎曲中，初始變形誘發(fā)了二次非線性項(xiàng)使碳管靜力變形變得復(fù)雜。非線性本構(gòu)誘發(fā)的非線性項(xiàng)弱化了碳管的剛度。

(2)在受迫振動(dòng)中，初始變形和非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)都能改變振幅的分岔點(diǎn)的位置。