黃慶彬

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出了高中生通過(guò)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)要達(dá)到獲“四基”、提“四能”的目標(biāo)。獲“四基”，即學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本的技能、思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);提“四能”，即提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的四種能力?？v觀(guān)近年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題的編制及考查的內(nèi)容，都很好地反映了課程改革理念，加大了數(shù)學(xué)思維能力的考查，注重學(xué)科思想方法的運(yùn)用，這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要“兩手抓”，既要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的教學(xué)，又要注意以素養(yǎng)為導(dǎo)向，以能力為重，加大各種思想方法的滲透。

在中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法中，最基本、最核心的就是化歸與轉(zhuǎn)化思想，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題思想方法的精髓?；瘹w與轉(zhuǎn)化，即運(yùn)用轉(zhuǎn)化、歸結(jié)的數(shù)學(xué)手段，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)過(guò)程，把一個(gè)復(fù)雜、陌生或者未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已解決或較易解決的問(wèn)題上來(lái)，從而破解原問(wèn)題的一種方法。數(shù)學(xué)家笛卡爾對(duì)此方法給予了高度評(píng)價(jià)，稱(chēng)之為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的萬(wàn)能方法。它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)起至關(guān)重要的作用，故教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生抓基礎(chǔ)與注重轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)兩者并重，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的金鑰匙。以下便是其模式。

一、高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則

應(yīng)遵循4個(gè)原則：（1）熟悉化原則，即“化生為熟”，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題。（2）簡(jiǎn)單化原則，即“化繁為簡(jiǎn)”，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題。（3）直觀(guān)化原則，即“化抽象為直觀(guān)”，把較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較直觀(guān)的問(wèn)題（如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題）。（4）正難則反原則。若問(wèn)題直接求解困難時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法，或用逆否命題間接地解決問(wèn)題。

二、高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸方法

共有10種：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有的可用直接轉(zhuǎn)換法、換元法、數(shù)形結(jié)合法，有的可用參數(shù)法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法，還有的可用類(lèi)比法、特殊法、一般化、等價(jià)轉(zhuǎn)換法來(lái)解。這些方法在一些題目中可能單獨(dú)使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割開(kāi)的。

三、高中數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想主要的應(yīng)用情形

主要有6種：（1）在三角函數(shù)和解三角形問(wèn)題中，公式的“三用（順用、逆用、變形用）”、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化、通過(guò)正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化等。（2）函數(shù)問(wèn)題中，把一個(gè)較難或較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單、較容易的函數(shù)、方程、不等式。（3）在有平面向量與三角函數(shù)，又有平面幾何、解析幾何的交叉綜合題目中，進(jìn)行語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化。（4）將一般的陌生的數(shù)列轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的等差數(shù)列或等比數(shù)列求解。（5）將函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、切線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f'（x）構(gòu)成的方程、不等式問(wèn)題來(lái)求解。（6）有關(guān)解析幾何、立體幾何的問(wèn)題，常常用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化來(lái)解決。

四、結(jié)合例題淺析高中數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本類(lèi)型

1.特殊與一般的轉(zhuǎn)化

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題難以解決時(shí)，首先應(yīng)觀(guān)察這個(gè)問(wèn)題的特殊與簡(jiǎn)單情況并分析，發(fā)現(xiàn)其中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣至一般情形，從而完成從特殊問(wèn)題到一般問(wèn)題的解答，即所謂的特殊化的化歸策略。有的數(shù)學(xué)題目具有一般性，有的則具有特殊性，解題時(shí)根據(jù)需要，要么化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題，要么化特殊問(wèn)題為一般問(wèn)題來(lái)解決。如何解這類(lèi)題？關(guān)鍵點(diǎn)是：先確立轉(zhuǎn)化對(duì)象，一般情況下把要解決的問(wèn)題看成轉(zhuǎn)化對(duì)象，接著尋找轉(zhuǎn)化元素，也就是特殊元素和一般元素，然后再根據(jù)轉(zhuǎn)化對(duì)象與特殊元素或一般元素的關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問(wèn)題，最后得出結(jié)論。這一類(lèi)問(wèn)題多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，屬中檔題型。

題后反思：一般化與特殊化是解題過(guò)程中對(duì)一些一般性問(wèn)題作特殊化處理，或把一些特殊問(wèn)題作一般性處理。本題抓住了直線(xiàn)AB垂直于OP這個(gè)特殊情況，求出AB，MN的最小值和最大值，很好地解決了問(wèn)題。

2.命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

當(dāng)遇到陌生或繁難的問(wèn)題時(shí)，我們可運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，把命題轉(zhuǎn)化成我們熟知的基本問(wèn)題，從而化繁為簡(jiǎn)、化生為熟。此類(lèi)問(wèn)題主要涉及函數(shù)、解析幾何中有關(guān)存在性問(wèn)題和排列組合中含有“至多”“至少”詞語(yǔ)的題目。這一類(lèi)問(wèn)題多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，屬中檔題型。

題后反思：遇到類(lèi)似從正面難以解答，或運(yùn)算較繁的問(wèn)題，可先“反面進(jìn)攻”，運(yùn)用補(bǔ)集思想使正面得到解決?！罢y則反”有時(shí)能帶來(lái)“柳暗花明又一村”的解題妙處。

3.常量與變量的轉(zhuǎn)化

在解決多變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)題中的常量（或參數(shù)）在特定范圍內(nèi)取值，要求算出變量x的范圍時(shí)，往往進(jìn)行常量與變量之間角色的轉(zhuǎn)化，即可選取其中的常數(shù)（或參數(shù)），把它看成變量，把變量當(dāng)作常量，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。此類(lèi)問(wèn)題既有填空題也有解答題，難度適中，屬中檔題，主要涉及參數(shù)的取值范圍問(wèn)題。

4.函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化

函數(shù)、方程與不等式三者之間聯(lián)系密切，在解決方程、不等式的問(wèn)題時(shí)常常需要用到函數(shù)這一解題工具，而解決函數(shù)的問(wèn)題也往往離不開(kāi)方程、不等式的數(shù)學(xué)工具，故借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，可將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，往往把不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，把方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題等。

5.形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

在立體幾何中，遇到計(jì)算空間角和距離的題目時(shí)，往往要把它轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)來(lái)求解。而形體位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化一般要先分析形體特征，根據(jù)形體特征確立需要轉(zhuǎn)化的對(duì)象，然后進(jìn)行位置轉(zhuǎn)化，把不規(guī)則幾何體通過(guò)切割、挖補(bǔ)、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀(guān)察、計(jì)算的常見(jiàn)幾何體。由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來(lái)，一般需要對(duì)新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進(jìn)行分析，準(zhǔn)確理解新的幾何體的特征，最后在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標(biāo)問(wèn)題。

題后反思：本題把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，把沿表面兩點(diǎn)的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題。

在高中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化與化歸思想是需要學(xué)生熟練掌握的重要且常用的思想方法，在一切數(shù)學(xué)思想方法中居于核心地位。教師在教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行靈活變換的學(xué)科思維，以利于提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力、分析解決問(wèn)題能力，最終提高學(xué)科素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力。