宋昱 孫文赟

(深圳大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院∥深圳市媒體信息內(nèi)容安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室∥廣東省智能信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東 深圳 518060)

邊緣保持圖像平滑的目的是在保持圖像中主要邊緣的前提下對(duì)其中的紋理和細(xì)節(jié)進(jìn)行平滑。邊緣保持圖像平滑是很多計(jì)算機(jī)視覺(jué)與圖形學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)和關(guān)鍵步驟。自然圖像中通常包含很多紋理和細(xì)節(jié),可能對(duì)很多計(jì)算機(jī)視覺(jué)和圖形學(xué)算法(如邊緣檢測(cè)[1]、圖像分割[2]、圖像分類(lèi)、 基于內(nèi)容的圖像編輯等)造成困難。使用邊緣保持圖像平滑算法對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理通常是有利的,可以降低邊緣檢測(cè)、圖像分割、圖像分類(lèi)與基于內(nèi)容的圖像編輯等任務(wù)的難度;另外,邊緣保持圖像平滑也可以作為圖像增強(qiáng)算法的一個(gè)中間步驟[3],在平滑了原始圖像后,通過(guò)從原始圖像中減去平滑圖像得到一幅細(xì)節(jié)圖像,然后對(duì)細(xì)節(jié)圖像進(jìn)行放大,再加到平滑圖像上,可以得到一幅增強(qiáng)后的圖像。

現(xiàn)有的邊緣保持圖像平滑算法可以大致分為2類(lèi)。第1類(lèi)算法是基于像素點(diǎn)的局部鄰域統(tǒng)計(jì)特征對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行濾波,這些算法被稱(chēng)為基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法；基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法根據(jù)中心像素點(diǎn)和該像素點(diǎn)鄰域中其他像素點(diǎn)的關(guān)系對(duì)中心像素點(diǎn)進(jìn)行處理。雙邊濾波器是一種基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法[4- 5],該算法通過(guò)對(duì)鄰域中的像素加權(quán)平均得到濾波后的像素,像素灰度距離越大或者像素點(diǎn)空間距離越大,權(quán)重越小。引導(dǎo)濾波采用和雙邊濾波器類(lèi)似的方法對(duì)圖像濾波[6- 7]。局部拉普拉斯濾波器是一種基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法[8],該算法是在對(duì)中心像素進(jìn)行點(diǎn)操作之后,構(gòu)建該像素點(diǎn)的局部拉普拉斯金字塔,通過(guò)組合局部拉普拉斯金字塔得到像素點(diǎn)的濾波結(jié)果。文獻(xiàn)[9]中的算法是根據(jù)區(qū)域協(xié)方差平滑像素點(diǎn),該算法和非局部均值圖像去噪算法類(lèi)似[10]?；谄⒎址匠?PDE,Partial Differential Equation)的算法(例如各向異性擴(kuò)散或者一致增強(qiáng)擴(kuò)散[11- 13]),也是基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法,這類(lèi)算法根據(jù)像素灰度距離以迭代的方式對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行濾波,那些與鄰域中像素灰度更接近的像素被以較大力度進(jìn)行平滑,那些與鄰域中像素灰度差異較大的像素被以較小的力度進(jìn)行平滑。基于邊緣回避小波的平滑算法也是基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法[14],該算法首先對(duì)原始圖像進(jìn)行邊緣回避小波變換,然后對(duì)各個(gè)細(xì)節(jié)子帶進(jìn)行抑制,最后通過(guò)使用邊緣回避小波逆變換得到平滑圖像。最近提出的樹(shù)濾波算法使用中心像素點(diǎn)與鄰域中像素點(diǎn)的樹(shù)距離和雙邊距離對(duì)圖像進(jìn)行平滑[15],通過(guò)使用該算法,可以有效地濾除圖像中的強(qiáng)紋理?；诰植拷y(tǒng)計(jì)特征的算法有一個(gè)主要的優(yōu)勢(shì)——因?yàn)樗惴ㄖ猩婕暗闹饕?jì)算都限制在各個(gè)像素點(diǎn)的局部鄰域中,基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法的計(jì)算復(fù)雜度較低。而這類(lèi)算法的一個(gè)主要缺點(diǎn)是每一像素點(diǎn)的濾波結(jié)果僅依賴(lài)該像素點(diǎn)局部鄰域的統(tǒng)計(jì)特征,在濾波過(guò)程中沒(méi)有充分考慮整幅圖像提供的信息。

第2類(lèi)算法是對(duì)整幅圖像同時(shí)進(jìn)行濾波,這類(lèi)算法被稱(chēng)為基于全局統(tǒng)計(jì)特征的算法,通常需要構(gòu)建一個(gè)目標(biāo)函數(shù),該目標(biāo)函數(shù)以平滑圖像與原始圖像作為變量,通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)得到平滑后的圖像；目標(biāo)函數(shù)通常包含2種類(lèi)型的能量項(xiàng),其中一項(xiàng)是數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng),該項(xiàng)用以衡量平滑圖像與原始圖像之間的差值,另外一項(xiàng)是正則項(xiàng),該項(xiàng)用以描述平滑后圖像的特征。該類(lèi)算法中最有代表性的算法是加權(quán)最小二乘(WLS,Weighted Least Square)算法[16],該算法在目標(biāo)函數(shù)中有2項(xiàng)能量項(xiàng),數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng)用以衡量平滑圖像與原始圖像差值的l2范數(shù)的平方,正則項(xiàng)用以衡量平滑圖像的加權(quán)梯度,可以通過(guò)求解一個(gè)線性方程組得到平滑圖像；算法的平滑結(jié)果具有如下特征,那些高對(duì)比度的邊緣被保留了,那些低對(duì)比度的紋理被平滑了。為了進(jìn)一步提升原始WLS濾波器的運(yùn)行速度,文獻(xiàn)[17] 提出了一種快速加權(quán)最小二乘算法。文獻(xiàn)[18]的算法基于局部極值對(duì)圖像進(jìn)行平滑,該算法首先基于局部鄰域定位極值,然后根據(jù)全局統(tǒng)計(jì)特征構(gòu)建最小和最大包絡(luò),最后通過(guò)對(duì)最小和最大包絡(luò)求均值得到平滑圖像。l0梯度最小化也屬于這類(lèi)算法[19],該算法的目標(biāo)函數(shù)中有2項(xiàng)能量項(xiàng),數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng)用以衡量平滑圖像與原始圖像之差的l2范數(shù)的平方,正則項(xiàng)用以衡量平滑圖像的l0梯度,通過(guò)迭代求解2個(gè)子最小化問(wèn)題可以得到平滑圖像。最近,研究者又提出了一種基于l1范數(shù)的圖像平滑算法[20],該算法的目標(biāo)函數(shù)中有3項(xiàng)能量項(xiàng),數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng)用以衡量平滑圖像與原始圖像之差的l2范數(shù)的平方,第一項(xiàng)正則項(xiàng)用以衡量平滑圖像中彼此在對(duì)方鄰域中的像素對(duì)差值的l1范數(shù),第二項(xiàng)正則項(xiàng)用以衡量平滑圖像中代表性像素對(duì)差值的l1范數(shù),這些代表性像素從一個(gè)超像素區(qū)域中選取得到；該算法使用了稀疏表示中的概念進(jìn)行邊緣保持圖像平滑[21- 23],算法目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù),通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)直至收斂得到平滑圖像?；谌纸y(tǒng)計(jì)特征的算法與基于局部統(tǒng)計(jì)特征的算法的特征是相反的；因?yàn)樵谧钚』^(guò)程中,需要求解一個(gè)大型稀疏線性方程組,所以這類(lèi)算法的計(jì)算復(fù)雜度較高；但是因?yàn)樵跒V波過(guò)程中考慮了整幅圖像的全局信息,因此基于全局統(tǒng)計(jì)特征算法的平滑效果較好。除前述的相關(guān)算法外,最近研究者還提出了一些基于學(xué)習(xí)的邊緣保持圖像平滑算法[24- 28],這些算法利用深度學(xué)習(xí)方法有監(jiān)督或者無(wú)監(jiān)督的訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平滑圖像。

因?yàn)樵谒惴ǖ哪繕?biāo)函數(shù)中考慮了中心像素點(diǎn)和鄰域中其他像素點(diǎn)差值的l1范數(shù),基于l1范數(shù)的算法可以很好地平滑圖像;WLS算法和l0梯度最小化算法只考慮了中心像素點(diǎn)水平與垂直方向的梯度[16,19],與WLS算法和l0梯度最小化算法相比,基于l1范數(shù)的算法考慮的鄰域信息更加完整。事實(shí)上,衡量差值的最優(yōu)的范數(shù)是l0范數(shù),但是,使用l0范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)是非凸的,最小化該目標(biāo)函數(shù)非常困難甚至是不可能的。l1范數(shù)是l0范數(shù)的一個(gè)凸近似,基于l1范數(shù)的算法的濾波結(jié)果仍然包含很多紋理；受Candes等[29]提出的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的啟發(fā),本研究使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)替代l1范數(shù),提出一種基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的圖像平滑算法,并通過(guò)將該算法與其他很多最新的邊緣保持圖像平滑算法進(jìn)行比較,來(lái)驗(yàn)證該方法的性能。

1 基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的圖像平滑算法

1.1 原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法

基于l1范數(shù)的圖像平滑算法的目標(biāo)函數(shù)是3項(xiàng)能量項(xiàng)的加權(quán)之和[20],可表示為

E=αE1+βEg+θEa

(1)

其中,E1、Eg和Ea分別表示局部稀疏正則項(xiàng)、全局稀疏正則項(xiàng)和數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng),α、β和θ是這3項(xiàng)的權(quán)重參數(shù)。

(1)局部稀疏正則項(xiàng)

局部稀疏正則項(xiàng)可以表示為

(2)

其中：xi、xj為平滑圖像中像素點(diǎn)i、j的RGB色彩空間中的3維色彩向量；Nh(i)是一個(gè)局部鄰域窗口,窗口的中心點(diǎn)像素是i,窗口大小為h×h；wij表示像素點(diǎn)i和像素點(diǎn)j的相似性,可以定義為

(3)

其中：fi=[κ·liaibi]T,fj=[κ·ljajbj]T,fi、fj是像素點(diǎn)i處的Lab顏色空間中加權(quán)后的顏色向量;κ和σ是常數(shù)。

原始圖像像素點(diǎn)i的CIELab色彩空間中的3維色彩向量可以表示為[liaibi]T。每一通道都?xì)w一化至[0,1]之間。當(dāng)κ<1時(shí),該能量項(xiàng)對(duì)光照變化的敏感性會(huì)降低。給出這一設(shè)置的目的是為了抑制光照變化。在該能量項(xiàng)中計(jì)算了平滑圖像中彼此在對(duì)方鄰域中的像素對(duì)的差值的l1范數(shù)。因?yàn)闄?quán)重函數(shù)是原始圖像中像素對(duì)差值的單調(diào)遞減函數(shù),那些在原始圖像中有著較小顏色差異的像素對(duì)被賦以較大的權(quán)重,這會(huì)導(dǎo)致平滑圖像中相應(yīng)像素點(diǎn)l1差值的減小,從而使平滑中有著較大顏色差值的像素對(duì)的個(gè)數(shù)會(huì)比較稀疏。

為了給出能夠最小化目標(biāo)函數(shù)的算法,必須使用矩陣-向量的方法對(duì)式(2)中的能量項(xiàng)進(jìn)行改寫(xiě)。假設(shè)圖像中共有n個(gè)像素,式(2)中共有ml個(gè)相鄰像素對(duì)。平滑圖像所有像素的R通道值可以表示為向量zr；類(lèi)似的,平滑圖像所有像素的G通道值和B通道值可以分別表示為zg和zb。令zr、zg和zb是一個(gè)矩陣z的第1、第2和第3列,也即,z=[zrzgzb]是一個(gè)n×3的矩陣。令L=Lij是一個(gè)mi×n的矩陣。如果像素點(diǎn)i和像素點(diǎn)j構(gòu)成了第k對(duì)像素對(duì),那么Lki=wij、Lkj=-wij。通過(guò)使用矩陣-向量乘法,可以將式(2)中的能量項(xiàng)重新寫(xiě)為

E1=‖Lz‖1

(4)

(2)全局稀疏正則項(xiàng)

因?yàn)橐环鶊D像中通常僅有有限數(shù)量的不同光照值,所以可以利用超像素計(jì)算全局稀疏正則項(xiàng)。通過(guò)使用文獻(xiàn)[30]中的算法產(chǎn)生一個(gè)固定數(shù)量(這一數(shù)量表示為ns)的超像素。從超像素區(qū)域中選出代表性的像素點(diǎn),選取的準(zhǔn)則是該像素點(diǎn)的顏色值與超像素區(qū)域的顏色均值最為接近。這些代表性像素點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)集合Sr,該集合是原始圖像像素點(diǎn)集合的一個(gè)子集。全局稀疏正則項(xiàng)可以定義為

(5)

在該能量項(xiàng)中考慮了所有代表性像素對(duì)之間的相互作用。和式(2)類(lèi)似,原始圖像中具有較小顏色差值的像素對(duì)被賦以較大的權(quán)重,這樣會(huì)更容易使這些像素點(diǎn)在平滑圖像中具有相同的顏色,從而能夠提升平滑圖像中像素點(diǎn)顏色的全局稀疏性。

所有代表性像素對(duì)的總數(shù)可以表示為mg(mg=ns(ns-1))。ns表示代表性像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。G=Gij是一個(gè)mg×n的矩陣(此處的n和前文的n是相同的變量,都表示圖像中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)),如果像素點(diǎn)i和像素點(diǎn)j構(gòu)成了第k對(duì)像素對(duì),那么Gki=wij,Gkj=-wij。再次使用矩陣-向量乘法,式(5)中的能量項(xiàng)可以重新寫(xiě)為

Eg=‖Gz‖1

(6)

(3)數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng)

如果僅考慮上述能量項(xiàng),那么顯然存在一個(gè)平凡解,即所有的像素都取相同的顏色值。為了避免得到上述平凡解,需要增加一個(gè)限制條件,即平滑圖像與原始圖像的差異應(yīng)該盡可能的小。數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng)可以表示為

(7)

用矩陣-向量形式寫(xiě)成的目標(biāo)函數(shù)表示為

(8)

可以采用交替方向乘子方法(ADMM,Alternating Direction Method of Multipliers)或者分裂Bregman方法最小化目標(biāo)函數(shù)[31- 32]。

1.2 利用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)改進(jìn)原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法

1.2.1 重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)和重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化

l0范數(shù)最小化問(wèn)題(記為問(wèn)題P0)可以寫(xiě)成

(9)

s.t.y=Φx

其中:‖x‖0=|i:xi≠0|;Φ是一個(gè)m×n的矩陣,其行數(shù)小于列數(shù),也即m

問(wèn)題P0是非凸的,從而很難求解。為了求解問(wèn)題P0,通常的做法是凸化該問(wèn)題,并且求解該凸問(wèn)題以近似原問(wèn)題P0的解。如果使用l1范數(shù)而不是l0范數(shù),那么問(wèn)題就變?yōu)橐粋€(gè)凸問(wèn)題。

對(duì)應(yīng)于問(wèn)題P0的l1范數(shù)最小化問(wèn)題(記為問(wèn)題P1)可以表示為

(10)

s.t.y=Φx

盡管l1范數(shù)是l0范數(shù)最緊的凸近似,問(wèn)題P1的解中仍然包含很多非零元素。為了使解更加稀疏,可以考慮問(wèn)題P1的一個(gè)重加權(quán)版本?？紤]“加權(quán)”l1范數(shù)最小化問(wèn)題(記為問(wèn)題WP1)可以表示為

(11)

s.t.y=Φx

其中,w1,w2,…,wn是正的權(quán)重。在下面,可以方便的將目標(biāo)函數(shù)表示為‖Wx‖1,其中W是一個(gè)對(duì)角矩陣,其對(duì)角線上的元素是w1,…,wn,其他元素是0。在文獻(xiàn)[29]中,Candes等指出,如果權(quán)重與x0中的數(shù)值成反比,那么問(wèn)題WP1和問(wèn)題P0就是等價(jià)的,其中x0是問(wèn)題P0的解。因?yàn)槭孪炔豢赡艿玫絰0,那么可以將權(quán)重設(shè)置為反比于解x0的一個(gè)近似。Candes等[29]提出一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代算法,其在估計(jì)x0和重新計(jì)算權(quán)重之間交替進(jìn)行,算法如下。

步驟2 求解如下的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化問(wèn)題

xl=argmin‖Wlx‖1

(12)

s.t.y=Φx

步驟3 對(duì)于i=1,…,n,按照下式更新權(quán)重

(13)

步驟4 達(dá)到收斂條件或者l超過(guò)一個(gè)最大的迭代次數(shù)lmax時(shí),停止算法;否則,對(duì)l增加1,并且回到步驟2。

在步驟3中,有一個(gè)參數(shù)ε>0,引入ε的原因是為了保證算法的穩(wěn)定性,即保證在xl中如果有一個(gè)零值存在,那么在下次迭代中,可以在對(duì)應(yīng)位置存在非零值。就像文獻(xiàn)[29]中的實(shí)驗(yàn)給出的那樣,求解重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化問(wèn)題,得到的解比求解問(wèn)題P1得到的解更加稀疏。

1.2.2 將重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化應(yīng)用于基于l1范數(shù)的圖像平滑算法

重新查看式(8)中的目標(biāo)函數(shù),可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上是對(duì)基于l0范數(shù)的圖像平滑算法的一種近似。其對(duì)應(yīng)的l0范數(shù)圖像平滑算法的目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)為

(14)

原來(lái)的l1范數(shù)被替換為l0范數(shù)。如果平滑圖像是通過(guò)求解目標(biāo)函數(shù)式(14)得到的,而不是通過(guò)求解目標(biāo)函數(shù)式(8)得到的,那么可以預(yù)見(jiàn)的是在平滑圖像中應(yīng)該有更少的具有不同顏色值的像素對(duì)。換句話說(shuō),式(14)中的目標(biāo)函數(shù)的解應(yīng)比式(8)中目標(biāo)函數(shù)的解更加“稀疏”。因?yàn)槭?14)中的目標(biāo)函數(shù)是非凸的,很難求解,所以可以使用文獻(xiàn)[29]中提出的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化來(lái)求解。文中,使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化來(lái)求解式(14)中目標(biāo)函數(shù)的近似解。式(14)中的目標(biāo)函數(shù)可以重新寫(xiě)為

(15)

每一個(gè)單品拿出來(lái)，都營(yíng)造出以女孩為主的消費(fèi)者爭(zhēng)先追逐的熱潮。用上這款面膜，前男友看了要后悔；涂上這些口紅，你就是生活的女王。

(16)

變量z的解與前面的解是一樣的。變量u1的解可以寫(xiě)為

(17)

這是一個(gè)重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化問(wèn)題,變量u1有閉式解,可以寫(xiě)為

(18)

加權(quán)軟閾值算子Sεw(x)的一般定義為

(19)

(20)

在求解完變量u1和u2后,根據(jù)下式更新權(quán)重

(21)

(22)

權(quán)重和當(dāng)前的解(u1與u2)的值成反比,下一次迭代的權(quán)重是通過(guò)當(dāng)前迭代時(shí)解的值計(jì)算得到的。用于求解目標(biāo)函數(shù)(式(15))的重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化算法如算法1所示。

算法1:用于最小化目標(biāo)函數(shù)(式(15))的優(yōu)化算法

輸入：原始圖像zin,參數(shù)α、β和θ

while not converged do

1.固定其他變量,通過(guò)下式更新z

zk+1=(2θI+μkLTL+μkGTG)-1·

(2θzin+μkLT(u1,k+Y1,k/μk)+

μkGT(u2,k+Y2,k/μk))

2.固定其他變量,通過(guò)下式更新u1

3.固定其他變量,通過(guò)下式更新u2

4.對(duì)于i=1,…,3,ml,j=1,…,3，通過(guò)下式更新權(quán)重

5.對(duì)于i=1,…,3,mg,j=1,…,3通過(guò)下式更新權(quán)重

6.更新拉格朗日乘子

Y1,l+1=Y1,l+μl(u1,l-Lzl)

Y2,l+1=Y2,l+μl(u2,l-Gzl)

7.更新懲罰因子μ,μl+1=min(ρμl,μmax)

8.檢查是否滿(mǎn)足收斂條件

‖u1,l-Lzl‖∞<εADMM

‖u2,l-Lzl‖∞<εADMM

9.l=l+1

end while

輸出：平滑圖像z=zl+1

比較算法1和文獻(xiàn)[20]中的求解算法,可以看出有兩處不同。第1處不同是變量u1和u2的解不同；在文獻(xiàn)[20]的算法中,使用了普通的軟閾值算子；與之相對(duì)的,在算法1中,使用了一個(gè)加權(quán)軟閾值算子。第2處不同是在算法1中,權(quán)重是迭代更新的,但是在文獻(xiàn)[20]的算法中,沒(méi)有權(quán)重?？梢灶A(yù)見(jiàn)到,通過(guò)使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化,解可以更加稀疏,也就意味著在平滑圖像中具有不同顏色值的像素對(duì)的數(shù)量更少。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了衡量所提算法的性能,將所提算法和很多最新的邊緣保持圖像平滑算法進(jìn)行了比較,用于比較的算法包括原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法(l1)[20]、l0梯度最小化圖像平滑算法(l0)[19]、加權(quán)最小二乘圖像平滑算法(WLS)[16]、快速加權(quán)最小二乘圖像平滑算法(Fast WLS)[17]、使用擴(kuò)散圖的加權(quán)最小二乘圖像平滑算法(Diffusion WLS)[28]、局部拉普拉斯濾波器(LL)[8]、基于邊緣回避小波的圖像平滑算法(EAW)[14]、基于局部極值的圖像平滑算法(LE)[18]、基于樹(shù)濾波的圖像平滑算法(TF)[15]。上述算法中,l1、l0、Fast WLS和Diffusion WLS是基于全局統(tǒng)計(jì)特征的圖像平滑算法,LL、EAW、 LE和TF是基于局部統(tǒng)計(jì)特征的圖像平滑算法。在大量圖像上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),限于篇幅,文中選取了其中6幅有代表性的圖像作為說(shuō)明。這些圖像均取自BSDS300數(shù)據(jù)集[34],分辨率分別是341×512、560×368、321×481、481×321、321×481以及321×481。實(shí)驗(yàn)環(huán)境是Intel(R)Core(TM)i5- 4460S CPU @2.9 GHz,8 GB RAM,Matlab R2015a。在給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果之前,先給出了所提算法和比較算法的相關(guān)參數(shù),如表1所示。

表1 不同算法的參數(shù)

圖像平滑結(jié)果如圖1-圖12所示。為了更加清楚地比較不同圖像平滑算法的性能,從每幅圖像中選取了一個(gè)代表性的區(qū)域(圖像中白色矩形框所示區(qū)域),將該區(qū)域進(jìn)行放大并示于相應(yīng)的圖像平滑結(jié)果之后。

圖1 圖像1及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖2 從圖1各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖3 圖像2及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖4 從圖3各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖5 圖像3及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖6 從圖5各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖7 圖像4及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖8 從圖7各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖9 圖像5及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖10 從圖9各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

圖11 圖像6及不同邊緣保持圖像平滑算法的圖像平滑結(jié)果

圖12 從圖11各圖中選取的代表性區(qū)域的放大圖

因?yàn)闆](méi)有關(guān)于“真實(shí)平滑圖像”的明確定義,所以客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)(峰值信噪比(PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)等)不能使用。文獻(xiàn)[35]中給出了一種得到“真實(shí)平滑圖像”的方法,即從現(xiàn)有的多種圖像平滑結(jié)果中主觀選出一幅最滿(mǎn)意的圖像作為“真實(shí)平滑圖像”,并以此為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)定義“真實(shí)平滑圖像”,該方法具有一定的局限;由于現(xiàn)有方法不一定能取得較好的結(jié)果,如果從現(xiàn)有方法的平滑結(jié)果中選擇其中一種平滑結(jié)果作為真實(shí)圖像,則該圖像不能作為“真實(shí)平滑圖像”，而只是“主觀的真實(shí)平滑圖像”。下面主要采用主觀評(píng)價(jià)方法對(duì)算法平滑結(jié)果進(jìn)行比較。邊緣保持圖像平滑算法應(yīng)該具有如下的特征：首先,在平滑圖像中,主要的邊緣應(yīng)該被保留；第二,在平滑圖像中,低對(duì)比度和高對(duì)比度的紋理應(yīng)該被平滑。可以通過(guò)上述兩點(diǎn)判斷平滑圖像的質(zhì)量。通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),算法WLS、 Fast WLS、Diffusion WLS的濾波效果并不好,這些算法通過(guò)最小化一個(gè)目標(biāo)函數(shù)得到平滑圖像,目標(biāo)函數(shù)中包括一項(xiàng)數(shù)據(jù)忠誠(chéng)項(xiàng)和一項(xiàng)正則項(xiàng),傾向于平滑那些有著較小圖像梯度的像素點(diǎn),也會(huì)平滑低對(duì)比度的邊緣,且不能有效平滑高對(duì)比度的紋理(可以很清楚的從圖5與圖6(c)-6(e)中看出);算法LL的圖像平滑效果也不好,該算法不能很好地濾除圖像中高對(duì)比度的紋理；算法LL使用一個(gè)全局閾值區(qū)分高對(duì)比度的邊緣和低對(duì)比度的紋理,因?yàn)樗惴〞?huì)將高對(duì)比度的紋理判斷為邊緣,故該算法不能平滑高對(duì)比度的紋理；算法EAW的圖像平滑結(jié)果也不佳,在平滑圖像中有很多高對(duì)比度和低對(duì)比度的紋理,該算法可以保留主要的邊緣,但是算法處理紋理的能力不強(qiáng)；算法LE的圖像平滑結(jié)果同樣不好,該算法依賴(lài)局部極小值和極大值估計(jì)一個(gè)最小和最大包絡(luò),平滑圖像是2個(gè)包絡(luò)的平均,當(dāng)圖像中的紋理非常復(fù)雜時(shí),采用平均的方法不能有效地濾除這些紋理；與前述算法相比,算法l0和TF的圖像平滑效果較好,這2個(gè)算法可以平滑一些高對(duì)比度的紋理并保留主要的邊緣,但是,當(dāng)圖像中的紋理具有很高的對(duì)比度時(shí),算法l0的濾波效果就會(huì)變得不好(這可以從圖9(b)和圖10(b)中看出來(lái))；算法l1的圖像平滑能力一般(從各圖的圖(j)中可以看出),盡管在平滑圖像中保留了主要的邊緣,但是平滑圖像中卻存在很多紋理,因?yàn)樗惴╨1使用l1范數(shù)描述平滑圖像中像素對(duì)顏色差值且基于l1范數(shù)的算法并不能保證算法解的稀疏性,從而在平滑圖像中有很多具有不同顏色值的像素對(duì)；文中所提算法的圖像平滑結(jié)果較好,該算法可以有效地濾除紋理并保留主要邊緣,因?yàn)樵撍惴ㄖ惺褂昧酥丶訖?quán)l(xiāng)1范數(shù),得到的解更加“稀疏”,在平滑圖像中有著更少的具有不同顏色值的像素對(duì),證明使用重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)可以明顯改善算法l1的圖像平滑結(jié)果。

采用5分制對(duì)10種平滑算法在6幅實(shí)驗(yàn)圖像上的平滑結(jié)果進(jìn)行了評(píng)分。5分制中分?jǐn)?shù)和平滑效果的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：5,很好；4,好；3,一般；2,差；1,很差。評(píng)分結(jié)果如表2所示,同時(shí)在表2中(第2列)給出了圖像的主要特征。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,對(duì)于含有強(qiáng)紋理和復(fù)雜紋理的圖像,文中所提算法可以取得最優(yōu)的結(jié)果,而對(duì)于含有弱邊緣的圖像,文中所提算法會(huì)濾除其中的一些弱邊緣。

表2 10種圖像平滑算法的得分

4 結(jié)論

文中提出了一種新的基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)的邊緣保持圖像平滑算法。原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法使用l1范數(shù)衡量平滑后圖像中局部鄰域內(nèi)像素點(diǎn)差值的稀疏性,其平滑結(jié)果中仍然存在較多的紋理。為了減少平滑后圖像中的紋理,提出的算法將原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法與重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化進(jìn)行了結(jié)合,通過(guò)使用重加權(quán)方法使得解更加稀疏,即使得平滑后圖像中局部鄰域內(nèi)像素點(diǎn)差值更小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,和原始的基于l1范數(shù)的圖像平滑算法以及其他的圖像平滑算法相比,該算法可以更加有效地平滑圖像。所提算法的平滑圖像中紋理殘留較少。